高考数学 17-18版 附加题部分 第1章 第57课 课时分层训练1 5页

课时分层训练(一)‎ A组　基础达标 ‎(建议用时：30分钟)‎ ‎1．标号分别为A，B，C的三个口袋，A袋中有1个红色小球，B袋中有2个白色小球，C袋中有3个黄色小球，现从中取出两个小球．‎ ‎(1)若取出的两个球颜色不同，有多少种取法？‎ ‎(2)若取出的两个球颜色相同，有多少种取法？‎ ‎[解]　(1)若两个球颜色不同，则应在A，B袋中各取一个或A，C袋中各取一个或B，C袋中各取一个，所以应有1×2＋1×3＋2×3＝11种取法．‎ ‎(2)若两个球颜色相同，则应在B或C袋中取出2个，所以应有1＋3＝4种取法．‎ ‎2．已知集合M＝{－3，－2，－1,0,1,2}，P(a，b)表示平面上的点(a，b∈M)，问：‎ ‎(1)P可表示平面上多少个不同的点？‎ ‎(2)P可表示平面上多少个第二象限的点？‎ ‎(3)P可表示多少个不在直线y＝x上的点？ 【导学号：62172316】‎ ‎[解]　(1)确定平面上的点P(a，b)可分两步完成：‎ 第一步确定a的值，共有6种确定方法；‎ 第二步确定b的值，也有6种确定方法．‎ 根据分步计数原理，得到平面上的点的个数是6×6＝36.‎ ‎(2)确定第二象限的点，可分两步完成：‎ 第一步确定a，由于a<0，所以有3种确定方法；‎ 第二步确定b，由于b>0，所以有2种确定方法．‎ 由分步计数原理，得到第二象限点的个数是3×2＝6.‎ ‎(3)点P(a，b)在直线y＝x上的充要条件是a＝b.因此a和b必须在集合M中取同一元素，共有6种取法，即在直线y＝x上的点有6个．‎ 由(1)得不在直线y＝x上的点共有36－6＝30(个)．‎ ‎3．在校运动会上，8名男运动员参加100米决赛．其中甲、乙、丙三人必须在1,2,3,4,5,6,7,8八条跑道的奇数号跑道上，则安排这8名运动员比赛的方式共有多少种？‎ ‎[解]　分两步安排这8名运动员．‎ 第一步：安排甲、乙、丙三人，共有1,3,5,7四条跑道可安排，所以安排方式有4×3×2＝24(种)．‎ 第二步：安排另外5人，可在2,4,6,8及余下的一条奇数号跑道安排，所以安排方式有5×4×3×2×1＝120(种)．‎ 所以安排这8人的方式有24×120＝2 880(种)．‎ ‎4．如图573所示的五个区域中，中心区域是一幅图画，现在要求在其余四个区域中涂色，现有四种颜色可供选择．‎ 图573‎ 要求每一个区域只涂一种颜色，相邻区域所涂颜色不同，则不同的涂色方法种数共有多少种？‎ ‎[解]　将四种颜色编号为①②③④，A有4种涂法，设涂①，B有3种涂法，设涂②，下面分3类：‎ 若C涂①，则D可涂②③④，共3种方法；‎ 若C涂③，则D可涂②④，共2种方法；‎ 若C涂④，则D可涂②③，共2种方法；‎ 于是， 不同的涂法为4×3×(3＋2＋2)＝84(种)．‎ ‎5．(2016·全国卷Ⅱ改编)如图574，小明从街道的E处出发，先到F处与小红会合，再一起到位于G处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径共有多少条？‎ 图574‎ ‎[解]　分两步，第一步，从E→F，有6条可以选择的最短路径；第二步，从F→G，有3条可以选择的最短路径．由分步乘法计数原理可知有6×3＝18条可以选择的最短路程．‎ ‎6．某外语组有9人，每人至少会英语和日语中的一门，其中7人会英语，3人会日语，从中选出会英语和日语的各一人，有多少种不同的选法？‎ ‎[解]　由题意得有1人既会英语又会日语，6人只会英语，2人只会日语．‎ 第一类：从只会英语的6人中选1人说英语，共有6种方法，则说日语的有2＋1＝3种，此时共有6×3＝18种；‎ 第二类：不从只会英语的6人中选1人说英语，则只有1种方法，则选会日语的有2种，此时共有1×2＝2种；所以根据分类计数原理知共有18＋2＝20(种)选法．‎ B组　能力提升 ‎(建议用时：15分钟)‎ ‎1．有一项活动需在3名老师，6名男同学和8名女同学中选人参加．‎ ‎(1)若只需一人参加，有多少种不同选法？‎ ‎(2)若需一名老师，一名学生参加，有多少种不同选法？‎ ‎(3)若需老师，男同学、女同学各一人参加，有多少种不同选法？‎ ‎ 【导学号：62172317】‎ ‎[解]　(1)只需一人参加，可按老师、男同学、女同学分三类各自有3,6,8种方法，总方法数为3＋6＋8＝17(种)．‎ ‎(2)分两步，先选教师共3种选法，再选学生共6＋8＝14种选法，由分步计数原理知，总方法数为3×14＝42(种)．‎ ‎(3)教师、男、女同学各一人可分三步，每步方法依次为3,6,8种．由分步计数原理知方法数为3×6×8＝144(种)．‎ ‎2．为了做好阅兵人员的运输，从某运输公司抽调车辆支援，该运输公司有7个车队，每个车队的车辆均多于4辆．现从这个公司中抽调10辆车，并且每个车队至少抽调1辆，那么共有多少种不同的抽调方法？‎ ‎[解]　在每个车队抽调1辆车的基础上，还需抽调3辆车．可分成三类：一类是从某1个车队抽调3辆，有C种抽调方法；一类是从2个车队中抽调，其中1个车队抽调1辆，另1个车队抽调2辆，有A种抽调方法；一类是从3个车队中各抽调1辆，有C种抽调方法．故共有C＋A＋C＝84种抽调方法．‎ ‎3．将一个四棱锥SABCD的每个顶点染上一种颜色，并使同一条棱的两个端点异色，如果只有5种颜色可供使用，那么不同的染色方法的总数是多少？‎ ‎[解]　设想染色按S—A—B—C—D的顺序进行，对S，A，B染色，有5×4×3＝60(种)染色方法．‎ 由于C点的颜色可能与A同色或不同色，这影响到D点颜色的选取方法数，故分类讨论：‎ C与A同色时(此时C对颜色的选取方法唯一)，D应与A(C)，S不同色，有3种选择；C与A不同色时，C有2种可选择的颜色，D也有2种颜色可供选择．从而对C，D染色有1×3＋2×2＝7(种)染色方法．‎ 由分步计数原理，总的染色方法有60×7＝420(种)．‎ ‎4．(2016·扬州期末)对于给定的大于1的正整数n，设x＝a0＋a1n＋a2n2＋…＋annn，其中ai∈{0,1,2，…，n－1}，i＝0,1,2，…，n－1，n，且an≠0，记满足条件的所有x的和为An.‎ ‎(1)求A2；‎ ‎(2)设An＝f(n)，求f(n)．‎ ‎[解]　(1)当n＝2时，x＝a0＋2a1＋4a2，a0∈{0,1}，a1∈{0,1}，a2＝1，故满足条件的x共有4个，分别为x＝0＋0＋4，x＝0＋2＋4，x＝1＋0＋4，x＝1＋2＋4，它们的和是22.‎ ‎(2)由题意得，a0，a1，a2，…，an－1各有n种取法；an有n－1种取法，由分步计数原理可得a0，a1，a2，…，an－1，an的不同取法共有n·n…n·(n－1)＝nn(n－1)，即满足条件的x共有nn(n－1)个．当a0分别取i＝0,1,2，…，n－1时，a1，a2，…，an－1各有n种取法，an有n－1种取法，故An中所有含a0项的和为[0＋1＋2＋…＋(n－1)]nn－1(n－1)＝；‎ 同理，An中所有含a1项的和为[0＋1＋2＋…＋(n－1)]nn－1(n－1)·n＝·n；An中所有含a2项的和为[0＋1＋2＋…＋(n－1)]nn－1(n－1)·n2＝·n2；An中所有含an－1项的和为[0＋1＋2＋…＋(n－1)]nn－1(n－1)·nn－1＝·nn－1；当an分别取i＝1,2，…，n－1时，a0，a1，a2，…，an－1各有n种取法，‎ 故An中所有含an项的和为[1＋2＋…＋(n－1)]nn·nn＝·nn；‎ 所以An＝(1＋n＋n2＋…＋nn－1)＋·nn＝·＋·nn ‎＝(nn＋1＋nn－1)．‎ 故f(n)＝nn＋1＋nn－1.‎