2016届高考数学（理）大一轮复习达标训练试题：课时跟踪检测(四十一)　数学归纳法 4页

课时跟踪检测(四十一)　数学归纳法 一、选择题 ‎1．(2015·山东德州一模)用数学归纳法证明“1＋2＋22＋…＋2n＋2＝2n＋3－‎1”‎，在验证n＝1时，左边计算所得的式子为(　　)‎ A．1　　　　　　　　　　 B．1＋2‎ C．1＋2＋22 D．1＋2＋22＋23‎ ‎2．用数学归纳法证明不等式1＋＋＋…＋＞(n∈N*)成立，其初始值至少应取(　　)‎ A．7 B．8‎ C．9 D．10‎ ‎3．凸n多边形有f(n)条对角线，则凸(n＋1)边形的对角线的条数f(n＋1)为(　　)‎ A．f(n)＋n＋1 B．f(n)＋n C．f(n)＋n－1 D．f(n)＋n－2‎ ‎4．(2015·上海闸北二模)平面内有n条直线，最多可将平面分成f(n)个区域，则f(n)的表达式为(　　)‎ A．n＋1 B．2n C. D．n2＋n＋1‎ ‎5．在数列{an}中，a1＝，且Sn＝n(2n－1)an，通过求a2，a3，a4，猜想an的表达式为(　　)‎ A. B. C. D. ‎6．利用数学归纳法证明“(n＋1)(n＋2) …·(n＋n)＝2n×1×3×…×(2n－1)，n∈N*”时，从“n＝k”变到“n＝k＋‎1”‎时，左边应增乘的因式是(　　)‎ A．2k＋1 B．2(2k＋1)‎ C. D. 二、填空题 ‎7．用数学归纳法证明“当n为正奇数时，xn＋yn能被x＋y整除”，当第二步假设n＝2k－1(k∈N*)命题为真时，进而需证n＝________时，命题亦真．‎ ‎8．用数学归纳法证明1＋2＋3＋…＋n2＝，则当n＝k＋1时左端应在n＝k的基础上加上的项为______________________________．‎ ‎9．设数列{an}的前n项和为Sn，且对任意的自然数n都有：(Sn－1)2＝anSn，通过计算 S1，S2，S3，猜想Sn＝________.‎ ‎10．设平面上n个圆周最多把平面分成f(n)片(平面区域)，则f(2)＝________，f(n)＝________.(n≥1，n∈N*)‎ 三、解答题 ‎11.已知点Pn(an，bn)满足an＋1＝an·bn＋1，bn＋1＝(n∈N*)，且点P1的坐标为(1，－1)．‎ ‎(1)求过点P1，P2的直线l的方程；‎ ‎(2)试用数学归纳法证明：对于n∈N*，点Pn都在(1)中的直线l上．‎ ‎12．设数列{an}满足an＋1＝a－nan＋1(n∈N*)．‎ ‎(1)当a1＝2时，求a2，a3，a4，并由此猜想出an的一个通项公式；‎ ‎(2)当a1≥3时，证明：对所有的n≥1，有an≥n＋2.‎ 答案 ‎1．选D　当n＝1时，左边＝1＋2＋22＋23.‎ ‎2．选B　左边＝1＋＋＋…＋＝＝2－，代入验证可知n的最小值是8.‎ ‎3．选C　边数增加1，顶点也相应增加1个，它与和它不相邻的n－2个顶点连接成对角线，原来的一条边也成为对角线，因此，对角线增加n－1条．‎ ‎4．选C　1条直线将平面分成1＋1个区域；2条直线最多可将平面分成1＋(1＋2)＝4个区域；3条直线最多可将平面分成1＋(1＋2＋3)＝7个区域；…；n条直线最多可将平面分成1＋(1＋2＋3＋…＋n)＝1＋＝个区域，选C.‎ ‎5．选C　由a1＝，Sn＝n(2n－1)an求得a2＝＝，a3＝＝，a4＝＝.猜想an＝.‎ ‎6．选B　当n＝k(k∈N*)时，‎ 左式为(k＋1)(k＋2) ·…·(k＋k)；‎ 当n＝k＋1时，左式为(k＋1＋1)·(k＋1＋2)·…·(k＋1＋k－1)·(k＋1＋k)·(k＋1＋k＋1)，‎ 则左边应增乘的式子是＝2(2k＋1)．‎ ‎7．解析：n为正奇数，假设n＝2k－1成立后，需证明的应为n＝2k＋1时成立．‎ 答案：2k＋1‎ ‎8．解析：当n＝k时左端为1＋2＋3＋…＋k＋(k＋1)＋(k＋2)＋…＋k2，‎ 则当n＝k＋1时，左端为 ‎1＋2＋3＋…＋k2＋(k2＋1)＋(k2＋2)＋…＋(k＋1)2，‎ 故增加的项为(k2＋1)＋(k2＋2)＋…＋(k＋1)2.‎ 答案：(k2＋1)＋(k2＋2)＋…＋(k＋1)2‎ ‎9．解析：由(S1－1)2＝S得：S1＝；‎ 由(S2－1)2＝(S2－S1)S2得：S2＝；‎ 由(S3－1)2＝(S3－S2)S3得：S3＝.‎ 猜想Sn＝.‎ 答案： ‎10．解析：易知2个圆周最多把平面分成4片；n个圆周最多把平面分成f(n)片，再放入第n＋1个圆周，为使得到尽可能多的平面区域，第n＋1个应与前面n个都相交且交点均不同，有n条公共弦，其端点把第n＋1个圆周分成2n段，每段都把已知的某一片划分成2片，即f(n＋1)＝f(n)＋2n(n≥1)，所以f(n)－f(1)＝n(n－1)，而f(1)＝2，从而f(n)＝n2－n＋2.‎ 答案：4　n2－n＋2‎ ‎11．解：(1)由题意得a1＝1，b1＝－1，‎ b2＝＝，a2＝1×＝，∴P2.‎ ‎∴直线l的方程为＝，即2x＋y＝1.‎ ‎(2)证明：①当n＝1时，‎2a1＋b1＝2×1＋(－1)＝1成立．‎ ‎②假设n＝k(k∈N*)时，2ak＋bk＝1成立．‎ 则2ak＋1＋bk＋1＝2ak·bk＋1＋bk＋1＝·(2ak＋1)＝＝＝1，‎ ‎∴当n＝k＋1时，2ak＋1＋bk＋1＝1也成立．‎ 由①②知，对于n∈N*，都有2an＋bn＝1，即点Pn在直线l上．‎ ‎12．解：(1)由a1＝2，‎ 得a2＝a－a1＋1＝3，‎ 由a2＝3，得a3＝a－‎2a2＋1＝4，‎ 由a3＝4，得a4＝a－‎3a3＋1＝5，‎ 由此猜想an的一个通项公式：an＝n＋1(n≥1)．‎ ‎(2)证明：用数学归纳法证明：‎ ‎①当n＝1时，a1≥3＝1＋2，不等式成立．‎ ‎②假设当n＝k(k∈N*)时不等式成立，‎ 即ak≥k＋2，‎ 那么，ak＋1＝ak(ak－k)＋1≥(k＋2)(k＋2－k)＋1≥k＋3，‎ 也就是说，当n＝k＋1时，ak＋1≥(k＋1)＋2.‎ 根据①和②，对于所有n≥1，都有an≥n＋2.‎