天津市和平区耀华中学2019-2020学年高二上学期期末考试数学试题 15页

天津市耀华中学2019-2020学年度第一学期期末考试 高二年级数学学科试卷 第Ⅰ卷 (选择题 共44分)‎ 一.选择题:本大题共11小题,每小题4分,共44分,在每小题的4个选项中,只有一项是符合题目要求的,将答案涂在答题卡上.‎ ‎1.设抛物线的焦点为，点在此抛物线上且横坐标为，则等于（ ）．‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先由抛物线方程得到，再由抛物线定义，即可求出结果.‎ ‎【详解】解：因为抛物线方程，所以，‎ 由抛物线的定义可得：．‎ 故选．‎ ‎【点睛】本题主要考查求抛物线上的点到焦点距离，熟记抛物线的定义即可，属于基础题型.‎ ‎2.已知椭圆的焦点在轴上，且离心率，则（ ）‎ A. 9 B. ‎5 ‎C. 25 D. -9‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 椭圆的焦点位于轴，则，‎ 则：，‎ 求解关于实数的方程可得：.‎ 本题选择C选项.‎ ‎3.某学校组织学生参加英语测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组依次为.若低于分的人数是人，则该班的学生人数是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据频率分布直方图求得低于分的人所占的比例再求解总人数即可.‎ ‎【详解】易得低于分的人所占的比例为.‎ 故该班的学生人数是人.‎ 故选：B ‎【点睛】本题主要考查了频率分布直方图的应用,属于基础题型.‎ ‎4. 下列各对双曲线中，既有相同的离心率，又有相同渐近线的是（ ）‎ A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 ‎【答案】A ‎【解析】‎ 试题分析：双曲线中，b=1，c=2.，渐近线 A：，渐近线，符合；‎ B：e=2，渐近线，不符合 C：e=2，渐近线，不符合：‎ D：，渐近线，不符合 考点：双曲线的简单性质 ‎5.已知双曲线，过右焦点且倾斜角为的直线与双曲线右支有两个交点，则双曲线的离心率e的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 要使过右焦点且倾斜角为的直线与双曲线右支有两个交点，需使双曲线的渐近线的斜率小于1，．‎ 故选A ‎6.设,,若是的必要不充分条件,则实数的取值范围是( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 首先解出命题中不等式的解集，然后利用十字相乘法求出命题，然后根据是的必要不充分条件求出的取值范围.‎ ‎【详解】由题意得命题：，命题：，‎ 因为是的必要不充分条件，所以，解得，‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】本题考查简易逻辑命题，大部分可转化为集合中的包含关系进行求解.‎ ‎7.已知椭圆的左右焦点,,点在椭圆上,是椭圆上的动点,则的最大值为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据可得，再利用椭圆上的已知点Q可得与的关系式，再根据解出然后利用参数方程设出点P，求出最大值即可.‎ ‎【详解】由题意得，‎ 因为点在椭圆上，‎ 所以，联立，可解得，‎ 所以椭圆方程为，‎ 由题意得，‎ 因为P是椭圆上的动点，设，‎ 由椭圆的参数方程可得（为参数），‎ 所以，‎ 又因为 则，‎ ‎，‎ 所以 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎，其中，‎ 所以当时，取得最大值为，‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】本题考查椭圆的几何性质以及参数方程的应用，属中档难度题目.‎ ‎8.质地均匀的正四面体的四个面上分别写有数字0,1,2,3,把两个这样的四面体抛在桌面上,露在外面的6个数字为2,0,1,3,0,3的概率为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 露在外面的6个数字为2,0,1,3,0,3，则向下的数分别为1和2，求出所有的基本事件个数和向下数字为1和2的基本事件个数，代入概率公式即可.‎ ‎【详解】抛两个正四面体，共有个基本事件，‎ 向下数字为1和2的基本事件共有2个，分别是和，‎ 所以向下数字为1和2的概率,‎ 故选：C ‎【点睛】本题主要考查随机事件概率的计算，难度较低.‎ ‎9.已知椭圆C:()的左右焦点分别为,如果C上存在一点Q,使,则椭圆的离心率的取值范围为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 因为当Q 为椭圆上下顶点时最大，不妨让Q是椭圆上定点，则,则,即可求得离心率取值范围.‎ ‎【详解】当Q是椭圆上下顶点时最大，‎ ‎∴,‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎∵，‎ ‎∴，‎ ‎∴椭圆离心率取值范围为，‎ 故选：D ‎【点睛】本题考查椭圆的几何性质以及标准方程，属中档难度题目.‎ ‎10.设抛物线 ()的焦点为,准线为,过焦点的直线分别交抛物线于两点,分别过作的垂线,垂足为.若,且三角形的面积为,则的值为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 首先根据线条长度关系解除A、B点横坐标（用表示），‎ 然后利用三角形面积公式列出一个关于的方程，解出即可.‎ ‎【详解】过点B作交直线AC于点M，交轴于点N，‎ 设点，‎ 由得，‎ 即……①，‎ 又因,‎ 所以,‎ 所以，‎ 所以……②，‎ 由①②可解得，‎ 在中，，‎ ‎，‎ 所以，‎ 所以,‎ 解得或（舍去），‎ 故选：C ‎【点睛】本题考查抛物线及其标准方程和抛物线的几何性质，利用焦点弦的性质是解答本题的关键.‎ ‎11.已知分别为双曲线左、右焦点,为双曲线右支上的任意一点,若的最小值为,则双曲线的离心率的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 首先利用双曲线的定义求出关系式，进一步利用均值不等式建立关系式，‎ ‎==+‎4a+m≥‎8a，最后求出结果．‎ ‎【详解】设|PF2|=m，（m≥c﹣a）‎ 则：根据双曲线的定义：|PF1|=‎2a+m，‎ 所以==+‎4a+m≥‎8a当且仅当m=‎2a时成立．‎ 因为m≥c﹣a，‎ 所以c﹣a≤‎‎2a 即解得：1＜e≤3‎ 故选A．‎ ‎【点睛】（1）本题考查的知识要点：双曲线的定义的应用．双曲线的离心率，均值不等式的应用，‎ 属于中等题型．（2）求离心率的取值范围常用的方法有以下三种：①利用圆锥曲线的变量的范围，建立不等关系；②直接根据已知中的不等关系，建立关于离心率的不等式；③利用函数的思想分析解答.‎ 第Ⅱ卷(非选择题 共56分)‎ 二.填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分,将答案填写在答题卡上.‎ ‎12.某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向，拟采用分层抽样的方法，从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为300的样本进行调查．已知该校一年级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比为4：5：5：6，则应从一年级本科生中抽取_______名学生．‎ ‎【答案】60‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 采用分层抽样的方法，从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为300的样本进行调查的.‎ ‎【详解】∵该校一年级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比为4:5:5:6，‎ ‎∴应从一年级本科生中抽取学生人数为：.‎ 故答案为60.‎ ‎【此处有视频，请去附件查看】‎ ‎13.在等差数列中,,则数列的通项公式为______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用等差数列通项公式将题干中的写成关于和的方程，再利用解出公差，则可得到通项公式.‎ ‎【详解】因为数列为等差数列，得，联立可得，所以.‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题考查等差数列通项公式求解，属于简单题目.‎ ‎14.若直线与抛物线有且只有一个公共点,则的值是_______.‎ ‎【答案】或 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 若直线与抛物线有且只有一个公共点，分类讨论，分直线与x轴平行，或者直线与抛物线相切求出的值，从而得到答案.‎ ‎【详解】①当直线与平行时，方程为，，与抛物线只有一个公共点，坐标为，‎ ‎②当时，方程与抛物线方程联立，消去得 ‎，‎ ‎，解得，‎ 切线方程为，‎ 综上，或1，‎ 故答案：0或1.‎ ‎【点睛】本题考查直线与抛物线位置关系，容易忽略直线平行于抛物线对称轴的情况，所以该类题目一定要分类讨论.‎ ‎15.已知椭圆,四个点中恰有三个点在椭圆上,则椭圆的方程是_____.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由于椭圆是对称图形，得C、D两点必在椭圆上，故，若B点在椭圆上，则，矛盾，所以点A在椭圆上，由此可求出椭圆的标准方程.‎ ‎【详解】由于椭圆对称图形，‎ 所以必在椭圆上，‎ 于是有…...①‎ 若点在椭圆上，‎ 则矛盾，‎ 所以点在椭圆上，及……②‎ 联立①②解得，‎ 故椭圆的标准方程为，‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题考查利用待定系数法求椭圆标准方程，考查了分类讨论得思想.‎ ‎16.名志愿者被随机分配到三个不同的岗位服务,每个岗位至少有一名志愿者,则甲､乙两名志愿者没有分配到同一个岗位服务的概率为______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 要保证每个岗位至少一人人，所以首先将四个人分成三组，在将三组全排列求出总事件数，然后再将甲乙分到不同两组，得出甲乙不在同一岗位的基本事件数，总而得出概率.‎ ‎【详解】因为每个岗位至少有一人，所以要将四个人分成三组，则只能是 ‎ 所以总事件数为： ，‎ 甲乙不在同一岗位的基本事件数：‎ 所以甲､乙两名志愿者没有分配到同一个岗位服务的概率，‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查等可能性事件的概率，利用排列组合公式求出基本事件的总数和满足某个事件的基本事件个数是解答本题的关键.‎ ‎17.已知，，且，则的最小值等于__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意，根据题设条件，得到，利用基本不等式，即可求解.‎ ‎【详解】由题意， 且，‎ 则 ‎，当且仅当，即时等号成，‎ 所以的最小值等于.‎ ‎【点睛】本题主要考查了利用基本不等式求最值问题，其中解答中根据题意，合理恒等变换，利用基本不等式求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.‎ 三.解答题:本题共2个题,共计26分,解答应写出必要的文字说明､证明过程或演算步骤.将答案填写在答题卡上.‎ ‎18.已知等比数列的前项和为，且满足.‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）若数列满足，求数列的前项和.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ 分析：（1）利用项和公式求出数列的通项公式.(2)先化简得，再利用裂项相消法求数列的前项和.‎ 详解： (1)由得，‎ 当时， ，即，‎ 又，当时符合上式，所以通项公式为. ‎ ‎ (2)由（1）可知 ‎.‎ 点睛：（1）本题主要考查数列通项的求法，考查裂项相消法求和，意在考查学生对这些知识的掌握水平和计算能力.(2) 类似（其中是各项不为零的等差数列，为常数）的数列、部分无理数列等.用裂项相消法求和.‎ ‎19.如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：(a>b>0)的离心率为，短轴长是2.‎ ‎(1)求椭圆C的方程；‎ ‎(2)设椭圆C的下顶点为D，过点D作两条互相垂直的直线l1，l2，这两条直线与椭圆C的另一个交点分别为M，N.设l1的斜率为k(k≠0)，△DMN的面积为S，当，求k的取值范围．‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)由e＝，2b＝2，a2＝b2＋c2构造方程组，解出a，b即可得椭圆方程；(2)设l1的方程为y＝kx－1代入椭圆方程，求出M的坐标，可得|DM|，用代替k，可得|DN|，求出△DMN的面积S，可得，解不等式>可得k的取值范围．‎ ‎【详解】(1)设椭圆C的半焦距为c，则由题意得又a2＝b2＋c2，解得a＝2，b＝1，‎ ‎∴椭圆方程为＋y2＝1.‎ ‎(2)由(1)知，椭圆C的方程为＋y2＝1，‎ 所以椭圆C与y轴负半轴交点为D(0，－1)．‎ 因为l1的斜率存在，所以设l1的方程为y＝kx－1.‎ 代入＋y2＝1，得M，‎ 从而|DM|＝＝.‎ 用－代替k得|DN|＝.‎ 所以△DMN的面积S＝·×＝.‎ 则＝，‎ 因为>，即>，‎ 整理得4k4－k2－14<0，解得－