数学卷·2018届湖南省衡阳市第八中学高二理科实验班下学期第二次月考（2017-04） 14页

衡阳八中2016-2017学年下期高二年级第二次月考试卷 数学（试题卷）‎ 注意事项：‎ ‎1.本卷为衡阳八中高二年级理科实验班第二次月考试卷，分两卷。其中共22题，满分150分，考试时间为120分钟。‎ ‎2.考生领取到试卷后，应检查试卷是否有缺页漏页，重影模糊等妨碍答题现象，如有请立即向监考老师通报。开考15分钟后，考生禁止入场，监考老师处理余卷。‎ ‎3.请考生将答案填写在答题卡上，选择题部分请用2B铅笔填涂，非选择题部分请用黑色0.5mm签字笔书写。考试结束后，试题卷与答题卡一并交回。‎ ‎★预祝考生考试顺利★‎ 第I卷 选择题（每题5分，共60分）‎ 本卷共12题，每题5分，共60分，在每题后面所给的四个选项中，只有一个是正确的。‎ ‎1.已知全集U={1，2，3，4，5，6，7}，集合A={1，3，7}，B={x|x=log2（a+1），a∈A}，则（∁UA）∩（∁UB）=（　　）‎ A．{1，3} B．{5，6} C．{4，5，6} D．{4，5，6，7}‎ ‎2.已知f（x）=log（x2﹣2x）的单调递增区间是（　　）‎ A.（1，+∞）B．（2，+∞）C．（﹣∞，0）D．（﹣∞，1）‎ ‎3.已知函数f（x）=是（﹣∞，+∞）上的减函数，则实数a的取值范围为（　　）‎ A．（﹣∞，5） B．（0，2] C．（0，5） D．[2，5）‎ ‎4.设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题是真命题的是（　　）‎ A．若m∥α，m∥β，则α∥β B．若m∥α，α∥β，则m∥β C．若m⊂α，m⊥β，则α⊥β ‎ D．若m⊂α，α⊥β，则m⊥β ‎5.若存在两个正实数x，y，使得等式3x+a（2y﹣4ex）（lny﹣lnx）=0成立，其中e为自然对数的底数，则实数a的取值范围是（　　）‎ A．（﹣∞，0）B．‎ C．D．‎ ‎6.定义在R上的奇函数f（x）满足f（x+2）=f（2﹣x），当x∈[0，2]时，f（x）=﹣4x2+8x．若在区间[a，b]上，存在m（m≥3）个不同整数xi（i=1，2，…，m），满足|f（xi）﹣f（xi+1）|≥72，则b﹣a的最小值为（　　）‎ A．15 B．16 C．17 D．18‎ ‎7.已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（　　）‎ A． B． C．2 D．‎ ‎8.如图，长方形ABCD的长AD=2x，宽AB=x（x≥1），线段MN的长度为1，端点M、N在长方形ABCD的四边上滑动，当M、N沿长方形的四边滑动一周时，线段MN的中点P所形成的轨迹为G，记G的周长与G围成的面积数值的差为y，则函数y=f（x）的图象大致为（　　）‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎9.已知体积为的球有一个内接正三棱锥P﹣ABC，PQ是球的直径，∠APQ=60°，则三棱锥P﹣ABC的体积为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎10.函数f（x）=的图象大致是（　　）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎11.已知三棱锥P﹣ABC的所有顶点都在表面积为16π的球O的球面上，AC为球O的直径，当三棱锥P﹣ABC的体积最大时，设二面角P﹣AB﹣C的大小为θ，则sinθ=（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎12.已知f（x）是定义在（0，+∞）的函数．对任意两个不相等的正数x1，x2，都有＞0，记a=，b=，c=，则（　　）‎ A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．c＜a＜b D．c＜b＜a 第II卷 非选择题（共90分）‎ 二.填空题（每题5分，共20分）‎ ‎13.函数f（x）=2x+2﹣3×4x，x∈（﹣∞，1）的值域为　　．‎ ‎14.已知空间三点A（0，2，3），B（﹣2，1，6），C（1，﹣1，5），若向量分别与向量，垂直，且||=，则向量的坐标为　　．‎ ‎15.已知三棱锥O﹣ABC，A、B、C三点均在球心为O的球表面上，AB=BC=1，∠ABC=120°，三棱锥O﹣ABC的体积为，则球O的体积是　 　．‎ ‎16.设f（x）与g（x）是定义在同一区间[a，b]上的两个函数，若函数y=f（x）﹣g（x）在x∈[a，b]上有两个不同的零点，则称f（x）和g（x）在[a，b]上是“关联函数”，区间[a，b]称为“关联区间”．若f（x）=x2﹣3x+4与g（x）=2x+m在[0，3]上是“关联函数”，则m的取值范围　　．‎ 三.解答题（共6题，共70分）‎ ‎17.（本题满分10分）‎ 已知定义域为R的函数f（x）=是奇函数．‎ ‎（1）求实数a的值，并判断f（x）的单调性（不用证明）；‎ ‎（2）已知不等式f（logm）+f（﹣1）＞0恒成立，求实数m的取值范围．‎ ‎18.（本题满分12分）‎ 如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D、M分别为CC1和A1B的中点，A1D⊥CC1，△AA1B是边长为2的正三角形，A1D=2，BC=1．‎ ‎（1）证明：MD∥平面ABC；‎ ‎（2）证明：BC⊥平面ABB1A1‎ ‎（3）求二面角B﹣AC﹣A1的余弦值．‎ ‎19.（本题满分12分）‎ 已知指数函数y=g（x）满足：g（3）=27，定义域为R的函数f（x）=是奇函数．‎ ‎（Ⅰ）确定y=g（x），y=f（x）的解析式；‎ ‎（Ⅱ）若h（x）=kx﹣g（x）在（0，1）上有零点，求k的取值范围；‎ ‎（Ⅲ）若对任意的t∈（1，4），不等式f（2t﹣3）+f（t﹣k）＞0恒成立，求实数k的取值范围．‎ ‎20.（本题满分12分）‎ 对于定义域为R的函数f（x），如果存在非零常数T，对任意x∈R，都有f（x+T）=Tf（x）成立，则称函数f（x）为“T函数”．‎ ‎（1）设函数f（x）=x，判断f（x）是否为“T函数”，说明理由；‎ ‎（2）若函数g（x）=ax（a＞0，且a≠1）的图象与函数y=x的图象有公共点，证明：g（x）为“T函数”；‎ ‎（3）若函数h（x）=cosmx为“T函数”，求实数m的取值范围．‎ ‎21.（本题满分12分）‎ 如图，在圆柱OO1中，矩形ABB1A1是过OO1的截面CC1是圆柱OO1的母线，AB=2，AA1=3，∠CAB=．‎ ‎（1）证明：AC1∥平面COB1；‎ ‎（2）在圆O所在的平面上，点C关于直线AB的对称点为D，求二面角D﹣B1C﹣B的余弦值．‎ ‎22.（本题满分12分）‎ 如果函数y=f（x）的定义域为R，对于定义域内的任意x，存在实数a使得f=f（x+a）=f（﹣x）成立，则称此函数具有“P（a）性质”；‎ ‎（1）判断函数y=sinx是否具有“P（a）性质”，若具有“P（a）性质”，试写出所有a的值；若不具有“P（a）性质”，请说明理由；‎ ‎（2）已知y=f（x）具有“P（0）性质”，当x≤0时，f（x）=（x+t）2，t∈R，求y=f（x）在[0，1]上的最大值；‎ ‎（3）设函数y=g（x）具有“P（±1）性质”，且当﹣≤x≤时，g（x）=|x|，求：当x∈R时，函数g（x）的解析式，若y=g（x）与y=mx（m∈R）交点个数为1001个，求m的值．‎ 参考答案 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 答案 C C D C D D B C C A C C ‎13.（﹣4，]‎ ‎14.（1，1，1）或（﹣1，﹣1，﹣1）‎ ‎15.π ‎16.‎ ‎17.‎ ‎（1）∵f（x）是定义域为R上的奇函数，‎ ‎∴f（0）=0，‎ ‎∴=0，‎ 解得a=1，‎ ‎∴f（x）==﹣1+，‎ ‎∵y=2x是R上的增函数，‎ ‎∴f（x）在R上为减函数，‎ ‎（2）∵f（x）是R上的奇函数，‎ ‎∴f（logm）+f（﹣1）＞0‎ 等价于f（logm）＞﹣f（﹣1）=f（1），‎ 又∵f（x）是R上的减函数，‎ ‎∴logm=logmm，‎ ‎∴当0＜m＜1时，＞m，即0＜m＜；‎ 当m＞1时，＜m，即m＞1；‎ 综上，m的取值范围是m∈（0，）∪（1，+∞）．‎ ‎18.（1）证明：取AB的中点H，连接HM，CH，‎ ‎∵D、M分别为CC1和A1B的中点，‎ ‎∴HM∥BB1，HM=BB1=CD，‎ ‎∴HM∥CD，HM=CD，‎ 则四边形CDMH是平行四边形，‎ 则CH=DM．‎ ‎∵CH⊂平面ABC，DM⊄平面ABC，‎ ‎∴MD∥平面ABC；‎ ‎（2）证明：取BB1的中点E，‎ ‎∵△AA1B是边长为2的正三角形，A1D=2，BC=1．‎ ‎∴C1D=1，‎ ‎∵A1D⊥CC1，‎ ‎∴A1C1==，‎ 则A1B12+A1B12=4+1=5=A1C12，‎ 则△A1B1C1是直角三角形，‎ 则B1C1⊥A1B1，‎ ‎∵在正三角形BA1B1中，A1E=，‎ ‎∴A1E2+DE2=3+1=4=A1D12，‎ 则△A1DE是直角三角形，‎ 则DE⊥A1E，‎ 即BC⊥A1E，BC⊥A1B1，‎ ‎∵A1E∩A1B1=A1，‎ ‎∴BC⊥平面ABB1A1‎ ‎（3）建立以E为坐标原点，EB，EA1的反向延长线，ED分别为x，y，z轴的空间直角坐标系如图：‎ 则E（0，0，0），B（1，0，0），C（1，0，1），A（2，﹣，0），A1（0，﹣，0），‎ 则设平面ABC的法向量为=（x，y，z），‎ ‎=（﹣1，，0），=（0，0，1），‎ 则，即，‎ 令y=1，则x=，z=0，即=（，1，0），‎ 平面ACA1的法向量为=（x，y，z），‎ ‎=（﹣1，，1），=（﹣2，0，0），‎ 则，得，即，‎ 令y=1，则z=﹣，x=0，即=（0，1，﹣），‎ 则cos＜，＞====，‎ 即二面角B﹣AC﹣A1的余弦值是．‎ ‎19.（Ⅰ）设g（x）=ax（a＞0且a≠1），则a3=27，∴a=3，∴g（x）=3x，∴，‎ 因为f（x）是奇函数，所以f（0）=0，即，‎ ‎∴，又f（﹣1）=﹣f（1），∴；∴．‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知：g（x）=3x，又因h（x）=kx﹣g（x）在（0，1）上有零点，‎ 从而h（0）•h（1）＜0，即（0﹣1）•（k﹣3）＜0，‎ ‎∴k﹣3＞0，∴k＞3，‎ ‎∴k的取值范围为（3，+∞）．‎ ‎（Ⅲ）由（Ⅰ）知，﹣‎ ‎∴f（x）在R上为减函数（不证明不扣分）．‎ 又因f（x）是奇函数，f（2t﹣3）+f（t﹣k）＞0‎ 所以f（2t﹣3）＞﹣f（t﹣k）=f（k﹣t），‎ 因f（x）为减函数，由上式得：2t﹣3＜k﹣t，‎ 即对一切t∈（1，4），有3t﹣3＜k恒成立，‎ 令m（x）=3t﹣3，t∈[1，4]，易知m（x）在[1，4]上递增，所以ymax=3×4﹣3=9，‎ ‎∴k≥9，‎ 即实数k的取值范围为[9，+∞）．‎ ‎20.（1）若函数f（x）=x是“T函数”，则f（x+T）=T•f （x），‎ 即x+T=Tx恒成立；‎ 故（T﹣1）x=T恒成立，‎ 上式不可能恒成立；‎ 故f（x）不是“T函数”；‎ ‎（2）证明：若函数g（x）=ax（a＞0，且a≠1）的图象与函数y=x的图象有公共点，‎ 则0＜a＜1，‎ 若函数g（x）=ax是“T函数”，则f（x+T）=T•f （x），‎ 即ax+T=Tax恒成立；‎ 故aT=T成立，‎ 故g（x）为“T函数”；‎ ‎（3）若函数f（x）=cosmx是“T函数”，则f（x+T）=T•f （x），‎ 即cos（m（x+T））=Tcosmx恒成立；‎ 故cos（mx+mT）=Tcosmx恒成立；‎ 即cosmxcosmT﹣sinmxsinmT=Tcosmx恒成立，‎ 故，‎ 故T=±1，m=kπ，k∈Z．‎ 即实数m的取值范围是{m|m=kπ，k∈Z}．‎ ‎21.（1）连结B1C1、BC1，设BC1∩B1C=M，‎ ‎∵BB1CC1，∴四边形BB1C1C为平行四边形，∴M为BC1的中点，‎ 在△ABC1中，O为AB的中点，∴MO∥AC1，‎ 又AC1⊄平面B1CD，MO⊂平面B1CD，‎ ‎∴AC1∥平面COB1．‎ ‎（2）如图，∵AB是圆O的直径，∴AC⊥BC，‎ ‎∵C1C⊥平面ABC，∴C1C⊥AC，C1C⊥BC，‎ 又∠BAC=60°，AB=2，∴AC=1，BC=，AA1=3，‎ 以点C为坐标原点，分别以CA，CB，OC1为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，‎ 则C（0，0，0），A（1，0，0），B（0，，0），C1（0，0，3），‎ O（，0），B1（0，），‎ 在圆O上，C，D关于直线AB对称，△AOC为正三角形，且OA=1，‎ ‎∴CD=，∠ACD=30°，过点D作DP⊥x轴，DQ⊥y轴，垂足分别为P，Q，‎ 则CP=CD•cos=，‎ CQ=CD•sin，∴D（，0），∴=（，0），‎ 设平面CDB1的一个法向量=（x，y，z），‎ 则，取y=﹣，得=（1，﹣，1），‎ 平面B1BC的一个法向量=（1，0，0），‎ 设二面角D﹣B1C﹣B的二面角为θ，‎ 则cosθ==．‎ 故二面角D﹣B1C﹣B的余弦值为．‎ ‎ ‎ ‎22.（1）由sin（x+a）=sin（﹣x）得sin（x+a）=﹣sinx，‎ 根据诱导公式得a=2kπ+π（k∈Z）．‎ ‎∴y=sinx具有“P（a）性质”，其中a=2kπ+π（k∈Z）．‎ ‎（2）∵y=f（x）具有“P（0）性质”，‎ ‎∴f（x）=f（﹣x）．‎ 设x≥0，则﹣x≤0，∴f（x）=f（﹣x）=（﹣x+t）2=（x﹣t）2‎ ‎∴f（x）=‎ 当t≤0时，∵y=f（x）在[0，1]递增，‎ ‎∴x=1时ymax=（1﹣t）2，‎ 当0＜t＜时，y=f（x）在[0，t]上递减，在[t，1]上递增，且f（0）=t2＜f（1）=（1﹣t）2，‎ ‎∴x=1时ymax=（1﹣t）2，‎ 当t≥时，‎ ‎∵y=f（x）在[0，m]上递减，在[m，1]上递增，且f（0）=m2≥f（1）=（1﹣m）2，‎ ‎∴x=0时，ymax=t2，‎ 综上所述：当t＜时，ymax=f（1）=（1﹣t）2，‎ 当t≥ymax=f（0）=t2，‎ ‎（3）∵y=g（x）具有“P（±1）性质”，‎ ‎∴g（1+x）=g（﹣x），g（﹣1+x）=g（﹣x），‎ ‎∴g（x+2）=g（1+1+x）=g（﹣1﹣x）=g（x），从而得到y=g（x）是以2为周期的函数．‎ 又≤x≤设，则﹣≤x﹣1≤，‎ g（x）=g（x﹣2）=g（﹣1+x﹣1）=g（﹣x+1）=|﹣x+1|=|x﹣1|=g（x﹣1）．‎ 再设n﹣≤x≤n+（n∈z），‎ 当n=2k（k∈z），则2k﹣≤x≤2k+，则﹣≤x﹣2k≤，‎ g（x）=g（x﹣2k）=|x﹣2k|=|x﹣n|；‎ 当n=2k+1（k∈z），则2k+1﹣≤x≤2k+1+，则≤x﹣2k≤‎ g（x）=g（x﹣2k）=|x﹣2k﹣1|=|x﹣n|；‎ ‎∴g（x）=‎ ‎∴对于n﹣≤x≤n+，（n∈z），都有g（x）=|x﹣n|，而n+1﹣＜x+1＜n+1+，‎ ‎∴g（x+1）=|（x+1）﹣（n+1）|=|x﹣n|=g（x），‎ ‎∴y=g（x）是周期为1的函数．‎ ‎①当m＞0时，要使y=mx与y=g（x）有1001个交点，只要y=mx与y=g（x）在[0，500）有1000个交点，而在[500，501]有一个交点．‎ ‎∴y=mx过（，），从而得m=‎ ‎②当m＜0时，同理可得m=﹣‎ ‎③当m=0时，不合题意．‎ 综上所述m=±‎