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- 2021-06-11 发布
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专题探究课三 高考中数列不等式问题的热点题型
高考导航 考查内容主要集中在两个方面:一是以选择题和填空题的形式考查等差、等比数列的运算和性质,题目多为常规试题;二是等差、等比数列的通项与求和问题;三是结合函数、不等式(放缩法)等进行综合考查,难度较大,涉及内容较为全面,试题思维量较大.
热点一 等差数列、等比数列的综合问题
解决等差、等比数列的综合问题时,重点在于读懂题意,灵活利用等差、等比数列的定义、通项公式及前n项和公式解决问题,求解这类问题要重视方程思想的应用.
【例1】 已知首项为的等比数列{an}不是递减数列,其前n项和为Sn(n∈N*),且S3+a3,S5+a5,S4+a4成等差数列.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)设Tn=Sn-(n∈N*),求数列{Tn}的最大项的值与最小项的值.
解 (1)设等比数列{an}的公比为q,
因为S3+a3,S5+a5,S4+a4成等差数列,
所以S5+a5-S3-a3=S4+a4-S5-a5,即4a5=a3,
于是q2==.
又{an}不是递减数列且a1=,所以q=-.
故等比数列{an}的通项公式为an=×
=(-1)n-1·.
(2)由(1)得Sn=1-=
当n为奇数时,Sn随n的增大而减小,
所以1Sn-≥S2-=-=-.
综上,对于n∈N*,总有-≤Sn-≤.
所以数列{Tn}最大项的值为,最小项的值为-.
探究提高 解决等差数列与等比数列的综合问题,既要善于综合运用等差数列与等比数列的相关知识求解,更要善于根据具体问题情境具体分析,寻找解题的突破口.
【训练1】 (2017·乐清模拟)已知数列{an}是公差不为零的等差数列,其前n项和为Sn,满足S5-2a2=25,且a1,a4,a13恰为等比数列{bn}的前三项.
(1)求数列{an},{bn}的通项公式;
(2)设Tn是数列的前n项和,是否存在k∈N*,使得等式1-2Tk=成立?若存在,求出k的值;若不存在,请说明理由.
解 (1)设等差数列{an}的公差为d(d≠0),
∴
解得a1=3,d=2,∴an=2n+1.
∵b1=a1=3,b2=a4=9,
∴等比数列{bn}的公比q=3,∴bn=3n.
(2)不存在.理由如下:
∵==,
∴Tn=
=,
∴1-2Tk=+(k∈N*),
易知数列为单调递减数列,
∴<1-2Tk≤,又=∈,
∴不存在k∈N*,使得等式1-2Tk=成立.
热点二 数列的通项与求和(规范解答)
数列的通项与求和是高考必考的热点题型,求通项属于基本问题,
常涉及与等差、等比的定义、性质、基本量运算.求和问题关键在于分析通项的结构特征,选择合适的求和方法.常考求和方法有:错位相减法、裂项相消法、分组求和法等.
【例2】 (满分12分)(2015·湖北卷)设等差数列{an}的公差为d,前n项和为Sn,等比数列{bn}的公比为q,已知b1=a1,b2=2,q=d,S10=100.
(1)求数列{an},{bn}的通项公式;
(2)当d>1时,记cn=,求数列{cn}的前n项和Tn.
满分解答 (1)解 由题意有
即2分
解得或4分
故或6分
(2)解 由d>1,知an=2n-1,bn=2n-1,
故cn=,7分
于是Tn=1+++++…+,①
Tn=+++++…+.②8分
①-②可得
Tn=2+++…+-10分
=3-,11分
故Tn=6-.12分
❶由题意列出方程组得2分;
❷解得a1与d得2分,漏解得1分;
❸正确导出an,bn得2分,漏解得1分;
❹写出cn得1分;
❺把错位相减的两个式子,按照上下对应好,再相减,就能正确地得到结果,本题就得满分,否则就容易出错,丢掉一些分数.
用错位相减法解决数列求和的模板
第一步:(判断结构)
若数列{an·bn}是由等差数列{an}与等比数列{bn}(公比q)的对应项之积构成的,则可用此法求和.
第二步:(乘公比)
设{an·bn}的前n项和为Tn,然后两边同乘以q.
第三步:(错位相减)
乘以公比q后,向后错开一位,使含有qk(k∈N*)的项对应,然后两边同时作差.
第四步:(求和)
将作差后的结果求和,从而表示出Tn.
【训练2】 已知数列{an},an=(-1)n-1,求数列{an}的前n项和Tn.
解 an=(-1)n-1,
当n为偶数时,Tn=-+…+-=1-=.
当n为奇数时,Tn=-+…-+=1+=.
所以Tn=(或Tn=).
热点三 数列的综合应用
热点3.1 数列的实际应用
数列在实际问题中的应用,要充分利用题中限制条件确定数列的特征,如通项公式、前n项和公式或递推关系式,建立数列模型.
【例3-1】 某企业的资金每一年都比上一年分红后的资金增加一倍,并且每年年底固定给股东们分红500万元,该企业2010年年底分红后的资金为1 000万元.
(1)求该企业2014年年底分红后的资金;
(2)求该企业从哪一年开始年底分红后的资金超过32 500万元.
解 设an为(2010+n)年年底分红后的资金,其中n∈N*,
则a1=2×1 000-500=1 500,
a2=2×1 500-500=2 500,…,
an=2an-1-500(n≥2).
∴an-500=2(an-1-500)(n≥2),
即数列{an-500}是以a1-500=1 000为首项,2为公比的等比数列,
∴an-500=1 000×2n-1,
∴an=1 000×2n-1+500.
(1)∵a4=1 000×24-1+500=8 500,
∴该企业2014年年底分红后的资金为8 500万元.
(2)由an>32 500,即2n-1>32,得n>6,∴该企业从2017年开始年底分红后的资金超过32 500万元.
热点3.2 数列与函数的综合问题
数列是特殊的函数,以函数为背景的数列的综合问题体现了在知识交汇点上命题的特点,该类综合题的知识综合性强,能很好地考查逻辑推理能力和运算求解能力,因而一直是高考命题者的首选.
【例3-2】 已知二次函数f(x)=ax2+bx的图象过点(-4n,0),且f′(0)=2n(n∈N*).
(1)求f(x)的解析式;
(2)若数列{an}满足=f′,且a1=4,求数列{an}的通项公式;
(3)对于(2)中的数列{an},求证:
①ak<5;②≤ <2.
(1)解 由f′(x)=2ax+b,f′(0)=2n,
得b=2n,又f(x)的图象过点(-4n,0),∴16n2a-4nb=0,解得a=.∴f(x)=x2+2nx(n∈N*).
(2)解 由(1)知f′(x)=x+2n(n∈N*),∴=+2n,即-=2n,
∴-=2(n-1),-=2(n-2),…,-=2,
∴-=n2-n,∴an=,
即an=(n∈N*).
(3)证明 ①ak=<=-(k≥2).
当n=1时,ak<5显然成立;
当n≥2时,ak<4+
=5-<5.
②∵==-,
∴ =++…+=2-.
∵n∈N*,∴2n+1≥3,
∴≤2-<2.
综上,原不等式得证.
热点3.3 数列与不等式的综合问题
数列与不等式知识相结合的考查方式主要有三种:一是判断数列问题中的一些不等关系;二是以数列为载体,考查不等式的恒成立问题;三是考查与数列问题有关的不等式的证明.在解决这些问题时,如果是证明题要灵活选择不等式的证明方法,如比较法、综合法、分析法、放缩法等.如果是解不等式问题,要使用不等式的各种不同解法,如数轴法、因式分解法.
【例3-3】 (2016·浙江卷)设数列{an}满足|an-|≤1,n∈N*.
(1)证明:|an|≥2n-1(|an|-2),n∈N*;
(2)若|an|≤,n∈N*,证明:|an|≤2,n∈N*.
证明 (1)由≤1得|an|-|an+1|≤1,
故-≤,n∈N*,
所以-=++…+≤++…+<1,
因此|an|≥2n-1(|a1|-2).
(2)任取n∈N*,由(1)知,对于任意m>n,
-=++…+≤++…+<,
故|an|<·2n≤·2n=2+·2n.
从而对于任意m>n,均有|an|<2+·2n.
由m的任意性得|an|≤2.①
否则,存在n0∈N*,有|an0|>2,
取正整数m0>log且m0>n0,
综上,对于任意n∈N*,均有|an|≤2.