2019-2020学年安徽省宿州市十三所重点中学高一上学期期中数学试题（解析版） 13页

‎2019-2020学年安徽省宿州市十三所重点中学高一上学期期中数学试题 一、单选题 ‎1．映射f: A→B，在f作用下A中元素与B中元素对应，则与B中元素对应的A中元素是( )‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】【详解】‎ ‎，选C.‎ ‎2．函数y=的图象是(　　)‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】y=过点(1,1)和点(8,2),由过点(8,2)可知此时函数y=在直线y=x下方.故选B.‎ ‎3．已知，若集合中恰有3个元素，则实数的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】由，可以确定集合中的元素，进而可以求出的取值范围．‎ ‎【详解】‎ 解：因为，且集合 中恰有3个元素， 所以集合，所以， 故选：C．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查由集合中的元素个数求参数的取值范围，属于基础题．‎ ‎4．下列表示错误的是（ ）‎ A． B． C． D．无理数 ‎【答案】D ‎【解析】根据空集是任何集合的子集来判断选项A，根据元素与集合的关系来判断选项B，根据并集的定义来判断选项C，根据集合的表示方法来判断选项D．‎ ‎【详解】‎ 解：空集是任何集合的子集，∴正确； 显然是集合的元素，∴正确； 根据并集的定义，正确； 表示无理数集，无理数不是无理数集，∴无理数错误． 故选：D．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了空集是任何集合的子集，元素与集合的关系，并集的定义及运算，补集的运算，考查了推理能力和计算能力，属于基础题．‎ ‎5．已知集合，关于的不等式的解集为，若，则实数的取值范围是( )‎ A．(－∞，－1] B．(－∞，－1) C．(－1，＋∞) D．[－1，＋∞)‎ ‎【答案】A ‎【解析】根据指数函数的性质求出集合，根据交集的运算和条件求出实数的取值范围．‎ ‎【详解】‎ 解：由得，解得，‎ 所以，‎ ‎∵，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ 解得，‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查指数函数的性质，以及交集的运算，属于基础题．‎ ‎6．若函数的定义域是，则函数的定义域是( )‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】由函数的定义域求出函数的定义域，再求函数的定义域．‎ ‎【详解】‎ 解：解：由函数的定义域是， 得， 所以， 所以函数的定义域为， 函数中， 令， 解得， 所以函数的定义域是． 故选：D．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了抽象函数的定义域求法与应用问题，是基础题．‎ ‎7．设，则的大小关系为( )‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】利用对数函数的单调性，并判断出与0，1 的大小关系，即可得出．‎ ‎【详解】‎ 因为在定义域内是单调递增函数，‎ ‎，‎ ‎.‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了对数函数的单调性的应用，属于基础题．‎ ‎8．设，且，则等于( )‎ A． B．10 C．20 D．100‎ ‎【答案】B ‎【解析】求出，代入，根据对数的运算性质求出的值即可．‎ ‎【详解】‎ 由得，‎ 所以，‎ 因为，所以，‎ 所以，‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查指数式对数式的互化，考查对数的运算性质，是一道基础题．‎ ‎9．函数f(x)=|x-2|-lnx在定义域内零点的个数为( )‎ A．0 B．1 C．2 D．3‎ ‎【答案】C ‎【解析】分别画出函数y＝ln x(x>0)和y＝|x－2|(x>0)的图像，可得2个交点，故f(x)在定义域中零点个数为2.‎ ‎10．若函数（且）的图象不经过第一象限，则有（ ）‎ A．且 B．且 C．且 D．且 ‎【答案】C ‎【解析】函数图象不经过第一象限，则指数函数单调递减，即，‎ 且当时，，求解不等式可得：，‎ 综上可得：且.‎ 本题选择C选项.‎ ‎11．已知函数，若的值域为，则实数 ( )‎ A．2 B．(－∞，2] C．(－∞，2) D．(0,2]‎ ‎【答案】D ‎【解析】通过与0的大小讨论，利用分段函数的单调性转化求解即可．‎ ‎【详解】‎ 当时，‎ 若时，；‎ 若时，的最大值，才能满足的值域为，解得；‎ 当时，‎ 若时，；‎ 若时，，不符合题意．‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查分段函数的单调性的应用，分类讨论思想的应用，考查转化思想以及计算能力．‎ ‎12．当时，不等式恒成立，则实数的取值范围是( )‎ A． B．(1－,1+) C．[1－,1+] D．[－2,4]‎ ‎【答案】A ‎【解析】推出在一侧的不等式，构造函数，利用函数的单调性，转化求解实数的取值范围．‎ ‎【详解】‎ 解：，即，‎ 等式两边同乘得：，‎ ‎∵函数在上是增函数，‎ ‎，‎ 当时，恒成立等价于，‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查函数恒成立条件的应用，函数的单调性求解函数的最值的方法，是中档题．‎ 二、填空题 ‎13．函数的值域为_________‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】先求出的值域，进而求出的值域．‎ ‎【详解】‎ 解：，‎ ‎，‎ 函数的值域为，‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查简单复合函数的值域的求法，先求内层函数的值域，将内层函数的值域作为外层函数的定义域，求外层函数的值域，是基础题．‎ ‎14．计算 _________‎ ‎【答案】6‎ ‎【解析】利用对数的运算性质及换底公式进行计算即可．‎ ‎【详解】‎ 解：原式，‎ 故答案为：6．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查对数的运算及换底公式，其中公式以及的应用是关键，是基础题．‎ ‎15．已知函数在上单调递减，则实数的取值范围是___________‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】对等于零，大于零，小于零分类讨论，利用函数的单调性、定义域和值域，求出实数的取值范围．‎ ‎【详解】‎ 当时，不符合题意；‎ 当时，符合题意，又，故；‎ 当时，符合题意；‎ 综上．‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查函数的单调性、定义域和值域，要特别注意定义域，我们研究函数的一切性质，都是在函数的定义域下完成的，属于中档题．‎ ‎16．对于给定的函数下列正确的是________．(只需写出所有正确的编号)‎ ‎①函数的图象关于原点对称；‎ ‎②函数在上不具有单调性；‎ ‎③函数的图象关于轴对称；‎ ‎④当时，函数的最大值是0；‎ ‎⑤当时，函数的最大值是0.‎ ‎【答案】①③⑤‎ ‎【解析】①判断的奇偶性； ②分别讨论，时的单调性； ③判断的奇偶性； ④讨论时在和 上的单调性； ⑤讨论时在和上的单调性．‎ ‎【详解】‎ 解：∵，∴为奇函数，的图象关于原点对称，①真；‎ 当时，在上为增函数，当时，在上为减函数，②假；‎ 是偶函数，其图象关于轴对称，③真；‎ 当时，在上为减函数，在上为增函数，∴当时，的最小值为0，④假；‎ 当时，在上为增函数，在上为减函数，∴当时，的最大值为0，⑤真，‎ 综上，正确的是①③⑤．‎ 故答案为：①③⑤．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了函数的定义与性质的应用问题，也考查了分析问题与解决问题的能力，是中档题．‎ 三、解答题 ‎17．已知集合或 ，,若，求实数的取值范围．‎ ‎【答案】或 ‎【解析】根据可得出，从而可讨论是否为空集列不等式，解出的范围即可．‎ ‎【详解】‎ 解：，‎ ‎，‎ 当时， ；‎ 当时，或，‎ 或，‎ 综上所述：或．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了描述法的定义，交集的定义及运算，子集和空集的定义，考查了计算能力，属于基础题．‎ ‎18．设，且.‎ ‎(1)求的值；‎ ‎(2)求在区间上的最大值.‎ ‎【答案】（1）；（2）2‎ ‎【解析】（1）直接由求得的值； （2）由对数的真数大于0求得的定义域，判定在上的增减性，求出在上的最值，即得值域．‎ ‎【详解】‎ 解：(1)∵，‎ ‎∴，‎ ‎∴；‎ ‎(2)由得，‎ ‎∴函数的定义域为，‎ ‎， ‎ ‎∴当时，是增函数；当时，是减函数，‎ ‎∴函数在上的最大值是．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了求函数的定义域和值域的问题，利用对数函数的真数大于0可求得定义域，利用函数的单调性可求得值域．‎ ‎19．已知函数是奇函数.‎ ‎（1）求实数的值；‎ ‎（2）若函数在区间上单调递增，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】（1）利用奇函数的定义，由时的解析式得时，对应的解析式，即求出实数的值；（2）由（1）知函数在区间上单调递增，所以，得实数的取值范围.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）设，则，‎ ‎，所以.‎ ‎（2）由，知在区间上单调递增，所以，‎ 解得.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了利用函数奇偶性求解析式及研究分段函数的单调性，属于基础题.‎ ‎20．已知函数，.‎ ‎（1）求证：在上单调递增；‎ ‎（2）若存在，使成立，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）证明见解析；（2）‎ ‎【解析】（1）由条件易知，由定义可按照取值，作差变形，判定符号，下结论几个步骤证明单调性，其中变形可用分子有理化的方法进行； （2）存在，使成立，即成立，故即可．‎ ‎【详解】‎ 解：（1）由已知得，‎ 令，‎ 则，‎ ‎，，‎ ‎，‎ 即，故在上单调递增；‎ ‎(2)由，‎ ‎∴存在，成立，故，‎ 而，‎ ‎，‎ 当时，，‎ 故 .‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了函数的单调性定义和存在性问题，考查了分子有理化的变形方法，分离参数法把存在性问题转化为最值问题，属于中档题．‎ ‎21．经市场调查，某种商品在过去50天的销售价格（单位：元）均为销售时间（天）的函数，且销售量（单位：件）近似地满足前30天价格（单位：元）为，后20天价格（单位：元）为，‎ ‎（1）写出该种商品的日销售额（元）与时间（天）的函数关系；‎ ‎（2）求日销售额的最大值．‎ ‎【答案】（1）；（2）最大值为6400元 ‎【解析】（1）通过天数，直接写出该种商品的日销售额（元）与时间（天）的函数关系； （2）利用分段函数结合一次函数以及二次函数的性质求解函数的最值即可．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）根据题意，得S=‎ ‎= ；‎ ‎（2）当时，，‎ 当时，有最大值，为6400；‎ 当时，为减函数，‎ 当时，有最大值，为；‎ ‎∴当销售时间为20天时，日销售额有最大值，最大值为6400元．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查函数的实际应用，分段函数的应用，函数的最值的求法，考查计算能力．‎ ‎22．已知函数 ‎（1）若对任意，总有，使得成立，求实数的取值范围；‎ ‎（2）定义区间的长度为，若函数的值域区间长度为，是否存在常数，使得区间的长度为？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由.‎ ‎【答案】（1）；（2）存在实数，理由见解析 ‎【解析】（1）问题转化为的值域为的值域的子集，分别求出和的值域，求出的范围即可； （2）通过讨论讨论的范围，求出在的最大值和最小值，求出的值即可．‎ ‎【详解】‎ 解：（1）由题知当，，‎ 当，；‎ 当时，时不符合题意； ‎ 当时，，‎ 要使；‎ 当时，，‎ 要使；‎ 综上 ；‎ ‎（2）由题意知,‎ 当时，在上，最大，最小，‎ 故或，不符合题意舍去；‎ 当时，在上，最大，最小，‎ 故，符合题意.‎ 综上，存在实数满足题意.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查分类讨论思想，转化思想，属于中档题．‎