2020届 二轮复习 集合、简易逻辑与不等式 作业 16页

集合、简易逻辑与不等式 一、单选题 ‎1．由a,a,b,b,a2,b2构成集合A,则集合A中的元素最多有 (　　)‎ A．6个 B．5个 C．4个 D．3个 ‎【答案】C ‎【解析】根据集合中元素的互异性可知,集合A中的元素最多有4个,故选C ‎2．设集合，则( )‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 由解得，所以，故 ，因此选C.‎ ‎3．若，，则“”是“”的（ ）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 ‎ C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎【答案】 B ‎【解析】‎ 试题分析：当 时“”，但“”，当“”时，由可知“”成立，所以则“”是“”的必要不充分条件，故选B.‎ 考点：充分条件与必要条件.‎ ‎4．已知，，若是的一个必要不充分条件，则实数的取值范围为（ ）．‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先解不等式，化简，，再由是的一个必要不充分条件，列出不等式，求解，即可得出结果.‎ ‎【详解】‎ 由，得．‎ 由，得．‎ ‎∵是的一个必要不充分条件，‎ ‎∴，即.‎ 故选：B ‎【点睛】‎ 本题主要考查由命题的必要不充分条件求参数的问题，熟记充分条件与必要条件的概念即可，属于常考题型.‎ ‎5．下列命题：①所有的零向量都相等；②所有的单位向量都相等；③同一向量的负向量都相等；④任何向量与其负向量的和都等于零向量.其中正确命题的个数有（ ）‎ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用零向量，单位向量定义及性质，两个向量互为负向量的定义和性质，对4个命题一一判断即可.‎ ‎【详解】‎ 零向量的方向是任意的，长度为0，则①错误；‎ 所有单位向量的模长相等，方向不一定相同，则②错误；‎ 根据两个向量互为负向量的定义和性质可得：③④正确.‎ 故选：B ‎【点睛】‎ 本题考查零向量，单位向量和两个向量互为负向量的定义及性质，属于基础题.‎ ‎6．设，若的最小值为（）‎ A．7 B．8 C．9 D．10‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎∵，且 ‎∴‎ 当且仅当且时，取等号,故选C.‎ 点睛：在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误 ‎7．设集合，若，则的值可以是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 集合，‎ 因为，所以,故，故选D.‎ ‎8．已知全集，集合，，则图中阴影部分表示的集合为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先确定阴影部分表示的集合为,再根据补集与交集定义求解.‎ ‎【详解】‎ 由题意得阴影部分表示的集合为,‎ 因为 故选：A ‎【点睛】‎ 本题考查补集与交集定义，考查基本分析求解能力，属基础题.‎ 二、填空题 ‎9．若不等式的解集为，则_______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 试题分析：由不等式的解集为，所以是方程的根，由韦达定理得.‎ 考点：一元二次不等式.‎ ‎10．满足的集合共有______个．‎ ‎【答案】7‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由已知中，可得.‎ 又由,可得中元素只能从中取,逐一列出满足条件的集合,即可得到答案.‎ ‎【详解】‎ 解：，‎ 满足条件的集合有：‎ ‎，,,,‎ ‎,,‎ 共7个.‎ 故答案为：7‎ ‎【点睛】‎ 本题考查的知识点是集合的包含关系判断及其应用，其中当元素个数不多时,用列举法表示出所有满足条件的集合是解答的关键.‎ ‎11．设m为实数，若{（x，y）|⊆{（x，y）|（x－2）2＋（y－2）2≤8}，则m的取值范围为________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 试题分析：集合表示的是以为顶点的直角三角形内部（含边界），由题意这个三角形在圆内部，则，又，‎ 所以．‎ 考点：二元一次不等式组表示的平面区域．‎ ‎12．，求的取值范围 ．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 试题分析：，当时，当时，所以，综上的取值范围 考点：集合的子集关系及解不等式 ‎13．函数y=‎‎−x‎2‎−3x+4‎lg(x+1)‎的定义域为_______________．‎ ‎【答案】‎‎(−1,0)∪(0,1]‎ ‎【解析】由题设可得‎{‎−x‎2‎−3x+4≥0‎x+1>0‎x+1≠1‎⇒{‎−3≤x≤1‎x>−1‎x≠0‎⇒{‎−10,N的集合可得直线y＝a,利用数形结合即可求出a的取值范围.‎ ‎【详解】‎ 因为y＝2x>0，所以要使直线y＝a与函数y＝2x的图像无交点，则有a≤0.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查利用指数函数和常数函数的图像求出参数范围的题目，属于中等题.‎ ‎16．设集合，，当中的元素个数是时，则实数的取值范围是________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【详解】‎ ‎，，‎ 当中的元素个数是时，‎ 直线与半圆有2个交点，半圆表示：‎ 圆心在，半径为的圆的下半部分，表示斜率为的平行线，其中是直线在轴上的截距，当直线与圆相切时，圆心到直线的距离等于半径，即圆心到直线的距离，解得或（舍去），由图知的取值范围是，实数的取值范围是，‎ 故答案为.‎ ‎【方法点睛】‎ 本题主要考查集合的交集、直线与圆的位置关系以及数形结合思想的应用，属于难题.‎ ‎ 数形结合是根据数量与图形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法，是中学数学四种重要的数学思想之一，尤其在解决选择题、填空题是发挥着奇特功效，大大提高了解题能力与速度.运用这种方法的关键是运用这种方法的关键是正确作出函数图象以及熟练掌握函数图象的几种变换，充分利用数形结合的思想方法能够使问题化难为简，并迎刃而解.‎ 三、解答题 ‎17．已知实数a满足不等式－3＜a＜3,解关于x的不等式(x－a)(x＋1)＞0.‎ ‎【答案】见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 把a和-1作大小比较,分，三种情况讨论.‎ ‎【详解】‎ 方程的两个根分别为，.‎ 当时，原不等式的解集为； ‎ 当时，原不等式的解集为；‎ 当时，原不等式的解集为.‎ ‎【点睛】‎ 在解决含参数的一元二次不等式中，对一元二次方程的根的大小关系进行分类讨论是常见的解题策略．‎ ‎18．矩形ABCD的面积为4，如果矩形的周长不大于10，则称此矩形是“美观矩形”．‎ ‎（1）当矩形ABCD是“美观矩形”时，求矩形周长的取值范围；‎ ‎（2）就矩形ABCD的一边长x的不同值，讨论矩形是否是“美观矩形”？‎ ‎【答案】（1）；（2）当x∈[1，4]时，矩形是“美观矩形”，当x∈（0，1）∪（4，+∞）时，矩形不是“美观矩形”．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据基本不等式和定义即可得出周长的范围；‎ ‎（2）令周长不大于10，列不等式求出x的范围，得出结论．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）设AB＝x，则，故而矩形ABCD的周长为，‎ 当且仅当即x＝2时取等号．又矩形ABCD是“美观矩形”，故而矩形的周长不大于10．‎ ‎∴当矩形ABCD是“美观矩形”时，矩形周长的取值范围是[8，10]．‎ ‎（2）设矩形ABCD的周长为f（x），则，‎ 令f（x）≤10得，解得：1≤x≤4，‎ ‎∴当x∈[1，4]时，矩形是“美观矩形”，当x∈（0，1）∪（4，+∞）时，矩形不是“美观矩形”．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了基本不等式的实际应用，属于基础题．‎ ‎19．如图所示，是某海湾旅游区的一角，其中，为了营造更加优美的旅游环境，旅游区管委会决定在直线海岸和上分别修建观光长廊和AC，其中是宽长廊，造价是元/米，是窄长廊，造价是元/米，两段长廊的总造价为120万元，同时在线段上靠近点的三等分点处建一个观光平台，并建水上直线通道（平台大小忽略不计），水上通道的造价是元/米．‎ ‎(1) 若规划在三角形区域内开发水上游乐项目，要求的面积最大，那么 和的长度分别为多少米？‎ ‎(2) 在(1)的条件下，建直线通道还需要多少钱？‎ ‎【答案】（1）和AC的长度分别为750米和1500米（2）万元 ‎【解析】‎ 试题分析：（1）设长为米，长为米，依题意得，即，表示面积,利用基本不等式可得结论；（2）利用向量方法，将表示为，根据向量的数量积与模长的关系可得结果.‎ 试题解析：（1）设长为米，长为米，依题意得，‎ 即， ‎ ‎ ‎ ‎ = ‎ 当且仅当，即时等号成立，‎ 所以当的面积最大时，和AC的长度分别为750米和1500米 ‎（2）在(1)的条件下，因为．‎ 由 ‎ 得 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎， ‎ ‎ 元 所以，建水上通道还需要万元． ‎ 解法二：在中， ‎ ‎ ‎ ‎ 在中，‎ ‎ ‎ 在中，‎ ‎= ‎ 元 所以，建水上通道还需要万元． ‎ 解法三：以A为原点，以AB为轴建立平面直角坐标系，则，‎ ‎,即，设 ‎ 由，求得， 所以 ‎ 所以， ‎ 元 所以，建水上通道还需要万元．‎ ‎20．（本小题满分12分）已知非空数集，且．‎ ‎（1）求实数的取值范围；‎ ‎（2）当变化时，若集合中的最小值为，求的值域．‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）集合A为求函数值域，分常函数与二次函数进行讨论： ①，符合题意； ②二次函数开口必须向上且在x轴上方或与x轴相切，即（2）集合A为求函数值域的最小值，仍分常函数与二次函数进行讨论：；最小值就是8，而二次函数开口向上 ，对称轴在定义区间内，其最小值在顶点处取得：‎ 试题解析：（1）由题意得对任意的恒成立．‎ ‎①，符合题意； ‎ ‎②‎ 解得 综合①②，． ‎ ‎（2）； ‎ ‎．‎ 综合①②，的值域为． ‎ 考点：二次函数值域及最值 ‎【名师点睛】（1）二次函数的最值与值域一般利用配方法与函数的单调性解决，但一定要密切注意函数的定义域，否则极易出错．（2）二次函数的图像与性质要结合开口方向、对称轴位置及与x、y轴交点等来研究，综合二次函数的特征解决问题．‎ ‎21．咖啡馆配制两种饮料，甲种饮料每杯分别用奶粉、咖啡、糖9g、4g、3g；乙种饮料每杯分别用奶粉、咖啡、糖4g、5g、10g，已知每天使用原料限额为奶粉3600g，咖啡2000g，糖3000g，如果甲种饮料每杯能获利0.7元，乙种饮料每杯能获利1.2元，每天在原料使用的限额内，饮料能全部售完，问咖啡馆每天怎样安排配制饮料获利最大？‎ ‎【答案】咖啡馆每天配制甲种饮料200杯，乙种饮料240杯，能使咖啡馆获利最大 ‎【解析】‎ 本题属于线性规则的题目.首先设咖啡馆每天配制甲种饮料杯，乙种饮料杯，获利元.建立目标函数,求出x,y的线性约束条件，‎ 作出可行域，找到最优解.按照这样的步骤求解即可 设咖啡馆每天配制甲种饮料杯，乙种饮料杯，获利元.则 ‎…………（6分）‎ 如图所示，在点处，即时（元）…………………（12分）‎ 答：咖啡馆每天配制甲种饮料200杯，乙种饮料240杯，能使咖啡馆获利最大 ‎22．设命题p:，；命题q:，，如果命题“”为真命题，命题“”为假命题，求实数a的取值范围.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 分别求出两个命题为真命题的等价条件，利用复合命题真假之间的关系进行判断求解。‎ ‎【详解】‎ 命题为真命题，则；命题为真命题，则，解得： ，‎ 命题为真命题，命题“”为假命题，则命题和中一个为真命题，一个为假命题，‎ 当真假时，则 ，解得： ，‎ 当假真时，则，解得： ，‎ 综上所述的取值范围为 ‎【点睛】‎ 本题主要考查复合命题真假的判断，解决此类问题，一般是先求出两个命题都为真命题时的取值范围，再利用复合命题的真值表进行判断，如果为假命题就求出其补集，可以借助数轴解决。‎