【数学】内蒙古呼和浩特市开来中学2019-2020学年高二下学期期末考试（理）试卷（解析版） 11页

内蒙古呼和浩特市开来中学 2019-2020 学年 高二下学期期末考试（理）试卷 一．选择题(每题 5 分，共 60 分) 1.若复数 满足 ,则 ( ) A. B. C. D. 2.设函数 在 R 上可导,其导函数 ,且函数 在 处取得极小值,则函数 的图象可能是( ) A. B. C. D. 3.一射手对靶射击,直到第一次命中为止,每次命中的概率都为 0.6,现有 4 颗子弹,则射击停止 后剩余子弹的数目 的期望值为( ) A.2.44 B.3.376 C.2.376 D.2.4 4.六个人从左至右排成一行,最左端只能排甲或乙,最右端不能排甲,则不同的排法共有 ( ) A.192 种 B.216 种 C.240 种 D.288 种 5.若 的展开式中含 项的系数为 ,则 的最小值为( ) A.4 B.3 C.2 D.1 已知某批零件的长度误差(单位:毫米)服从正态分布 ,从中随机取一件,其长度误差落 在区间 内的概率为( ) 附:随机变量 服从正态分布 ,则 ， B. C. D. 7.某学生参加一次选拔考试,有 5 道题,每题 10 分.已知他解题的正确率为 ,若 40 分为分数线, 则该生被选中的概率是( ) z ( )2 18 11z i i− = + 4z i− = 13 15 13 15 ( )f x ( )'f x ( )f x 2x = − ( )y xf x= ′ X 6 2 bax x  +   3x 20 2 2a b+ ( )20,3N (3,6) ξ ( )2,N µ σ ( ) 68.26%P µ σ ξ µ σ− < < + = ( )2 2 95.44%P µ σ ξ µ σ− < < + = 4.56% 13.59% 27.18% 31.74% 3 5 A. B. C. D. 8..已知随机变量 和 ,其中 ,且 ,若 的分布列如表,则 的值为 ( ) A. B. C. D. 9.由变量 与 相对应的一组数据 、 、 、 、 得到的线 性回归方程为 ,则 ( ) A.135 B.90 C.67 D.63 10.已知点 是曲线 上任意一点,则点 到直线 的距离的最小值 是( ) A. B. C. D. 11.已知直线 为参数 抛物线 的方程 与 交于 则点 到 两点距离之和是( ) A. B. C. D. 12.设实数 ,若对任意的 ,不等式 恒成立,则 的最大值是( ) A. B. C. D. 二、填空题（每题 5 分，共 20 分） 13. 的展开式中 的奇数次幂项的系数之和为 ,则 _______. 14.实数 满足 ,则 的最大值是__________. 4 4 5 3 2 5 5C  ⋅   5 5 5 3 5C  ⋅   4 5 4 5 5 5 3 2 3 5 5 5C C   ⋅ + ⋅       3 2 3 5 3 21 5 5C    − ⋅       X Y 12 7Y X= + ( ) 34E Y = X m X 1 2 3 4 P 1 4 m n 1 12 1 3 1 4 1 6 1 8 x y ( )11, y ( )25, y ( )37, y ( )413, y ( )519, y ˆ 2 45y x= + y = A 2cosρ θ= A ( ) 46sin πρ θ + = 1 3 2 5 2 7 2 (3: 2 x tl t y t  = = − ), C 2 2 ,y x l= C 1 2, ,P P ( )0,2A 1 2,P P 4 3+ 2(2 3)+ 4(2 3)+ 8 3+ 0m > x e≥ 2 ln 0 m xx x me− ≥ m 1 e 3 e 2e e 4( )(1 )a x x+ + x 32 a = ,x y 2 23 4 12x y+ = 2 3x y+ 15.高二某班共有 60 名学生,其中女生有 20 名,三好学生占全班人数的 ,而且三好学生中女 生占一半.现在从该班任选一名同学参加某一座谈会.则在已知没有选上女生的条件下,选上 的是三好学生的概率为__________. 16.在以 为极点的极坐标系中,圆 和直线 相交于 两点.若 是等边三角形,则 的值为__________. 三、解答题（17 题 10 分，其他每题 12 分，共 70 分） 17. 年俄罗斯世界杯激战正酣,某校工会对全校教职工在世界杯期间每天收看比赛的时 间作了一次调查,得到如下频数分布表: 收看时间(单位:小时) 收看人数 (1) 若将每天收看比赛转播时间不低于 小时的教职工定义为“球迷”,否则定义为“非球迷”,请 根据频数分布表补全 列联表: 男 女 合计 球迷 非球迷 合计 （2）并判断能否有 的把握认为该校教职工是否为“球迷”与“性别”有关; 附表及公式: 2.706 3.841 1 6 O 4sinρ θ= sin aρ θ = ,A B AOB∆ a 2018 [ )0,1 [ )1,2 [ )2,3 [ )3,4 [ )4,5 [ )5,6 14 30 16 28 20 12 3 2 2× 40 30 90% ( )2 0P K k≥ 0.15 0.10 0.05 0.025 0k 2.072 5.024 ( )( )( )( ) 2 2 ( )n ad bcK a b c d a c b d −= + + + + 18.某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价,将该产品按事先拟定的价格进行试销,得 到如下数据: 单价 x(元) 8 8.2 8.4 8.6 8.8 9 销量 y (件) 90 84 83 80 75 68 (1)求回归直线方程 ,其中 , ; (2)预计在今后的销售中,销量与单价仍然服从题(1)中的关系,且该产品的成本是 4 元/件,为使 工厂获得最大利润,该产品的单价应定为多少元?(利润=销售收入-成本) 19.已知曲线 ,直线 ( 为参数). (1)写出曲线 的参数方程,直线 的普通方程; (2)过曲线 上任意一点 作与 夹角为 的直线,交 于点 ,求 的最大值与最小值. 20.已知函数 . (1).当 时,求曲线 在点 处的切线方程; (2).求函数 的极值. ˆˆ ˆy bx a= + ˆ 20b = − ˆˆa y bx= − 2 2 : 14 9 x yC + = 2: 2 2 x tl y t = +  = − t C l C P l 30° l A PA ( ) ln ( )f x x a x a= − ∈R 2a = ( )y f x= (1, (1))A f ( )y f x= 21.已知曲线 参数方程为 为参数 当 时,曲线 上对应的点为 .以原 点 为极点,以 轴的正半轴为极轴建立极坐标系, 曲线 的极坐标方程为 (1).求曲线 的普通方程和曲线 的直角坐标方程; (2).设曲线 与 的公共点为 ,求 的值. 22.某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况,随机抽取该流水线上 件产品作为 样本称出它们的质量(单位:克).质量的分组区间为 ,由 此得到样本的频率分布直方图,如图. (1)根据频率分布直方图,求质量超过 克的产品的数量; (2)在上述抽取的 件产品中任取 件,设 为质量超过 克的产品数量,求 的分布列和 期望. 1C 4 (3 1 x t ty t =  = − ), 0t = 1C P O x 2C 8cos .1 cos2 θρ θ= − 1C 2C 1C 2C ,A B PA PB 40 ( ] ( ] ( ]490,495 495,500 51, , 0, ,515⋅⋅⋅ 505 40 2 Y 505 Y 【参考答案】 1.【答案】 2.【答案】C 【解析】∵函数 在 处取得极小值, ∴ ,且函数 在 左侧附近为减函数,在 右侧附近为增函数, 即当 时, ,当 时, , 从而当 时, , 当 时, , 对照选项可知只有 C 符合题意. 3.【答案】C 4.【答案】B 【解析】若最左端排甲,其他位置共有 (种)排法;若最左端排乙,最右端共有 4 种排 法,其余 4 个位置有 (种)排法,所以共有 (种)排法。 5.【答案】C 【解析】 的展开式的通项为 ,令 ,解得 ,所以 ,即 ,所以 ,当且仅当 时取等号，即 的最小值为 2，故选 C 6.【答案】B 【解析】由题意 , ,所以 .故选 B. 7.【答案】C 【解析】依题意可知，学生做题正确题目数列满足二项分布，学生必须答对 4 个题或者 5 个题才能够被选上，答对 4 个题的概率为 ，答对 5 个题的概率为 ,故所 C ( )f x 2x = − ( )' 2 0f − = ( )f x 2x = − 2x = − 2x < − ( )' 0f x < 2x > − ( )' 0f x > 2x < − ( )' 0y xf x= > 2 0x− < < ( )' 0y xf x= < 5 5 120A = 4 4 24A = 120 4 24 216+ × = 6 2 bax x  +   ( ) r 6-rr 2 r 6-r r 12-3r r+1 6 6 bT C ax C a b xx  = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅   12 3 3r− = 3r = 3 6 3 3 6 20C a b−⋅ ⋅ = 1ab = 2 2 2 2a b ab+ ≥ = 1a b= = 2 2a b+ ( )3 3 68.27%P ξ− < < ≈ ( )6 6 95.45%P ξ− < < ≈ ( ) ( )13 6 95.45% 68.27% 13.59%2P ξ< < ≈ − = 4 4 5 3 2 5 5C   ×   5 5 5 3 5C      求概率为 . 8.【答案】A 9.【答案】D 10.【答案】C 【解析】曲线 ,即 表示圆心在 半径等于 1 的圆,直线 ,即 ,圆心 到直线的距离等于 ,所以点 到直线 的距离的最小值是 11.【答案】C 【解析】将直线 参数方程化为 为参数 代入 得 设其两根为 , 则 由此知在 l 上两点 都在 的下方,则 答案 C 12.【答案】D 13.【答案】3 【解析】 的展开式的通项公式 , , 则 展开式中 的奇数次幂项的系数之和为: ,解得 . 14.【答案】5 【解析】因为实数 满足 ,所以设 ,则 ,其中 .当 时, 有最大值为 . 4 5 4 5 5 5 3 2 3 5 5 5P C C   = ⋅ + ⋅       2cosρ θ= ( )2 21 1,x y− + = ( )1,0 , ( ) 46sin πρ θ + = 3 8 0x y+ − = ( )1,0 |1 0 8| 7 2 2 + − = A ( ) 46sin πρ θ + = 7 51 .2 2 − = l 3 '2 ( ' 12 '2 x t t y t  = −  = + ), 2 2 ,y x= ( )2' 4 2 3 ' 16 0,t t+ + + = 1 2', 't t ( )1 2 1 2' ' 4 2 3 , ' ' 16 0.t t t t+ = − + = > 1 2,P P ( )0,2A ( )1 2 1 2 1 2 4 2 3 .AP AP t t t t+ = ′ + ′ = ′+ ′ = + 4(1 )x+ 1 4 r r rT C x+ = 0,1, 2,3, 4r = 4( )(1 )a x x+ + x 1 3 0 2 4 4 4 4 4 4 8 8 32aC aC C C C a+ + + + = + = 3a = ,x y 2 23 4 12x y+ = 2 , 3x cos y sinα α= = ( )2 3 4 3 5x y cos sin sinα α α ϕ+ = + = + 4 3,5 5sin cosϕ ϕ= = ( ) 1sin α ϕ+ = 2 3x y+ 5 15.【答案】 【解析】设事件 表示“任选一名学生是男生”;事件 表示“任选一名学生为三好学生”, 则所求概率为 .依题意得 , .故 . 16.【答案】3 【解析】方法一:由 可得 ,所以 .所以圆的直角坐标方 程为 ,其圆心为 ,半径 ;由 ,得直线的直角坐标方程为 ,由于 是等边三角形,所以圆心 是等边三角形 的中心,若设 的中点为 (如图).则 ,即 ,所以 . 方法二:圆的直角坐标方程为 ,直线的直角坐标方程为 ,因为 为等 边三角形,则 ,代入圆的方程得 ,故 . 17.【解】1.由题意得下表: 男 女 合计 球迷 非球迷 合计 的观测值为 . 1 8 A B ( )|P B A ( ) 40 2 60 3P A = = ( ) 5 1 60 12P AB = = ( ) ( ) ( ) 1 112| 2 8 3 P ABP B A P A = = = 4sinρ θ= 2 4 sinρ ρ θ= 2 2 4x y y+ = 2 2 4x y y+ = ( )0,2 C 2r = sin aρ θ = y a= AOB∆ C OAB AB D 1sin30 2 12CD CB= ⋅ ° = × = 2 1a − = 3a = 2 2 4x y y+ = y a= AOB∆ , 3 aA a  ±   2 2 43 a a a+ = 3a = 40 20 60 30 30 60 70 50 120 2K ( )2120 1200 600 24 2.70670 50 60 60 7 × − = >× × × 所以有 的把握认为该校教职工是"球迷"与"性别"有关 2. 由题意知抽取的 名“球迷”中有 名男职工, 名女职工, 所以 的可能取值为 . 且 , 所以 的分布列为 18.【解】(1)由于 , . 所以 , 从而回归直线方程为 . (2)设工厂获得的利润为 L 元,依题意得 . 当且仅当 时,L 取得最大值. 故当单价定为 元时,工厂可获得最大利润. 19.【解】(1)曲线 的参数方程为 ( 为参数). 直线 的普通方程为 (2)曲线 上任意一点 到 的距离 . 则 ,其中 为锐角,且 . 90% 6 4 2 ξ 0,1,2 ( ) ( ) ( )2 1 1 2 4 4 2 2 2 2 2 6 6 6 6 2 8 10 , 1 , 215 5 15 15 C C C CP P PC C C ξ ξ ξ= = = = = = = = = = ξ ξ 0 1 2 P 2 5 8 15 1 15 ( ) 2 8 1 10 20 1 25 15 15 15 3E ξ = × + × + × = = ( )1 2 3 4 5 6 1 8.56x x x x x x x= + + + + + = ( )1 2 3 4 5 6 1 806y y y y y y y= + + + + + = 80 20 8ˆ .5 250ˆa y bx= − = + × = 20 250ˆy x= − + ( ) ( )20 250 4 20 250L x x x= − + − − + 220 330 1000x x= − + − 23320 361.254x = − − +   8.25x = 8.25 C 2cos , 3sin , x y θ θ =  = θ l 2 6 0x y+ − = C (2cos ,3sin )P θ θ l 5 4cos 3sin 65d θ θ= + − 2 5 5sin( ) 6sin30 5 dPA θ α= = + −° α 4tan 3 α = 当 时, 取得最大值,最大值为 . 当 时, 取得最小值,最小值为 . 20.【解】1.函数 的定义域为 , 当 时, , ∴ ∴ 在点 处的切线方程为 , 即 2.由 , 可知: ①当 时, ,函数 上的增函数,函数 无极值; ②当 时,由 ,解得 , ∵ 时, , 时, ∴ 在 处取得极小值,且极小值为 ,无极大值. 综上:当 时,函数 无极值. 当 时,函数 在 处取得极小值 ,无极大值. 21.【解】1.因为曲线 的参数方程为 为参数 所以曲线 的普通方程为 , 又曲线 的极坐标方程为 , 所以曲线 的直角坐标方程为 ; 2.当 时, 所以点 由 知曲线 是经过点 的直线, sin( ) 1θ α+ = − PA 22 5 5 sin( ) 1θ α+ = PA 2 5 5 ( )f x (0, ), ( ) 1 af x x ′+∞ = − 2a = 2( ) 2ln , ( ) 1 ( 0)f x x x f x xx ′= − = − > (1) 1, (1) 1f f ′= = − ( )y f x= (1, (1))A f 1 ( 1)y x− = − − 2 0x y+ − = ( ) 1 a x af x x x −= − =′ 0x > 0a ≤ ( ) 0f x′ > ( )f x (0, )+∞ ( )f x 0a > ( ) 0f x′ = x a= (0, )x a∈ ( ) 0f x′ < ( , )x a∈ +∞ ( ) 0f x′ > ( )f x x a= ( ) lnf a a a a= − 0a ≤ ( )f x 0a > ( )f x x a= lna a a− 1C 4 (3 1 x t ty t =  = − ), 1C 3 4 4 0x y− − = 2C 8cos 1 cos2 θρ θ= − 2C 2 4y x= 0t = 0, 1x y= = − ( )0, 1P − 1 1C P 设它的倾斜角为 ,则 ,所以 , 所以曲线 的参数方程为 为参数 将上式代入 得 , 所以 . 22.【解】1.由频率分布直方图,知质量超过 克的产品数为 2. 依题意,得 的所有可能取值为 . ∴ 的分布列为 3.利用样本估计总体,该流水线上产品质量超过 克的概率为 . 令 为任取的 件产品中质量超过 克的产品数量,则 , 故所求概率 . α 3tan 4 α = 3 4sin ,cos5 5 α α= = 1C 4 5 (31 5 x T T y T  =  = − + ), 2 4y x= 29 110 25 0T T− + = 1 2 25 9PA PB TT= = 505 ( )0.01 0.05 5 40 12+ × × = Y 0,1,2 ( ) ( ) ( )2 1 1 2 28 28 12 12 2 2 2 40 40 40 63 28 110 , 1 , 2130 65 130 C C C CP Y P Y P YC C C = = = = = = = = = Y Y 0 1 2 P 63 130 28 65 11 130 505 0.3 ξ 5 505 ( )5,0.3Bξ  ( ) ( ) ( )2 32 52 0.3 0.7 0.3087P Cξ = = =