数学文卷·2017届北京市朝阳区高三上学期期末考试（2017 10页

北京市朝阳区2016-2017学年度高三年级第一学期统一考试 ‎ 数学试卷（文史类） 2017.1‎ ‎（考试时间120分钟 满分150分）‎ 本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分 第一部分（选择题 共40分）‎ 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.‎ ‎1. 已知全集，集合，，则 A. B. ‎ ‎ C. D. ‎ ‎2.复数 ‎ A. 2i B. 22i C. 1+i D. 1i ‎ ‎3．已知非零实数，满足，则下列不等式中一定成立的是 A. B. C. D. ‎ ‎4. 已知平面向量，，则与的夹角为 ‎ A. B． C. D. ‎ ‎5.已知，且，则“函数在上是减函数”是“函数在上是增函数”的（ ）‎ A. 充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎6. 已知双曲线 ，的左、右焦点分别是，，M是双曲线上的一点，且||，||=1，，则该双曲线的离心率是 ‎1‎ ‎2‎ 俯视图 正视图 侧视图 ‎1‎ A． B． C． D．或 ‎7．某四棱锥的三视图如图所示，其俯视图为等腰直角三角形，‎ 则该四棱锥的体积为 A. B. ‎ ‎ C. D.‎ ‎8．某校高三（1）班32名学生参加跳远和掷实心球两项测试。跳远和掷实心球两项测试成绩合格的人数分别为26人和23人，这两项成绩均不合格的有3人，则这两项成绩均合格的人数是 A. B. C. D.‎ 第二部分（非选择题 共110分）‎ 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卡上. ‎ ‎9．已知等差数列前n项和为.若，，则=_______， .‎ 开始 是 否 输出 结束 ‎10．圆C：的圆心到直线的距离是 ．‎ ‎11．执行如图所示的程序框图，则输出的结果为_______.‎ ‎12．在△中，已知，则 . ‎ ‎13．设D为不等式组表示的平面区域，对于区域D内除原点外的任一点 ‎，则的最大值是_______，的取值范围是___.‎ ‎14. 甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛，其中只有一位获奖。有人走访了四位歌手，甲说：“乙或丙获奖”；乙说：“甲、丙都未获奖”；丙说： “丁获奖”；丁说：“丙说的不对”。若四位歌手中只有一个人说的是真话，则获奖的歌手是 .‎ 三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.‎ ‎15. （本小题满分13分）‎ ‎ 已知函数.‎ ‎ （Ⅰ）求的最小正周期；‎ ‎ （Ⅱ）求在区间上的最大值和最小值.‎ ‎16. （本小题满分13分）‎ 已知等比数列的各项均为正数，且，．‎ ‎（Ⅰ）求数列的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）若数列满足，，且是等差数列，‎ 求数列的前项和.‎ ‎17. （本小题满分13分）‎ 甲、乙两位学生参加数学文化知识竞赛培训。在培训期间，他们参加的5次测试成绩记录如下：‎ 甲： 82 82 79 95 87‎ 乙： 95 75 80 90 85‎ ‎（Ⅰ）用茎叶图表示这两组数据；‎ ‎（Ⅱ）从甲、乙两人的这5次成绩中各随机抽取一个，求甲的成绩比乙的成绩高的概率；‎ ‎（Ⅲ）现要从甲、乙两位同学中选派一人参加正式比赛，从统计学的角度考虑，你认为选派哪位同学参加合适？并说明理由．‎ F A D C B E ‎18. （本小题满分14分）‎ 如图，四边形是边长为的正方形，平面平面，‎ ‎, ．‎ ‎（Ⅰ）求证：平面；‎ ‎（Ⅱ）求证：平面；‎ ‎（Ⅲ）求三棱锥的体积．‎ ‎19. （本小题满分13分）‎ ‎ 在平面直角坐标系中，动点与两定点,连线的斜率乘积为，记点的轨迹为曲线.‎ ‎（Ⅰ）求曲线的方程；‎ ‎（Ⅱ）若曲线上的两点满足,，求证：的面积为定值.‎ ‎20. （本小题满分14分）‎ ‎ 设函数.‎ ‎（Ⅰ）当时，求曲线在点处的切线方程；‎ ‎（Ⅱ）若函数有两个零点，试求的取值范围;‎ ‎(III)设函数当时，证明.‎ 北京市朝阳区2016-2017学年度高三年级第一学期统一考试 ‎ 数学答案（文史类） 2017.1 ‎ 一、选择题：（满分40分）‎ 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ 答案 C ‎ D D B A D C B 二、填空题：（满分30分）‎ 题号 ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ ‎13‎ ‎14‎ 答案 ‎，‎ ‎，‎ 甲 ‎（注：两空的填空，第一空3分，第二空2分）‎ 三、解答题：（满分80分）‎ ‎15. （本小题满分13分）‎ 解: 解：（Ⅰ）因为 ‎ . ‎ ‎ 所以的最小正周期为. ………………………………………………………7分 ‎ （Ⅱ）因为 ‎ 当时，取得最大值；‎ ‎ 当取得最小值. …………………………13分 ‎16. （本小题满分13分）‎ 解：(Ⅰ）解：设等比数列的公比为，依题意 ． ‎ ‎ 因为 ‎ ‎ 两式相除得 ：， ‎ 解得 ， (舍去)． ‎ ‎ 所以 ． ‎ ‎ 所以数列的通项公式为 ．………………………………6分 ‎ ‎（Ⅱ）解:由已知可得，， ‎ 因为为等差数列，‎ ‎ 所以数列是首项为，公差为的等差数列． ‎ ‎ 所以 . ‎ 则.‎ 因此数列的前项和：‎ ‎. …………………………………………………………13分 ‎17. （本小题满分13分）‎ 解：（Ⅰ）作出茎叶图如下；‎ ‎………………………………………………………………………………………4分 ‎（Ⅱ）记甲被抽到的成绩为，乙被抽到成绩为，用数对表示基本事件：‎ 基本事件总数．‎ 设“甲的成绩比乙高”为事件A,事件A包含的基本事件：‎ 事件A包含的基本事件数．‎ 所以，．…………………………………………………………9分 ‎（Ⅲ）派甲参赛比较合适，理由如下：‎ ‎ ，‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 因为 ，‎ ‎ 所以，甲的成绩较稳定，派甲参赛比较合适．……………………………13分 ‎ ‎18. （本小题满分14分）‎ 证明：（Ⅰ）因为平面平面，‎ 平面平面，且，所以平面.‎ 因为平面，所以．‎ 又因为四边形为正方形，所以．‎ ‎ 因为，所以平面．…………………………………4分 F A D C B E O G ‎（Ⅱ）设，‎ 因为四边形为正方形，‎ 所以为中点．‎ 设为的中点，连结，‎ 则，且．‎ 由已知，且，‎ 则且 所以四边形为平行四边形.‎ 所以，即．‎ 因为平面，平面，‎ 所以平面．…………………………………………………………9分 ‎（Ⅲ）由（Ⅰ）可知平面，‎ 因为，所以平面，‎ 所以．‎ 又因为四边形为正方形，所以，‎ 所以平面．‎ 由（Ⅱ）可知，平面，‎ 所以，点到平面的距离等于点到平面的距离，‎ 所以 ．‎ 因为．‎ 所以 ‎．‎ 故三棱锥的体积为．…………………………………………………14分 ‎ ‎19. （本小题满分13分）‎ 解：（Ⅰ）设，则，‎ 整理得. …………………………………………………5分 ‎（Ⅱ）依题直线的斜率乘积为.‎ 当直线的斜率不存在时，直线的斜率为，设直线的方程 是，由得，.取，则.‎ 所以的面积为.‎ 当直线的斜率存在时，设方程为.‎ 由得，.‎ 因为，在椭圆上，‎ 所以，解得.‎ 设,,则，；‎ 所以 ‎.‎ 设点到直线的距离为，则.‎ 所以的面积为①.‎ 因为,，直线,的斜率乘积为，所以.‎ 所以 由，得②.‎ 由①②，得. …………………………13分 ‎20. （本小题满分14分）‎ 解：（Ⅰ）当时，函数， ‎ 因为，所以.又 则所求的切线方程为.‎ 化简得：.……………………………………………………………3分 ‎ ‎（Ⅱ）因为 ①当时，函数只有一个零点；‎ ②当，函数当时，；‎ 函数当时，.‎ 所以在上单调递减，在上单调递增.‎ 又，，‎ 因为，所以，所以，所以 取，显然且 所以，.‎ 由零点存在性定理及函数的单调性知，函数有两个零点.‎ ③当时，由，得，或.‎ 若，则.‎ 故当时，，所以函数在在单调递增，所以函数在至多有一个零点.‎ 又当时，，所以函数在上没有零点.‎ 所以函数不存在两个零点.‎ 若，则.‎ 当时，，所以函数在上单调递增，所以函数在至多有一个零点.‎ 当时，；当时，；‎ 所以函数在上单增，上单调递减，所以函数在 上的最大值为，所以函数在上没有零点.‎ 所以不存在两个零点.‎ 综上，的取值范围是 ……………………………………………………9分 （III）证明:当时，.‎ 设，其定义域为，则证明即可.‎ 因为，所以，.‎ 又因为，所以函数在上单调递增.‎ 所以有唯一的实根，且.‎ 当时，；当时，.‎ 所以函数的最小值为.‎ 所以 ‎.‎ 所以. …………………………………………………………14分 ‎ ‎ ‎