江西省宜春市上高二中2019-2020学年高二上学期10月月考数学（文）试题 18页

‎2020届高三第一次月考数学（文科）试卷 一、选择题（每小题5分，共60分）‎ ‎1.设全集，集合，集合，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意得或，进而计算出.‎ ‎【详解】全集，集合，或，‎ 且集合，.‎ 故选：D ‎【点睛】本题考查了集合的交集和补集的运算，属于基础题.‎ ‎2.函数的定义域为 （ ）‎ A. (－，2 ) B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据函数有意义，得到不等式组，即可求解．‎ ‎【详解】由题意，函数有意义，满足，‎ 解得，即函数的定义域为，故选A．‎ ‎【点睛】本题主要考查了函数的定义域的求解，其中解答中根据函数的解析式有意义，列出相应的不等式组是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．‎ ‎3.已知，则使成立的一个充分不必要条件是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 分析：首先利用相关的知识点，对选项逐一分析，结合不等式的性质，可以断定A项是充要条件，B,C是既不充分也不必要条件，只有D项满足是充分不必要条件，从而选出正确结果.‎ 详解：对于A，根据函数的单调性可知，，是充要条件；‎ 对于B，时，可以得到，对应的结果为当时，；当时，，所以其为既不充分也不必要条件；‎ 对于C，由，可以得到，对于的大小关系式不能确定的，所以是既不充分也不必要条件； ‎ 故排除A,B,C，经分析，当时，得到,充分性成立，当时，不一定成立，如2>1,但2=1+1，必要性不成立，故选D.‎ 点睛：该题主要考查必要、充分条件的判定问题，其中涉及到不等式的性质的有关问题，属于综合性问题，对概念的理解要求比较高.‎ ‎4.下列说法：‎ ‎①命题：“在中，若则”的逆命题为假命题；‎ ‎②“”是直线与圆相交的充分不必要条件；‎ ‎③命题：“若则”的逆否命题是“若则”；‎ ‎④若或，则为真命题。‎ 其中正确的说法个数为（）‎ A. 1 B. 2 C. 3 D. 4‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎①写出逆命题，利用正弦函数与三角形内角和定理判断；②利用圆心到直线的距离小于半径，求出m的范围，然后利用充分不必要条件的定义判断关系；③利用逆否命题的定义进行判断；④写出若或，则的逆否命题，即可判断.‎ ‎【详解】对于①，命题：“在中，若则”的逆命题是：“在中，若则”，‎ 根据，以及正弦函数的图象可知，当，则成立，因此①错误；‎ 对于②，圆的圆心为，半径r＝1，当直线与圆相交时，‎ 圆心到直线的距离，解得，或.‎ 显然“”时，直线与圆相交，反之不成立，因此②正确；‎ 对于③，“若则”的逆否命题是：“若则”，因此③不正确；‎ 对于④，若或，则的逆否命题为若，则且，逆否命题是正确的，所以原命题正确，因此④正确.‎ 故选：B ‎【点睛】本题考查四种命题的真假判断与应用，考查充分不必要条件定义的应用，属于中档题．‎ ‎5.设命题函数在定义域上为减函数，命题，当时，，以下说法正确的是（ ）‎ A. 为真 B. 为真 C. 真假 D. 均假 ‎【答案】D ‎【解析】‎ 试题分析：因为定义域分成两个区间，且分别在两个区间内递减，故为假命题.由于，故为假命题，所以均假.‎ 考点：含有逻辑联结词命题真假性．‎ ‎6.已知命题 “”，命题“”.若命题“”是真命题，则实数的取值范围是(　　)‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题可知“”是真命题，则分别需要使两个命题为真，解出对应的，再求交集即可 ‎【详解】对于命题 ，在为增函数，则 对于命题，即，解得，‎ 答案选C.‎ ‎7.已知，则 A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 方法1（配凑法）：，‎ 又，所以．故选:A．‎ 方法2（换元法）：令，则，所以，所以．故选A．（注意：用 替换后，要注意的取值范围为，忽略了这一点，在求时就会出错）‎ ‎8.已知函数，若，则实数 A. 1或 B. ‎ C. 1 D. 3‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 分情况讨论参数a的值，代入求解.‎ ‎【详解】当时，，，解得；当时，，解得，这与矛盾，无解．综上，，‎ 故选C．‎ ‎【点睛】本题考查的是分段函数中已知函数值求自变量的问题，在解题的过程中，需要时刻关注自变量的取值范围，在明显感觉解是不符合要求时可以不解确切值，只说无解即可．‎ 求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现的形式时，应从内到外依次求值;求某条件下自变量的值，先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记代入检验，看所求的自变量的值是否满足相应段自变量的取值范围.‎ ‎9.已知函数，若，则实数的取值范围是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 代入特殊值对选项进行验证排除，由此得出正确选项.‎ 详解】若，符合题意，由此排除C,D两个选项.若，则不符合题意，排除B选项.故本小题选A.‎ ‎【点睛】本小题主要考查分段函数函数值比较大小，考查特殊值法解选择题，属于基础题.‎ ‎10.设，，若是的必要不充分条件，则实数的取值范围为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 设：的解集为A，所以A={x|-2≤x＜0或0＜x≤2},设：的解集为B，所以B={x|m≤x≤m+1},由题知p是q的必要不充分条件，即得B是A的真子集，所以有 综合得m∈，故选D.‎ ‎11.设正数满足,则的最小值为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 因为x+2y=3,所以2x+4y=6,所以（x-y）+(x+5y)=6,再利用基本不等式求的最小值.‎ ‎【详解】因为x+2y=3,所以2x+4y=6,所以（x-y）+(x+5y)=6,‎ 所以=‎ ‎，‎ 当且仅当时取最小值.‎ 故答案为：A ‎【点睛】(1)本题主要考查基本不等式求最值，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)、本题的解题关键是常量代换，即把化成，再利用基本不等式求函数的最小值. 利用基本不等式求最值时，要注意“一正二定三相等”，三个条件缺一不可.‎ ‎12.已知函数，则满足的实数的取值范围是　　‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设，利用换元法求解的范围，可得的范围，解不等式组即可求解实数的取值范围.‎ 详解】设，‎ ‎，即求解函数 ‎，‎ 可得或,‎ 解得：；‎ 即；‎ 由函数，‎ 或,解得：或，‎ 所以实数的范围是，故选A．‎ ‎【点睛】本题主要考查分段函数的解析式、分段函数解不等式，属于中档题.对于分段函数解析式的考查是命题的动向之一，常见题型：(1)求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现的形式时，应从内到外依次求值．(2)当给出函数值求自变量的值时，先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记要代入检验，看所求的自变量的值是否满足相应段自变量的取值范围．‎ 二、填空题（每小题5分，共20分）‎ ‎13.若“,”是真命题，则实数的最大值为__________．‎ ‎【答案】4‎ ‎【解析】‎ ‎ 由题意得，函数为单调递减函数，‎ ‎ 当上的最小值为，‎ ‎ 要使得为真命题，所以，所以实数的最大值为.‎ ‎14.已知函数定义域是，则的定义域是_________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 试题分析：由题意可知，函数的定义域是 考点：复合函数定义域 ‎15.已知二次函数，若在区间内至少存在一个实数使 ‎，则实数的取值范围是__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 试题分析：因为二次函数在区间内至少存在一个实数，使的否定是：“函数在区间内任意实数，使”，所以，即，整理得，解得或，所以二次函数在区间内至少存在一个实数，使的实数的取值范围是.‎ 考点：一元二次方程的根与系数的关系.‎ ‎【方法点晴】本题主要考查了一元二次方程的根的分布与系数的关系，其中解答中涉及到一元二次函数的图象与性质、不等式组的求解、命题的转化等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，其中根据二次函数的图象是开口方向朝上的抛物线，得到对于区间内的任意一个都有时，得到不等式组是解答的关键，属于中档试题.‎ ‎16.若对恒成立，且存在，使得成立，则的取值范围为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用方程思想得到，利用单调性明确函数的最大值即可.‎ ‎【详解】，‎ 以代入得，‎ 消去得，‎ 若，则单调递增，，‎ 则.‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题考查了方程思想求函数的解析式，考查了不等式能成立问题，考查函数与方程思想，属于中档题.‎ 三、解答题（共70分）‎ ‎17.已知函数f(x)＝|2x－1|＋|x－2a|.‎ ‎(1)当a＝1时，求f(x)≤3的解集；‎ ‎(2)当x∈[1，2]时，f(x)≤3恒成立，求实数a的取值范围．‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】‎ 试题分析:（1）根据绝对值定义将不等式化为三个不等式组，分别求解，最后求并集（2）根据x∈[1，2]得|2x－1|=2x－1，再去绝对值分离变量，最后根据函数最值得实数a的取值范围．‎ 试题解析：(1)当a＝1时，由f(x)≤3，可得|2x－1|＋|x－2|≤3，‎ ‎∴①或②或③‎ 解①得0≤x＜，解②得≤x＜2，解③得x＝2.‎ 综上可得，0≤x≤2，即不等式的解集为[0，2]．‎ ‎(2)∵当x∈[1，2]时，f(x)≤3恒成立，‎ 即|x－2a|≤3－|2x－1|＝4－2x，‎ 故2x－4≤2a－x≤4－2x，‎ 即3x－4≤2a≤4－x.‎ 再根据3x－4在x∈[1，2]上的最大值为6－4＝2，4－x的最小值为4－2＝2，‎ ‎∴2a＝2，∴a＝1，‎ 即a的取值范围为{1}．‎ ‎18.已知集合，集合，集合，命题，命题.‎ ‎（1）若命题为假命题，求实数的取值范围；‎ ‎（2）若命题为假命题，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求出集合和；‎ ‎（1）由题意得，由集合的交集运算得的取值范围；‎ ‎（2）先求出为真命题时的取值范围，从而求出为假命题时的范围.‎ ‎【详解】∵，∴集合，‎ 集合，集合.‎ ‎（1）由命题是假命题，可得，即得，∴.‎ ‎（2）当为真命题时，都为真命题，即，且，‎ ‎∴，解得.‎ ‎∴当为假命题时，或，∴的取值范围是：‎ ‎【点睛】本题考查了集合交集的运算，考查了复合命题为假命题的应用，二次函数的性质，属于基础题.‎ ‎19.某次的一次学科测试成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的污损，可见部分如图．‎ ‎（Ⅰ）求参加测试的总人数及分数在[80，90）之间的人数；‎ ‎（Ⅱ）若要从分数在[80，100）之间的试卷中任取两份分析学生失分情况，求在抽取的试卷中，恰有一份分数在[90，100）之间的概率．‎ ‎【答案】（Ⅰ）参加测试人数n=25，分数在[80，90）的人数为4人；（Ⅱ）．‎ ‎【解析】‎ 分析】‎ ‎（Ⅰ）由频率分布直方图的概念，根据成绩在[50，60）内的频数及对应的直方图中小长方形的面积即可求得样本容量及成绩落在[90，100]内的人数，进一步确定成绩落在[80，90）内的人数；（Ⅱ）由第一问的结果可知，成绩在[80，90）的人数为4，在[90，100]内的人数为2；设“在[80，100]内的学生中任选两人，恰有一人分数在[90，100]内”为事件M，于是可由古典概型的概率计算公式求得事件M的概率．‎ ‎【详解】（Ⅰ）成绩在[50，60）内的频数为2，由频率分布直方图可以看出，成绩在[90，100]内同有2人．‎ 由，解得n=25．成绩在[80，90）之间的人数为25﹣（2+7+10+2）=4人 ‎∴参加测试人数n=25，分数在[80，90）的人数为4人 ‎（Ⅱ）设“在[80，100]内的学生中任选两人，恰有一人分数在[90，100]内”为事件M，‎ 将[80，90）内的4人编号为a，b，c，d；[90，100]内的2人编号为A，B 在[80，100]内的任取两人的基本事件为：ab，ac，ad，aA，aB，bc，bd，bA，bB，cd，cA，cB，dA，dB，AB共15个．其中，恰有一人成绩在[90，100]内的基本事件有 aA，aB，bA，bB，cA，cB，dA，dB共8个．‎ ‎∴所求的概率得．‎ 考点：1、频率分布直方图；2、古典概型．‎ ‎20.已知函数在区间[2，3]上有最大值4和最小值1，设.‎ ‎（1）求a、b的值；‎ ‎（2）若不等式在上有解，求实数k的取值范围.‎ ‎【答案】（1）；（2）．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由题，，对称轴，故在区间上是增函数，即，可解出a、b的值：（2）由已知，故即为分离变量可得，令，则，因，故，讨论函数的值域即可求解.‎ ‎【详解】（1），因为，所以在区间上是增函数，‎ 故，解得．‎ ‎（2）由已知可得，所以可化为，‎ 化为，‎ 令，则，因，故，‎ 记，因为，故，‎ 所以的取值范围是．‎ 考点：二次函数在闭区间上的最值问题，指数函数的性质 ‎21.如图，已知矩形中，、分别是、上的点，，，，是的中点，现沿着翻折，使平面平面.‎ ‎（1）为的中点，求证：平面.‎ ‎（2）求点到平面的距离.‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）取的中点，连接，，得，利用线面平行的判定定理得平面；∵是的中位线，∴，再利用线面平行的判定定理得平面，且，即可证得；‎ ‎（2）连接，，，在中，，，根据余弦定理可求得，同理:；∵平面平面，得在,∴‎ ‎，进而得，利用，即可求出点到平面的距离.‎ ‎【详解】（1）取的中点，连接，，易证，‎ ‎∵平面，平面∴平面.‎ ‎∵是的中位线，∴，‎ ‎∵平面，平面，∴平面.‎ ‎∵，∵平面，平面，‎ ‎∴平面平面，且平面，所以平面 ‎（2）连接，，，∵，且点为的中点，∴，‎ ‎∵平面平面，平面平面，平面，‎ ‎∴平面，∴，且，‎ 在中，，，根据余弦定理可求得，‎ 所以.同理:在中,,可求得；‎ 在,∴，‎ 同理可求得，∴为等腰三角形，，∴，‎ 三棱锥的高为，，‎ 设点到平面距离为，，∴，∴．‎ ‎【点睛】本题考查了线面平行的判定和面面垂直性质定理的应用，三棱锥体积的求法，同时考查了转化的思想，属于中档题．‎ ‎22.已知函数f（x）=（k＞0）．‎ ‎（1）若f（x）＞m的解集为{x|x＜-3，或x＞-2}，求m，k的值；‎ ‎（2）若存在x0＞3，使不等式f（x0）＞1成立，求k取值范围．‎ ‎【答案】(1);(2)‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)利用韦达定理得到m,k的方程组，解方程组即得m,k的值.(2)先将命题转化为存在使得成立，再转化为，再利用基本不等式求得解.‎ ‎【详解】（1），‎ 不等式的解集为，‎ 所以是方程的根，且，‎ 所以.‎ ‎（2） ．‎ 存在使得成立，即存在使得成立，‎ 令，则，‎ 令，则，，‎ 当且仅当，即，亦时等号成立.，‎ ‎∴.‎ ‎【点睛】(1)本题主要考查一元二次不等式的解，考查不等式的存在性问题和基本不等式，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)解答第2问的关键是转化为存在使得成立，再转化为.‎