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  • 2021-06-11 发布

【数学】2018届一轮复习人教A版第七章数列、推理与证明专题探究课三高考中数列不等式问题的热点题型学案

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专题探究课三 高考中数列不等式问题的热点题型 高考导航 考查内容主要集中在两个方面:一是以选择题和填空题的形式考查等差、等比数列的运算和性质,题目多为常规试题;二是等差、等比数列的通项与求和问题;三是结合函数、不等式(放缩法)等进行综合考查,难度较大,涉及内容较为全面,试题思维量较大.‎ 热点一 等差数列、等比数列的综合问题 解决等差、等比数列的综合问题时,重点在于读懂题意,灵活利用等差、等比数列的定义、通项公式及前n项和公式解决问题,求解这类问题要重视方程思想的应用.‎ ‎【例1】 已知首项为的等比数列{an}不是递减数列,其前n项和为Sn(n∈N*),且S3+a3,S5+a5,S4+a4成等差数列.‎ ‎(1)求数列{an}的通项公式;‎ ‎(2)设Tn=Sn-(n∈N*),求数列{Tn}的最大项的值与最小项的值.‎ 解 (1)设等比数列{an}的公比为q,‎ 因为S3+a3,S5+a5,S4+a4成等差数列,‎ 所以S5+a5-S3-a3=S4+a4-S5-a5,即‎4a5=a3,‎ 于是q2==.‎ 又{an}不是递减数列且a1=,所以q=-.‎ 故等比数列{an}的通项公式为an=× ‎=(-1)n-1·.‎ ‎(2)由(1)得Sn=1-= 当n为奇数时,Sn随n的增大而减小,‎ 所以1Sn-≥S2-=-=-.‎ 综上,对于n∈N*,总有-≤Sn-≤.‎ 所以数列{Tn}最大项的值为,最小项的值为-.‎ 探究提高 解决等差数列与等比数列的综合问题,既要善于综合运用等差数列与等比数列的相关知识求解,更要善于根据具体问题情境具体分析,寻找解题的突破口.‎ ‎【训练1】 (2017·乐清模拟)已知数列{an}是公差不为零的等差数列,其前n项和为Sn,满足S5-‎2a2=25,且a1,a4,a13恰为等比数列{bn}的前三项.‎ ‎(1)求数列{an},{bn}的通项公式;‎ ‎(2)设Tn是数列的前n项和,是否存在k∈N*,使得等式1-2Tk=成立?若存在,求出k的值;若不存在,请说明理由.‎ 解 (1)设等差数列{an}的公差为d(d≠0),‎ ‎∴ 解得a1=3,d=2,∴an=2n+1.‎ ‎∵b1=a1=3,b2=a4=9,‎ ‎∴等比数列{bn}的公比q=3,∴bn=3n.‎ ‎(2)不存在.理由如下:‎ ‎∵==,‎ ‎∴Tn= ‎=,‎ ‎∴1-2Tk=+(k∈N*),‎ 易知数列为单调递减数列,‎ ‎∴<1-2Tk≤,又=∈,‎ ‎∴不存在k∈N*,使得等式1-2Tk=成立.‎ 热点二 数列的通项与求和(规范解答)‎ 数列的通项与求和是高考必考的热点题型,求通项属于基本问题,‎ 常涉及与等差、等比的定义、性质、基本量运算.求和问题关键在于分析通项的结构特征,选择合适的求和方法.常考求和方法有:错位相减法、裂项相消法、分组求和法等.‎ ‎【例2】 (满分12分)(2015·湖北卷)设等差数列{an}的公差为d,前n项和为Sn,等比数列{bn}的公比为q,已知b1=a1,b2=2,q=d,S10=100.‎ ‎(1)求数列{an},{bn}的通项公式;‎ ‎(2)当d>1时,记cn=,求数列{cn}的前n项和Tn.‎ 满分解答 (1)解 由题意有 即2分 解得或4分 故或6分 ‎(2)解 由d>1,知an=2n-1,bn=2n-1,‎ 故cn=,7分 于是Tn=1+++++…+,①‎ Tn=+++++…+.②8分 ‎①-②可得 Tn=2+++…+-10分 ‎=3-,11分 故Tn=6-.12分 ‎ ‎ ‎❶由题意列出方程组得2分;‎ ‎❷解得a1与d得2分,漏解得1分;‎ ‎❸正确导出an,bn得2分,漏解得1分;‎ ‎❹写出cn得1分;‎ ‎❺把错位相减的两个式子,按照上下对应好,再相减,就能正确地得到结果,本题就得满分,否则就容易出错,丢掉一些分数.‎ ‎ 用错位相减法解决数列求和的模板 第一步:(判断结构)‎ 若数列{an·bn}是由等差数列{an}与等比数列{bn}(公比q)的对应项之积构成的,则可用此法求和.‎ 第二步:(乘公比)‎ 设{an·bn}的前n项和为Tn,然后两边同乘以q.‎ 第三步:(错位相减)‎ 乘以公比q后,向后错开一位,使含有qk(k∈N*)的项对应,然后两边同时作差.‎ 第四步:(求和)‎ 将作差后的结果求和,从而表示出Tn.‎ ‎【训练2】 已知数列{an},an=(-1)n-1,求数列{an}的前n项和Tn.‎ 解 an=(-1)n-1,‎ 当n为偶数时,Tn=-+…+-=1-=.‎ 当n为奇数时,Tn=-+…-+=1+=.‎ 所以Tn=(或Tn=).‎ 热点三 数列的综合应用 热点3.1 数列的实际应用 数列在实际问题中的应用,要充分利用题中限制条件确定数列的特征,如通项公式、前n项和公式或递推关系式,建立数列模型.‎ ‎【例3-1】 某企业的资金每一年都比上一年分红后的资金增加一倍,并且每年年底固定给股东们分红500万元,该企业2010年年底分红后的资金为1 000万元.‎ ‎(1)求该企业2014年年底分红后的资金;‎ ‎(2)求该企业从哪一年开始年底分红后的资金超过32 500万元.‎ 解 设an为(2010+n)年年底分红后的资金,其中n∈N*,‎ 则a1=2×1 000-500=1 500,‎ a2=2×1 500-500=2 500,…,‎ an=2an-1-500(n≥2).‎ ‎∴an-500=2(an-1-500)(n≥2),‎ 即数列{an-500}是以a1-500=1 000为首项,2为公比的等比数列,‎ ‎∴an-500=1 000×2n-1,‎ ‎∴an=1 000×2n-1+500.‎ ‎(1)∵a4=1 000×24-1+500=8 500,‎ ‎∴该企业2014年年底分红后的资金为8 500万元.‎ ‎(2)由an>32 500,即2n-1>32,得n>6,∴该企业从2017年开始年底分红后的资金超过32 500万元.‎ 热点3.2 数列与函数的综合问题 数列是特殊的函数,以函数为背景的数列的综合问题体现了在知识交汇点上命题的特点,该类综合题的知识综合性强,能很好地考查逻辑推理能力和运算求解能力,因而一直是高考命题者的首选.‎ ‎【例3-2】 已知二次函数f(x)=ax2+bx的图象过点(-4n,0),且f′(0)=2n(n∈N*).‎ ‎(1)求f(x)的解析式;‎ ‎(2)若数列{an}满足=f′,且a1=4,求数列{an}的通项公式;‎ ‎(3)对于(2)中的数列{an},求证:‎ ‎①ak<5;②≤ <2.‎ ‎(1)解 由f′(x)=2ax+b,f′(0)=2n,‎ 得b=2n,又f(x)的图象过点(-4n,0),∴16n‎2a-4nb=0,解得a=.∴f(x)=x2+2nx(n∈N*).‎ ‎(2)解 由(1)知f′(x)=x+2n(n∈N*),∴=+2n,即-=2n,‎ ‎∴-=2(n-1),-=2(n-2),…,-=2,‎ ‎∴-=n2-n,∴an=,‎ 即an=(n∈N*).‎ ‎(3)证明 ①ak=<=-(k≥2).‎ 当n=1时,ak<5显然成立;‎ 当n≥2时,ak<4+‎ =5-<5.‎ ‎②∵==-,‎ ‎∴ =++…+=2-.‎ ‎∵n∈N*,∴2n+1≥3,‎ ‎∴≤2-<2.‎ 综上,原不等式得证.‎ 热点3.3 数列与不等式的综合问题 数列与不等式知识相结合的考查方式主要有三种:一是判断数列问题中的一些不等关系;二是以数列为载体,考查不等式的恒成立问题;三是考查与数列问题有关的不等式的证明.在解决这些问题时,如果是证明题要灵活选择不等式的证明方法,如比较法、综合法、分析法、放缩法等.如果是解不等式问题,要使用不等式的各种不同解法,如数轴法、因式分解法.‎ ‎【例3-3】 (2016·浙江卷)设数列{an}满足|an-|≤1,n∈N*.‎ ‎(1)证明:|an|≥2n-1(|an|-2),n∈N*;‎ ‎(2)若|an|≤,n∈N*,证明:|an|≤2,n∈N*.‎ 证明 (1)由≤1得|an|-|an+1|≤1,‎ 故-≤,n∈N*,‎ 所以-=++…+≤++…+<1,‎ 因此|an|≥2n-1(|a1|-2).‎ ‎(2)任取n∈N*,由(1)知,对于任意m>n,‎ -=++…+≤++…+<,‎ 故|an|<·2n≤·2n=2+·2n.‎ 从而对于任意m>n,均有|an|<2+·2n.‎ 由m的任意性得|an|≤2.①‎ 否则,存在n0∈N*,有|an0|>2,‎ 取正整数m0>log且m0>n0,‎ 综上,对于任意n∈N*,均有|an|≤2. ‎

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