2019-2020学年山西省朔州市应县第一中学校高二上学期第四次月考数学（文）试题（解析版） 13页

‎2019-2020学年山西省朔州市应县第一中学校高二上学期第四次月考数学（文）试题 一、单选题 ‎1．“1＜x＜‎2”‎是“x＜‎2”‎成立的（ ）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 ‎ C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎【答案】A；‎ ‎【解析】“1＜x＜‎2”‎ “x＜2”，反之不成立.‎ ‎2．已知，，则以AB为直径的圆的方程为（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】首先求出圆的圆心以及圆的半径，根据圆的标准方程即可求解. ‎ ‎【详解】‎ 由，，且为直径，‎ 所以圆的圆心为的中点，即为，‎ 又，‎ 所以，‎ 所以以为直径的圆的标准方程为，‎ 故选：D ‎【点睛】‎ 本题主要考查圆的标准方程，需熟记圆的标准方程，考查了中点坐标公式以及两点间的距离公式，属于基础题.‎ ‎3．设P是椭圆上一点，F1，F2是椭圆的焦点，若|PF1|＝4，则|PF2|等于(　　)‎ A．22 B．21 C．20 D．13‎ ‎【答案】A ‎【解析】分析：用定义法，由|PF1|+|PF2|=26，且|PF1|=4，易得|PF2|‎ 解答：解：椭圆方程为＋＝1，所以，∵|PF1|+|PF2|=2a=26，‎ ‎∴|PF2|=26-|PF1|=22．‎ 故答案为A 点评：本题主要考查椭圆定义的应用 ‎4．椭圆的焦距为8，且椭圆的长轴长为10，则该椭圆的标准方程是（ ）‎ A． B．或 C． D．或 ‎【答案】B ‎【解析】根据题意，分析可得、的值，计算可得的值，分析椭圆的焦点位置，即可得答案．‎ ‎【详解】‎ 解：根据题意，椭圆的焦距为8，长轴长为10，则，，‎ 即，，‎ 则，‎ 若椭圆的焦点在轴上，则其标准方程为，‎ 若椭圆的焦点在轴上，则其标准方程为，‎ 故要求椭圆的标准方程为或，‎ 故选：．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查椭圆的标准方程，涉及椭圆的几何性质，属于基础题．‎ ‎5．下列双曲线中，渐近线方程为的是（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】由双曲线的渐进线的公式可行选项A的渐进线方程为，故选A.‎ ‎【考点】本题主要考查双曲线的渐近线公式.‎ ‎6．已知，是椭圆的两个焦点，是上的一点，若，且，则的离心率为 A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】分析：设，则根据平面几何知识可求，再结合椭圆定义可求离心率.‎ 详解：在中，‎ 设，则，‎ 又由椭圆定义可知 则离心率，‎ 故选D.‎ 点睛：椭圆定义的应用主要有两个方面：一是判断平面内动点与两定点的轨迹是否为椭圆，二是利用定义求焦点三角形的周长、面积、椭圆的弦长及最值和离心率问题等；“焦点三角形”是椭圆问题中的常考知识点，在解决这类问题时经常会用到正弦定理，余弦定理以及椭圆的定义.‎ ‎7．为椭圆上的点，是两焦点，若，则的面积是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】由题意得，在△F1PF2中，∠F1PF2＝60°，|F1P|+|PF2|＝＝，|F1F2|＝4，利用余弦定理可求得|F1P|•|PF2|的值，从而可求得△PF1F2的面积．‎ ‎【详解】‎ ‎∵椭圆，∴＝，b＝2，c＝2．又∵P为椭圆上一点，∠F1PF2＝60°，‎ 且F1、F2为左右焦点，由椭圆的定义得|F1P|+|PF2|＝＝，|F1F2|＝4，‎ ‎∴|F1F2|2＝|PF1|+|PF2|-2|PF1|•|PF2|cos60°‎ ‎=（|PF1|+|PF2|）2﹣2|PF1||PF2|﹣2|F1P|•|PF2|cos60°‎ ‎＝32﹣3|F1P|•|PF2|‎ ‎＝16‎ ‎∴|F1P|•|PF2|＝，∴＝|PF1|•|PF2|sin60°＝××＝．‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查椭圆的定义及其简单的几何性质，考查了余弦定理的应用与三角形的面积公式，属于中档题．‎ ‎8．若直线和椭圆恒有公共点，则实数的取值范围是( )‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】根据椭圆1（b＞0）得出≠3，运用直线恒过（0，2），得出1，即可求解答案．‎ ‎【详解】‎ 椭圆1（b＞0）得出≠3，‎ ‎∵若直线 ‎∴直线恒过（0，2），‎ ‎∴1,解得 ，故实数的取值范围是 故选：B ‎【点睛】‎ 本题考查了椭圆的几何性质，直线与椭圆的位置关系，属于中档题．‎ ‎9．已知双曲线（，）的焦距为10，且其虚轴长为8，则双曲线的方程为（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】根据焦距和虚轴长，即可求得的值，即可求得双曲线方程。‎ ‎【详解】‎ 因为双曲线焦距为10，所以 ‎ 虚轴长为8，所以 ‎ 所以 ‎ 所以双曲线方程为 所以选C ‎【点睛】‎ 本题考查了根据的值求双曲线的标准方程，属于基础题。‎ ‎10．抛物线上有一点P，它到A（2,10）距离与它到焦点距离之和最小时，点P坐标是（ ）‎ A．（，10） B．（，20） C．（2，8） D．（1，2）‎ ‎【答案】C ‎【解析】由题意知，抛物线的焦点为，准线l为，且点A在抛物线内部，过点A作准线l的垂线，垂足为，根据抛物线的定义，可知，垂线A与抛物线的交点即为所求的点P，且易求得，点P的坐标为（2，8）‎ 故选：C ‎11．若直线被圆所截得的弦长为,则实数的值为（ ）‎ A．或 B．或 C．或 D．或 ‎【答案】D ‎【解析】试题分析：：∵圆 ‎∴圆心为：（a，0），半径为：2‎ 圆心到直线的距离为： ‎ ‎∵‎ 解得a=4，或a=0‎ ‎【考点】直线与圆相交的性质 ‎12．已知、是双曲线的两焦点，以线段为边作正三角形，若边的中点在双曲线上，则双曲线的离心率是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】设为边的中点，由双曲线的定义可得，因为正三角形的边长为，所以有，进而解得答案。‎ ‎【详解】‎ 因为边的中点在双曲线上，设中点为，则，,‎ 因为正三角形的边长为，所以有，‎ 整理可得 ‎ 故选C ‎【点睛】‎ 本题考查双曲线的定义及离心率，解题的关键是由题意求出的关系式，属于一般题。‎ 二、填空题 ‎13．已知点M（1，2）在抛物线C：y2‎ ‎=2px（p＞0）上，则点M到抛物线C焦点的距离是______．‎ ‎【答案】2‎ ‎【解析】将点的坐标代入抛物线方程，求出p=2，求得焦点F（1，0），利用抛物线的定义，即可求点M到抛物线C焦点的距离．‎ ‎【详解】‎ 由点M（1，2）在抛物线C：y2=2px（p＞0）上，可得4=2p，p=2， ‎ 抛物线C：y2=4x，焦点坐标F（1，0）， ‎ 则点M到抛物线C焦点的距离是：1+1=2， ‎ 故答案为2．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查抛物线的标准方程及抛物线的定义，考查计算能力，属于基础题．‎ ‎14．“，”的否定是____________．‎ ‎【答案】，使得 ‎【解析】直接利用全称命题的否定得解.‎ ‎【详解】‎ ‎“，”的否定是：“，使得”‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了全称命题的否定，属于基础题。‎ ‎15．若直线与圆相切，则a=______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】利用直线与圆相切，得到于圆心到直线的距离等于半径，列出方程，即可求解，得到答案．‎ ‎【详解】‎ 由题意，直线与圆相切，‎ 所以d，解得．‎ 故答案为．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了直线与圆的位置关系的应用，其中解答中根据直线与圆相切，列出方程求解是解答的关键你，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.‎ ‎16．已知直线的普通方程为，点是曲线上的任意一点，则点到直线的距离的最大值为_______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】作直线的平行线，使得平移后的直线与椭圆相切，然后将直线方程与椭圆方程联立，由得出的值，将点到直线的距离的最大值转化为直线与直线之间的距离.‎ ‎【详解】‎ 作直线的平行线，使得该直线与椭圆相切，‎ 联立，消去得，‎ ‎，解得.‎ 因此，点到直线的距离的最大值等于直线与直线之间的距离 ‎，故答案为.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查椭圆上的点到直线距离的最值问题，可以利用平移直线与椭圆相切，转化为平行线之间的距离来处理，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.‎ 三、解答题 ‎17．分别求满足下列条件的椭圆的标准方程：‎ ‎（1）焦点在轴上，焦距为4，且椭圆过点；‎ ‎（2）焦点在坐标轴上，且椭圆过点和 ‎【答案】（1）； （2）.‎ ‎【解析】（1）由题意可得，，根据、、的关系，可求；‎ ‎（2）设所求椭圆的标准方程为，，，解方程组，可求椭圆的标准方程。‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由题意，，‎ ‎ 椭圆焦点在轴上 可设为 ‎ 椭圆过点 椭圆的标准方程为；‎ ‎（2）设椭圆的方程：，‎ 则，解得，‎ 所以椭圆的标准方程为：.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查椭圆的标准方程，考查待定系数法的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．‎ ‎18．已知：圆心为(3,1)的圆，此圆在y=x上截得的弦长为，求此圆的方程。‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】设出圆的标准方程，利用弦长公式得到待定系数即可.‎ ‎【详解】‎ 设所求圆的方程为，‎ 则则解得 所以，所求圆的方程为。‎ ‎【点睛】‎ 本题考查待定系数法求圆的方程，考查了圆的几何性质，考查学生的计算能力，属于基础题.‎ ‎19．已知表示椭圆，表示一个圆.‎ ‎（1）若为真命题，求的取值范围；‎ ‎（2）若为真命题，求的取值范围.‎ ‎【答案】(1) (2) 或 ‎【解析】（1）由椭圆方程的性质求得命题进行求解即可．（2）利用圆的方程求得命题，利用 p∧q为真命题，则p，q同时为真命题，建立条件关系进行求解即可．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）且 的取值范围 ‎（2）若 为真，则 ‎ 又为真时或 为真时的取值范围为或 ‎【点睛】‎ 本题主要考查命题的真假应用，根据复合命题真假之间的关系是解决本题的关键．‎ ‎20．已知顶点在原点，焦点在x轴的负半轴的抛物线截直线y=x＋所得的弦长|P1P2|=4，求此抛物线的方程．‎ ‎【答案】y2＝－2x.‎ ‎【解析】试题分析：抛物线，联立，得，由 ，根据韦达定理及弦长公式，列出关于的方程，解得的值，就能求出抛物线方程.‎ 试题解析：设抛物线方程为y2＝－2px(p>0)，把直线方程与抛物线方程联立得 消元得x2＋(3＋2p)x＋＝0，① 判别式Δ＝(3＋2p)2－9＝4p2＋12p>0，解得p>0或p<－3(舍)，‎ 设P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则①中由根与系数的关系得x1＋x2＝－(3＋2p)，x1·x2＝，代入弦长公式得·＝4，解得p＝1或p＝－4(舍)，所以所求抛物线方程为y2＝－2x.‎ ‎21．已知椭圆，过点P（2，1）引一弦，使弦在这点被平分，求此弦所在直线的方程.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】设直线交椭圆于，把两点坐标代入椭圆方程，利用点差法求得弦所在直线的斜率，则利用点斜式求得弦所在的直线方程．‎ ‎【详解】‎ 解：设直线交椭圆于，由题意得：‎ ‎，两式相减，化简可得，‎ 为弦的中点，，‎ ‎，‎ 直线的方程为：，即 ‎【点睛】‎ 本题主要考查了直线与椭圆相交关系的应用，训练了“设而不求”的解题思想方法，利用点斜式求直线的方程，属于中档题．‎ ‎22．如图，已知椭圆的左焦点为，过点F做x轴的垂线交椭圆于A，B两点，且．‎ ‎(1)求椭圆C的标准方程：‎ ‎(2)若M，N为椭圆上异于点A的两点，且直线的倾斜角互补，问直线MN的斜率是否为定值?若是，求出这个定值；若不是，请说明理由．‎ ‎【答案】(1) ;(2) .‎ ‎【解析】试题分析：(1) 由题意可知，令，代入椭圆可得，又，解出a,b,可得椭圆方程;(2) 由（1）可知，，代入椭圆可得，所以， 因为直线的倾斜角互补，所以直线的斜率与的斜率互为相反数；设直线方程为：，与椭圆方程联立,根据韦达定理可求出点M的坐标,同理求出N点坐标,根据两点的斜率公式,代入化简可得定值.‎ 试题解析:‎ ‎（1）由题意可知， ‎ 令，代入椭圆可得，所以，又，‎ 两式联立解得：， ‎ ‎ . ‎ ‎（2）由（1）可知，，代入椭圆可得，所以， ‎ 因为直线的倾斜角互补，所以直线的斜率与的斜率互为相反数；‎ 可设直线方程为：，代入得：‎ ‎， ‎ 设,,因为点在椭圆上，‎ 所以，，， ‎ 又直线的斜率与的斜率互为相反数，在上式中以代替，可得 ‎，,‎ 所以直线的斜率， ‎ 即直线的斜率为定值，其值为. ‎ 点睛: 本题主要考查直线与圆锥曲线位置关系，所使用方法为韦达定理法：因直线的方程是一次的，圆锥曲线的方程是二次的，故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题，最终转化为一元二次方程问题，故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一，尤其是弦中点问题，弦长问题，可用韦达定理直接解决，但应注意不要忽视判别式的作用．‎