【数学】2021届一轮复习人教A版（理）第九章第一讲　直线方程与两直线的位置关系 11页

第九章　直线和圆的方程 第一讲　直线方程与两直线的位置关系 ‎　　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ ‎1.[2020山东青岛模拟]已知直线l经过直线l1:x+y=2,l2:2x - y=1的交点,且直线l的一个方向向量v=( - 3,2),则直线l的方程是(　　)‎ A.3x - 2y - 1=0 B.3x - 2y+1=0‎ C.2x+3y - 5=0 D.2x - 3y+1=0‎ ‎2.[2020浙江台州五校联考]已知直线l过点P(1,1)且与以A(0, - 1),B(3, - 4)为端点的线段相交,则直线l的斜率的取值范围为(　　)‎ A.( - ∞, - ‎5‎‎2‎] B.[2,+∞)C.[ - ‎5‎‎2‎,‎1‎‎2‎] D.( - ∞, - ‎5‎‎2‎]∪[2,+∞)‎ ‎3.[2020河南郑州模拟]数学家欧拉在1765年提出:三角形的外心、重心、垂心(外心是三角形三条边的垂直平分线的交点,重心是三角形三条中线的交点,垂心是三角形三条高线的交点)依次位于同一直线上,且重心到外心的距离是重心到垂心的距离的一半.这条直线被后人称之为三角形的欧拉线.已知△ABC的顶点B( - 1,0),C(0,2),AB=AC,则△ABC的欧拉线方程为(　　)‎ A.2x - 4y - 3=0 B.2x+4y+3=0‎ C.4x - 2y - 3=0 D.2x+4y - 3=0‎ ‎4.[2016四川,9,5分][理]设直线l1,l2分别是函数f (x)=‎-lnx,01‎图象上点P1,P2处的切线,l1与l2垂直相交于点P,且l1,l2分别与y轴相交于点A,B,则△PAB的面积的取值范围是(　　)‎ A.(0,1) B.(0,2) C.(0,+∞) D.(1,+∞)‎ ‎5.[2016浙江,4,5分]若平面区域x+y-3≥0,‎‎2x-y-3≤0,‎x-2y+3≥0‎夹在两条斜率为1的平行直线之间,则这两条平行直线间的距离的最小值是(　　)‎ A.‎3‎‎5‎‎5‎ B.‎2‎ C.‎3‎‎2‎‎2‎ D.‎‎5‎ ‎6.[2020四川五校高三联考]过直线x+y=0上一点P作圆(x+1)2+(y - 5)2=2的两条切线l1,l2,A,B为切点,当直线l1,l2关于直线x+y=0对称时,∠APB=(　　)‎ A.30° B.45° C.60° D.90°‎ ‎7.[2020贵州遵义四中模拟]过点(2,3)且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程为　　　　. ‎ ‎8.[2019成都高三摸底测试]已知a>0,b>0,若直线(a - 1)x+2y - 1=0与直线x+by=0互相垂直,则ab的最大值是　　　　　　. ‎ ‎9.[2017全国卷Ⅰ,20,12分]设A,B为曲线C:y=x‎2‎‎4‎上两点,A与B的横坐标之和为4.‎ ‎(1)求直线AB的斜率;‎ ‎(2)设M为曲线C上一点,C在M处的切线与直线AB平行,且AM⊥BM,求直线AB的方程.‎ ‎　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ 考法1求直线的方程 ‎1(1)已知点A(3,4),则经过点A且在两坐标轴上截距相等的直线方程为　　　　. ‎ ‎(2)已知直线l过点P(3,2),且与x轴,y轴的正半轴分别交于A,B两点,如图9 - 1 - 1所示,当△ABO的面积取最小值时直线l的方程为　　　　. ‎ ‎(1)设直线在x轴,y轴上的截距均为a.‎ ‎①若a=0,即直线过点(0,0)及(3,4).‎ 则直线的方程为y=‎4‎‎3‎x,即4x - 3y=0.‎ ‎②若a≠0,设所求直线的方程为xa‎+‎ya=1,‎ 又点(3,4)在直线上,所以‎3‎a‎+‎‎4‎a=1,所以a=7.‎ 所以直线的方程为x+y - 7=0.‎ 综上可知所求直线的方程为4x - 3y=0或x+y - 7=0.‎ ‎(2)解法一　设A(a,0),B(0,b)(a>0,b>0),则直线l的方程为xa‎+‎yb=1.(截距式)‎ 因为l过点P(3,2),所以‎3‎a‎+‎‎2‎b=1.‎ 因为1=‎3‎a‎+‎‎2‎b≥2‎6‎ab,整理得ab≥24,所以S△ABO=‎1‎‎2‎ab≥12.‎ 当且仅当‎3‎a‎=‎‎2‎b,即a=6,b=4时取等号.‎ 此时直线l的方程是x‎6‎‎+‎y‎4‎=1,即2x+3y - 12=0.‎ 解法二　依题意知,直线l的斜率k存在且k<0,‎ 可设直线l的方程为y - 2=k(x - 3)(k<0),(点斜式)‎ 则A(3 - ‎2‎k,0),B(0,2 - 3k),‎ S△ABO=‎1‎‎2‎(2 - 3k)(3 - ‎2‎k)‎ ‎=‎1‎‎2‎[12+( - 9k)+‎4‎‎-k]‎ ‎≥‎1‎‎2‎[12+2‎(-9k)·‎‎4‎‎-k]‎ ‎=‎1‎‎2‎×(12+12)‎ ‎=12,‎ 当且仅当 - 9k=‎4‎‎-k,即k= - ‎2‎‎3‎时,等号成立.‎ 所以所求直线l的方程为2x+3y - 12=0.‎ ‎1.[2020江西省九江市三校联考]已知直线l过点(2,1),且在x,y轴上的截距相等.‎ ‎(1)求直线l的一般方程;‎ ‎(2)若直线l在x,y轴上的截距均不为0,点P(a,b)在直线l上,求3a+3b的最小值.‎ 考法2两直线位置关系的判断及应用 ‎2 (1)已知经过点A( - 2,0)和点B(1,3a)的直线l1与经过点P(0, - 1)和点Q(a, - 2a)的直线l2互相垂直,则实数a的值为　　　　. ‎ ‎(2)已知两直线l1:x+my+6=0,l2:(m - 2)x+3y+2m=0,当m为何值时,直线l1与l2:①平行;②垂直.‎ ‎(1)讨论a与0的关系→根据两直线垂直时斜率之间的关系列关于a的方程,解之可得结果 ‎(2)思路一　①两直线平行(点斜式)→k1=k2且b1≠b2‎ ‎②两直线垂直(点斜式)→k1k2= - 1‎ A‎1‎B‎2‎‎-A‎2‎B‎1‎=0‎B‎1‎C‎2‎‎-B‎2‎C‎1‎≠0‎ 思路二　①两直线平行(一般式)→‎ ‎②两直线垂直(一般式)→A1A2+B1B2=0‎ ‎(1)l1的斜率k1=‎3a-0‎‎1-(-2)‎=a.‎ 当a≠0时,l2的斜率k2=‎-2a-(-1)‎a-0‎‎=‎‎1-2aa.‎ 因为l1⊥l2,‎ 所以k1k2= - 1,即a·‎1-2aa= - 1,‎ 解得a=1.‎ 当a=0时,P(0, - 1),Q(0,0),这时直线l2为y轴,A( - 2,0),B(1,0),直线l1为x轴,显然l1⊥l2.‎ 综上可知,实数a的值为1或0.‎ ‎(2)解法一　当m=0时,l1:x+6=0,l2:2x - 3y=0,l1与l2相交且不垂直.‎ 当m≠0时,l1:y= - ‎1‎mx - ‎6‎m,l2:y= - m-2‎‎3‎x - ‎2m‎3‎.‎ ‎①l1∥l2⇔ - ‎1‎m= - m-2‎‎3‎且 - ‎6‎m≠ - ‎2m‎3‎,解得m= - 1.‎ 所以当m= - 1时,l1∥l2.‎ ‎②l1⊥l2⇔( - ‎1‎m)·( - m-2‎‎3‎)= - 1,解得m=‎1‎‎2‎.‎ 所以当m=‎1‎‎2‎时,l1⊥l2.‎ 解法二　①若l1∥l2,则‎1×3-m(m-2)=0,‎m×2m-3×6≠0,‎ 即m‎2‎‎-2m-3=0,‎m‎2‎‎≠9,‎解得m= - 1.‎ 所以当m= - 1时,l1∥l2.‎ ‎②若l1⊥l2,则1×(m - 2)+m×3=0,解得m=‎1‎‎2‎.‎ 所以当m=‎1‎‎2‎时,l1⊥l2.‎ 对于此类题,根据两直线平行或垂直时满足的条件即可求解,注意讨论直线的斜率是否为零.‎ ‎2.已知直线l的方程为3x+4y - 12=0,求直线l' 的方程,使l' 满足:‎ ‎(1)过点( - 1,3),且与l平行;‎ ‎(2)过点( - 1,3),且与l垂直;‎ ‎(3)l' 与l垂直,且l' 与两坐标轴围成的三角形的面积为4.‎ 考法3两直线的交点与距离问题 ‎3[2020武汉市调研考试]已知直线l经过直线2x+y - 5=0与直线x - 2y=0的交点.‎ ‎(1)若点A(5,0)到直线l的距离为3,求直线l的方程;‎ ‎(2)求点A(5,0)到直线l的距离的最大值.‎ ‎ (2)求出两直线的交点P点A到直线l的距离d的最大 值dmax=|PA|‎ ‎(1)易知点A到直线x - 2y=0的距离不等于3,可设经过两已知直线交点的直线系方程为(2x+y - 5)+λ(x - 2y)=0,即(2+λ)x+(1 - 2λ)y - 5=0.‎ 由题意得‎|10+5λ-5|‎‎(2+λ)‎‎2‎‎+‎‎(1-2λ)‎‎2‎=3,即2λ2 - 5λ+2=0,‎ 解得λ=2或λ=‎1‎‎2‎.‎ 所以直线l的方程为4x - 3y - 5=0或x=2.‎ ‎(2)解方程组‎2x+y-5=0,‎x-2y=0,‎可得两直线的交点为P(2,1).‎ 过点P作任一直线l,设d为点A到l的距离,则 d≤|PA|(当l⊥PA时等号成立).‎ 所以dmax=|PA|=‎(5-2)‎‎2‎‎+‎‎(0-1)‎‎2‎‎=‎‎10‎.‎ 于是点A(5,0)到直线l的距离的最大值为‎10‎.‎ ‎3.(1)[2020黑龙江哈尔滨模拟]若直线y= - ‎3‎‎3‎x+1和x轴、y轴分别交于点A,B,以线段AB为边在第一象限内作等边三角形ABC.若在第一象限内有一点P(m,‎1‎‎2‎),使得△ABP和△ABC的面积相等,则m的值为(　　)‎ A.‎3‎‎3‎‎2‎ B.2‎3‎ C.‎5‎‎3‎‎2‎ D.3‎‎3‎ ‎(2)[2019江苏,10,5分]在平面直角坐标系xOy中,P是曲线y=x+‎4‎x(x>0)上的一个动点,则点P到直线x+y=0的距离的最小值是　　　　. ‎ 考法4对称问题 ‎4已知直线l:2x - 3y+1=0,点A( - 1, - 2).求:‎ ‎(1)点A关于直线l的对称点A' 的坐标;‎ ‎(2)直线m:3x - 2y - 6=0关于直线l的对称直线m' 的方程;‎ ‎(3)直线l关于点A对称的直线l' 的方程.‎ ‎(1)设A' (x,y),由对称性求出A' 的坐标.‎ ‎(2)在直线m上任取一点M(2,0),由对称性求出M关于l的对称点M' 的坐标,结合两直线的交点,可求出m' 的方程.‎ ‎(3)思路一　在l上任取两点P(1,1),N(4,3),由对称性求出P,N关于点A的对称点P',N',可得直线l'的方程.‎ 思路二　在l上任取一点Q(x,y),由对称性求出点Q关于点A的对称点Q',将其坐标代入直线l的方程,可得直线l'的方程.‎ ‎(1)设A' (x,y),则y+2‎x+1‎‎·‎2‎‎3‎=-1,‎‎2×x-1‎‎2‎-3×y-2‎‎2‎+1=0,‎解得x=-‎33‎‎13‎,‎y=‎4‎‎13‎,‎即A' ( - ‎33‎‎13‎,‎4‎‎13‎).‎ ‎(2)在直线m上任取一点,如M(2,0),则M(2,0)关于直线l的对称点必在m'上.‎ 设M关于直线l的对称点为M' (a,b),则‎2×a+2‎‎2‎-3×b+0‎‎2‎+1=0,‎b-0‎a-2‎‎×‎2‎‎3‎=-1,‎ 解得a=‎6‎‎13‎,‎b=‎30‎‎13‎,‎即M' (‎6‎‎13‎,‎30‎‎13‎).‎ 设m与l的交点为N,则由‎2x-3y+1=0,‎‎3x-2y-6=0‎得N(4,3).‎ 又m' 经过点N(4,3),‎ 所以由两点式得直线m' 的方程为9x - 46y+102=0.‎ ‎(3)解法一　在l:2x - 3y+1=0上任取两点,如P(1,1),N(4,3),则P,N关于点A的对称点P' ,N' 均在直线l' 上.易知P' ( - 3, - 5),N' ( - 6, - 7),由两点式可得l' 的方程为2x - 3y - 9=0.‎ 解法二　设Q(x,y)为l' 上任意一点,则Q(x,y)关于点A( - 1, - 2)的对称点为Q' ( - 2 - x, - 4 - y),‎ 因为点Q' 在直线l上,所以2( - 2 - x) - 3( - 4 - y)+1=0,‎ 即2x - 3y - 9=0.‎ ‎4.[2019豫南九校第四次联考]已知△ABC的一个顶点A(2, - 4),且∠B,∠C的平分线所在直线的方程分别为x+y - 2=0,x - 3y - 6=0,则BC所在直线的方程为　　　　. ‎ 易错忽略斜率不存在致误 ‎5 [2019河南省中原名校第三次联考]设圆x2+y2 - 2x - 2y - 2=0的圆心为C,直线l过点(0,3),且与圆C交于A,B两点,若|AB|=‎ ‎2 ‎3‎,则直线l的方程为 A.3x+4y - 12=0或4x - 3y+9=0‎ B.3x - 4y+12=0或4x+3y+9=0　‎ C.4x - 3y+9=0或x=0‎ D.3x+4y - 12=0或x=0‎ 条件与 目标 条件:①圆的方程;②直线过定点;③直线被圆截得的弦长.‎ 目标:求符合条件的直线的方程.‎ 思路与 方法 思路:求解过定点的直线的方程,分斜率存在和斜率不存在两种情况进行讨论.‎ 方法:待定系数法.‎ 过程与 关键 过程:先讨论直线的斜率不存在是否符合题意,再探究斜率存在时符合条件的斜率的值.‎ 关键:①当直线的斜率不存在时,易知l:x=0,与圆的方程联立,求出交点A,B的坐标,检验|AB|是否符合.‎ ‎②当直线的斜率存在时,设l的方程为y=kx+3,与圆的方程联立,利用d2=r2 - (‎|AB|‎‎2‎)2求得直线l的斜率.‎ 当直线l的斜率不存在时,直线l的方程为x=0,由x=0,‎x‎2‎‎+y‎2‎-2x-2y-2=0‎解得x=0,‎y=1-‎‎3‎或x=0,‎y=1+‎3‎,‎ 所以|AB|=2‎3‎,符合题意.‎ 当直线l的斜率存在时,设直线l的方程为y=kx+3,‎ 由已知可得圆的标准方程为(x - 1)2+(y - 1)2=4,其圆心为C(1,1),半径r=2,‎ 所以圆心C到直线kx - y+3=0的距离d=‎|k-1+3|‎k‎2‎‎+1‎‎=‎‎|k+2|‎k‎2‎‎+1‎.‎ 因为d 2=r 2 - (‎|AB|‎‎2‎)2,‎ 所以‎(k+2)‎‎2‎k‎2‎‎+1‎=4 - (‎2‎‎3‎‎2‎)2,即(k+2)2=k2+1,解得k= - ‎3‎‎4‎,‎ 所以直线l的方程为y= - ‎3‎‎4‎x+3,即3x+4y - 12=0.‎ 综上,满足题意的直线l的方程为x=0或3x+4y - 12=0.故选D.‎ D 素养探源　‎ 核心素养 考查途径 素养水平 数学运算 ‎①联立得到方程组,求解得到交点坐标,计算|AB|.‎ ‎②由d2=r2 - (‎|AB|‎‎2‎)2,求解k值,得到直线的方程.‎ 二 逻辑推理 分类讨论直线的斜率存在和斜率不存在的情况.‎ 一 易错警示　‎ 求解本题容易出现的问题是忽略对直线的斜率不存在时的讨论.这类问题一般有以下两种情形:‎ ‎(1)过圆外一点P(x0,y0)引圆的两条切线,若由d=r(d为圆心到切线的距离,r为圆的半径)只求出一个k值,则需要检验另一条斜率不存在的直线l:x=x0是否也符合条件.‎ ‎(2)过一定点P(x0,y0)作圆的两条割线lAB(排除过圆心的割线),与圆交于A,B两点,若由d 2=r2 - (‎|AB|‎‎2‎)2(d为圆心到割线的距离,r为圆的半径)只求出一个k值,则需要检验另一条斜率不存在的直线l:x=x0是否也符合条件.‎ ‎5.[2019惠州市高三调研]过点A(3,5)作圆O:x2+y2 - 2x - 4y+1=0的切线,则切线的方程为　. ‎ ‎1.C　解方程组x+y=2,‎‎2x - y=1,‎得x=1,‎y=1,‎即直线l1,l2的交点为(1,1).因为直线l的一个方向向量v=( - 3,2),所以直线l的斜率k= - ‎2‎‎3‎,则直线l的方程为 y - 1= - ‎2‎‎3‎(x - 1),即2x+3y - 5=0.故选C.‎ ‎2.D　直线AP的斜率k1=‎1+1‎‎1 - 0‎=2,直线BP的斜率k2=‎1+4‎‎1 - 3‎= - ‎5‎‎2‎.设直线l与线段AB交于点M,当直线l的倾斜角为锐角时,随着M从点A向点B移动的过程中,l的倾斜角变大,l的斜率也变大,此时l的斜率k≥2;当直线l的倾斜角为钝角时,随着l的倾斜角变大,l的斜率从负无穷增大到直线BP的斜率,此时l的斜率k≤ - ‎5‎‎2‎;直线PM平行于y轴时,斜率不存在.综上所述,直线l的斜率的取值范围为( - ∞, - ‎5‎‎2‎]∪[2,+∞).故选D.‎ ‎3.D　易知线段BC的中点坐标为( - ‎1‎‎2‎,1),线段BC所在直线的斜率kBC=‎2 - 0‎‎0 - ( - 1)‎=2,则线段BC的垂直平分线的方程为y - 1= - ‎1‎‎2‎(x+‎1‎‎2‎),即2x+4y - 3=0.因为AB=AC,所以△ABC的外心、重心、垂心都在线段BC的垂直平分线上,即△ABC的欧拉线方程为2x+4y - 3=0.故选D.‎ ‎4.A　不妨设P1(x1,ln x1),P2(x2, - ln x2),P(xP,yP),由于l1⊥l2,所以‎1‎x‎1‎×( - ‎1‎x‎2‎)= - 1,则x1=‎1‎x‎2‎.又切线l1:y - ln x1=‎1‎x‎1‎(x - x1),l2:y+ln x2= - ‎1‎x‎2‎(x - x2),于是A(0,ln x1 - 1),B(0,1+ln x1),所以|AB|=2.由y - lnx‎1‎=‎1‎x‎1‎(x - x‎1‎),‎y+lnx‎2‎= - ‎1‎x‎2‎(x - x‎2‎),‎解得xP=‎2‎x‎1‎‎+‎‎1‎x‎1‎,所以S△PAB=‎1‎‎2‎×2×xP=‎2‎x‎1‎‎+‎‎1‎x‎1‎,因为x1>1,所以x1+‎1‎x‎1‎>2,所以S△PAB的取值范围是(0,1),故选A.‎ ‎5.B　不等式组x+y - 3≥0,‎‎2x - y - 3≤0,‎x - 2y+3≥0‎表示的平面区域如图D 9 - 1 - 1中阴影部分所示,‎ 图D 9 - 1 - 1‎ 其中A(1,2),B(2,1),当两条平行直线间的距离最小时,两平行直线分别过点A,点B,又两平行直线的斜率为1,直线AB的斜率为 - 1,所以线段AB的长度就是分别过A,B两点的两平行直线间的距离,易得|AB|=‎2‎,即两条平行直线间的距离的最小值是‎2‎,故选B.‎ ‎6.C　解法一　如图D 9 - 1 - 2,设圆(x+1)2+(y - 5)2=2的圆心为C,则C( - 1,5),则点C不在直线y= - x上,要满足l1,l2关于直线y= - x对称,则PC必然垂直于直线y= - x,所以线段PC所在直线的斜率kPC=1,则线段PC所在的直线l:y - 5=x+1,即y=x+6,与y= - x联立,得P( - 3,3).‎ 所以|PC|=‎( - 1+3‎)‎‎2‎+(5 - 3‎‎)‎‎2‎=2‎2‎,设∠APC=α,则∠APB=2α,‎ 在△APC中,sin α=‎|AC|‎‎|PC|‎‎=‎2‎‎2‎‎2‎=‎‎1‎‎2‎,故α=30°,所以∠APB=2α=60°.故选C.‎ 图D 9 - 1 - 2‎ 解法二　如图D 9 - 1 - 2,设圆(x+1)2+(y - 5)2=2的圆心为C,则C( - 1,5),则点C不在直线y= - x上,要满足l1,l2关于直线y= - x对称,则PC必然垂直于直线y= - x,所以|PC|=‎4‎‎1‎‎2‎‎+‎‎1‎‎2‎=2‎2‎,易知圆的半径r=‎2‎,sin∠APC=‎|AC|‎‎|PC|‎‎=‎‎1‎‎2‎,则∠APC=30°,所以∠APB=60°.故选C.‎ ‎7.3x - 2y=0或x - y+1=0　当直线过原点时,直线的斜率为k=‎3 - 0‎‎2 - 0‎‎=‎‎3‎‎2‎,此时直线方程为y=‎3‎‎2‎x,即3x - 2y=0.当直线不过原点时,设直线方程为xa‎+‎y‎ - a=1,把(2,3)代入可得a= - 1,此时直线方程为x - y+1=0.故填3x - 2y=0或x - y+1=0.‎ ‎8.‎1‎‎8‎　由两条直线互相垂直得(a - 1)×1+2b=0,即a+2b=1,又a>0,b>0,所以ab=‎1‎‎2‎(a·2b)≤‎1‎‎2‎(a+2b‎2‎)2=‎1‎‎8‎,当且仅当a=‎1‎‎2‎,b=‎1‎‎4‎时取等号.故ab的最大值是‎1‎‎8‎.‎ ‎9.(1)设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1≠x2,y1=x‎1‎‎2‎‎4‎,y2=x‎2‎‎2‎‎4‎,x1+x2=4,‎ 于是直线AB的斜率k=y‎1‎‎ - ‎y‎2‎x‎1‎‎ - ‎x‎2‎‎=‎x‎1‎‎+‎x‎2‎‎4‎=1.‎ ‎(2)由y=x‎2‎‎4‎,得y'=x‎2‎.设M(x3,y3),由题设及(1)知x‎3‎‎2‎=1,‎ 解得x3=2,于是M(2,1).‎ 设直线AB的方程为y=x+m,则线段AB的中点为N(2,2+m),|MN|=|m+1|.‎ 将y=x+m代入y=x‎2‎‎4‎得x2 - 4x - 4m=0.‎ Δ=16(m+1)>0,则m> - 1,‎ 解得x1=2+2m+1‎,x2=2 - 2m+1‎.‎ 从而|AB|=‎2‎|x1 - x2|=4‎2(m+1)‎.‎ 由题设知|AB|=2|MN|,即4‎2(m+1)‎=2(m+1),解得m=7.‎ 所以直线AB的方程为y=x+7.‎ ‎1.(1)①当直线l在x,y轴上的截距均为0时,直线l的斜率为k=‎1‎‎2‎,‎ 所以直线l的方程为y=‎1‎‎2‎x,化为一般方程为x - 2y=0.‎ ‎②当直线l在x,y轴上的截距均不为0时,设直线l的方程为xt‎+‎yt=1,‎ 将(2,1)代入,得‎2‎t‎+‎‎1‎t=1,解得t=3,‎ 此时直线l的一般方程为x+y - 3=0.‎ 综上,直线l的一般方程为x - 2y=0或x+y - 3=0.‎ ‎(2)由题意得,直线l的方程为x+y - 3=0,则a+b=3.‎ 所以3a+3b≥2‎3‎a‎·‎‎3‎b=2‎3‎a+b=6‎3‎,‎ 当且仅当a=b=‎3‎‎2‎时等号成立.‎ 所以3a+3b的最小值为6‎3‎.‎ ‎2.(1)解法一　直线l的方程可化为y= - ‎3‎‎4‎x+3,可知l的斜率为 - ‎3‎‎4‎,‎ 因为l'与l平行,所以直线l'的斜率为 - ‎3‎‎4‎.‎ 又l'过点( - 1,3),所以由点斜式得直线l'的方程为y - 3= - ‎3‎‎4‎(x+1),‎ 即3x+4y - 9=0.‎ 解法二　由l'与l平行,可设l'的方程为3x+4y+m=0(m≠ - 12),‎ 将( - 1,3)代入,得m= - 9,‎ 于是所求直线方程为3x+4y - 9=0.‎ ‎(2)解法一　直线l的方程可化为y= - ‎3‎‎4‎x+3,可知l的斜率为 - ‎3‎‎4‎,‎ 因为l'与l垂直,所以直线l'的斜率为‎4‎‎3‎.‎ 又l'过点( - 1,3),所以由点斜式得直线方程为y - 3=‎4‎‎3‎(x+1),‎ 即4x - 3y+13=0.‎ 解法二　由l'与l垂直,可设l'的方程为4x - 3y+n=0,‎ 将( - 1,3)代入,得n=13,‎ 于是所求直线方程为4x - 3y+13=0.‎ ‎(3)解法一　直线l的方程可化为y= - ‎3‎‎4‎x+3,可知l的斜率为 - ‎3‎‎4‎,‎ 因为l'⊥l,所以直线l'的斜率为‎4‎‎3‎.‎ 设l'在y轴上的截距为b,则直线l'的方程为y=‎4‎‎3‎x+b,l'在x轴上的截距为 - ‎3‎‎4‎b,‎ 由题意可知,l'与两坐标轴围成的三角形的面积S=‎1‎‎2‎·|b|·| - ‎3‎‎4‎b|=4,解得b=±‎4‎‎6‎‎3‎.‎ 所以直线l'的方程为y=‎4‎‎3‎x+‎4‎‎6‎‎3‎或y=‎4‎‎3‎x - ‎4‎‎6‎‎3‎,‎ 即4x - 3y+4‎6‎=0或4x - 3y - 4‎6‎=0.‎ 解法二　由l'与l垂直,可设直线l'的方程为4x - 3y+p=0,‎ 则l'在x轴上的截距为 - p‎4‎,在y轴上的截距为p‎3‎.‎ 由题意可知,l'与两坐标轴围成的三角形的面积S=‎1‎‎2‎·|p‎3‎|·| - p‎4‎|=4,求得p=±4‎6‎.‎ 所以直线l'的方程为4x - 3y+4‎6‎=0或4x - 3y - 4‎6‎=0.‎ ‎3.(1)C　过点C作直线l,使l∥AB,则点P在直线l上.由题意易知,A(‎3‎,0),B(0,1),则|AB|=2,所以点C到直线AB的距离d=‎2‎‎2‎‎ - ‎‎1‎‎2‎‎=‎‎3‎.直线AB的方程可化为‎3‎x+3y - 3=0,由△ABP和△ABC的面积相等,可知点P到直线AB的距离等于点C到直线AB的距离,即‎|‎3‎m+3×‎1‎‎2‎ - 3|‎‎(‎3‎)‎‎2‎‎+‎‎3‎‎2‎‎=‎‎3‎,解得m= - ‎3‎‎3‎‎2‎或m=‎5‎‎3‎‎2‎.因为点P在第一象限,所以m=‎5‎‎3‎‎2‎.故选C.‎ ‎(2)4　解法一　设P(x,x+‎4‎x),x>0,则点P到直线x+y=0的距离d=‎|x+x+‎4‎x|‎‎2‎‎=‎‎2x+‎‎4‎x‎2‎≥‎2‎‎2x·‎‎4‎x‎2‎=4,当且仅当2x=‎4‎x,即x=‎2‎时取等号,故点P到直线x+y=0的距离的最小值是4.‎ 解法二　由y=x+‎4‎x(x>0)得y'=1 - ‎4‎x‎2‎,令1 - ‎4‎x‎2‎= - 1,得x=‎2‎,则当点P的坐标为(‎2‎,3‎2‎)时,点P到直线x+y=0的距离最小,最小值为‎|‎2‎+3‎2‎|‎‎2‎=4.‎ ‎【方法总结】　求曲线上一点到直线的距离的最小值时,一般解法是设出曲线上点的坐标,利用点到直线的距离公式建立目标函数,再利用基本不等式或导数求解最值,也可平移直线,使平移后的直线与曲线相切,此时切点到原直线的距离最小.‎ ‎4.x+7y - 6=0　由角平分线的性质知,点A关于∠B,∠C的平分线所在直线的对称点均在直线BC上.‎ 设点A(2, - 4)关于直线x - 3y - 6=0的对称点为A1(x1,y1),则有y‎1‎‎+4‎x‎1‎‎ - 2‎‎= - 3,‎x‎1‎‎+2‎‎2‎‎ - 3·y‎1‎‎ - 4‎‎2‎ - 6=0,‎解得x‎1‎‎=‎2‎‎5‎,‎y‎1‎‎=‎4‎‎5‎,‎即A1(‎2‎‎5‎,‎4‎‎5‎).‎ 同理可得,点A(2, - 4)关于直线x+y - 2=0的对称点A2的坐标为(6,0).‎ 所以直线A1A2的方程为y=‎0 - ‎‎4‎‎5‎‎6 - ‎‎2‎‎5‎(x - 6),即x+7y - 6=0.‎ 所以BC所在直线的方程为x+7y - 6=0.‎ ‎5.5x - 12y+45=0或x - 3=0　圆O的标准方程为(x - 1)2+(y - 2)2=4,其圆心为(1,2).∵|OA|=‎(3 - 1)‎‎2‎‎+‎‎(5 - 2)‎‎2‎‎=‎‎13‎>2,∴点A(3,5)在圆外.当切线的斜率不存在时,直线x=3与圆相切,即切线方程为x - 3=0;当切线的斜率存在时,可设所求切线方程为y - 5=k(x - 3),即kx - y+5 - 3k=0.又圆心为(1,2),半径r=2,而圆心到切线的距离d=‎|3 - 2k|‎k‎2‎‎+1‎=2,即|3 - 2k|=2k‎2‎‎+1‎,∴k=‎5‎‎12‎,即切线方程为5x - 12y+45=0.综上可知,所求切线的方程为5x - 12y+45=0或x - 3=0.‎