数学文卷·2018届山东省济南外国语学校高三12月考试（2017 11页

高三数学试题（文科）‎ 第Ⅰ卷（共60分）‎ 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.已知集合，集合，则等于（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎2.（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎3.已知向量，，若与共线，则的值为（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎4.给出下列四个命题：‎ ‎①将，，三种个体按3:1:2的比例分层抽样调查，若抽取的个体为12个，则样本容量为30；‎ ‎②一组数据1、2、3、4、5的平均数、中位数相同；‎ ‎③甲组数据的方程为5，乙组数据为5、6、9、10、5，那么这两组数据中较稳定的是甲；‎ ‎④统计的10个样本数据为95,105,114,116,120,120,122,125,130,134，则样本数据落在内的频率为0.4．‎ 其中真命题为（ ）‎ A．①② B．②③ C．③④ D．②④ ‎ ‎5.过椭圆（）的右焦点作轴的垂线交椭圆于点，为左焦点，若，则椭圆的离心率为（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎6.设，满足约束条件则的最大值为（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎7.如图，在正方体中，为线段上的动点，则下列判断错误的是（ ）‎ A．平面 B．平面 ‎ C． D．三棱锥的体积与点位置有关 ‎ ‎8.函数的图象大致为（ ）‎ ‎ ‎ ‎9.函数与，两函数图象所有点的横坐标之和为（ ）‎ A．0 B．2 C．4 D．8 ‎ ‎10.3世纪中期，魏晋时期的数学家刘徽利用不断倍增圆内接正多边形边数的方法求出圆周率，首创“割圆术”．利用“割圆术”，刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值3.14，这就是著名的“徽率”．如图是利用刘徽的“割圆术”思想设计的程序框图，则输出的值为（ ）‎ ‎（参考数据：，）‎ A． B． C． D． ‎ ‎11.的内角，，的对边分别为，，．已知，且，，则的面积是（ ）‎ A． B． C．或 D．或 ‎ ‎12.如图，，分别是双曲线（，）的左右焦点，过的直线与双曲线的左、右两支分别交于点，，若为等边三角形，则双曲线的离心率为（ ）‎ A． B． C． D． ‎ 第Ⅱ卷（共90分）‎ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13.在数轴上0和4之间任取一个实数，则使“”的概率为 ．‎ ‎14.曲线在点处的切线平行于直线，则点的坐标为 ．‎ ‎15.若，，则 ．‎ ‎16.网络用语“车珠子”，通常是指将一块原料木头通过加工打磨变成球状珠子．某同学有一圆锥状的木块，想把它“车成珠子”．经测量，该圆锥状木块的底面直径为，体积为，则珠子的体积最大值是 ‎ ．‎ 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） ‎ ‎17.各项均为正数的等比数列，前项和为，且满足，．‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）若，求数列的前项和．‎ ‎18.如图，底面为等腰梯形的四棱锥中，平面，为的中点，，，．‎ ‎（1）证明：平面；‎ ‎（2）若，求三棱锥的体积．‎ ‎19.近年来许多地市空气污染较为严重，现随机抽取某市一年（365天）内100天的 空气质量指数（）的监测数据，统计结果如表：‎ 指数 空气质量 优 良 轻度污染 中度污染 重度污染 严重污染 天数 ‎4‎ ‎13‎ ‎18‎ ‎30‎ ‎20‎ ‎15‎ 记某企业每天由空气污染造成的经济损失为（单位：元），指数为．当在区间内时，对企业没有造成经济损失；当在区间内时，对企业造成的经济损失与成直线模型（当指数为150时，造成的经济损失为1100元，当指数为200时，造成的经济损失为1400元）；当指数大于300时，造成的经济损失为2000元．　‎ ‎（1）试写出的表达式；‎ ‎（2）试估计在本年内随机抽取1天，该天经济损失大于1100且不超过1700元的概率；‎ ‎（3）若本次抽取的样本数据有30天是在供暖季，这30天中有8天为严重污染，完成列联表，并判断是否有的把握认为该市本年度空气严重污染与供暖有关？‎ 非严重污染 严重污染 合计 供暖季 非供暖季 合计 附：‎ ‎0.25‎ ‎0.15‎ ‎0.10‎ ‎0.05‎ ‎0.025‎ ‎0.010‎ ‎0.005‎ ‎0.001‎ ‎1.323‎ ‎2.072‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ ‎6.635‎ ‎7.879‎ ‎10.828‎ ‎，其中 ‎20.已知曲线的方程为（，为常数）．‎ ‎（1）判断曲线的形状；‎ ‎（2）设曲线分别与轴，轴交于点，（，不同于原点），试判断的面积是否为定值？并证明你的判断；‎ ‎（3）设直线：与曲线交于不同的两点，，且，求的值．‎ ‎21.已知函数（）．‎ ‎（1）若在处取到极值，求的值；‎ ‎（2）若在上恒成立，求的取值范围；‎ ‎（3）求证：当时，．‎ 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.‎ ‎22.选修4-4：坐标系与参数方程 已知在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的参数方程为（为参数）．‎ ‎（1）求直线和曲线的普通方程；‎ ‎（2）设点是曲线上的一个动点，求它到直线的距离的取值范围．‎ ‎23.选修4-5：不等式选讲 设函数．‎ ‎（1）解不等式；‎ ‎（2）若，使得，求实数的取值范围．‎ 高三数学试题（文科）答案 一、选择题 ‎1-5: 6-10: 11、12：‎ 二、填空题 ‎13. 14.或 15. 16.‎ 三、解答题 ‎17.解：（1）设等比数列的公比为，由得 解得或，‎ ‎∵数列为正项数列，∴，‎ 代入，得，∴．‎ ‎（2），‎ 此时，‎ ‎∴．‎ ‎18.（1）证明：取的中点，连接，，因为为的中点，‎ 所以，‎ 又因为，，‎ 所以四边形是平行四边形，‎ 所以，又平面，平面，‎ 所以平面．‎ ‎（2）解：等腰梯形中，作于，则，在中，‎ ‎，则 ‎，即点到的距离，又平面，平面，所以，又，∴平面．‎ ‎∴三棱锥的体积．‎ ‎19.解：（1）依题意，可得 ‎（2）设“在本年内随机抽取1天，该天经济损失大于1100元且不超过1700元”为事件，由，得，由统计结果，知，‎ 即在本年内随机抽取1天，该天经济损失大于1100元且不超过1700元的概率为0.4．‎ ‎（3）根据题中数据可得如下列联表：‎ 非严重污染 严重污染 合计 供暖季 ‎22‎ ‎8‎ ‎30‎ 非供暖季 ‎63‎ ‎7‎ ‎70‎ 合计 ‎85‎ ‎15‎ ‎100‎ 的观测值，‎ 所以有的把握认为该市本年度空气重度污染与供暖有关．‎ ‎20.解：（1）将曲线的方程化为，整理得，‎ 可知曲线是以点为圆心，以为半径的圆．‎ ‎（2）的面积为定值．‎ 证明如下：在曲线的方程中令，得，得，‎ 在曲线方程中令，得，得，‎ 所以（定值）．‎ ‎（3）直线与曲线方程联立得，‎ 设，，则 ‎，，‎ ‎，‎ 即，即，解得或，‎ 当时，满足；当时，满足．‎ 故或．‎ ‎21.解：（1），‎ ‎∵在处取到极值，‎ ‎∴，即，∴，‎ 经检验，时，在处取到极小值．‎ ‎（2），令（），‎ ‎1°当时，，在上单调递减，又，‎ ‎∴时，，不满足在上恒成立．‎ ‎2°当时，二次函数开口向上，对称轴为，过．　‎ ‎①当，即时，在上恒成立，∴，从而在上单调递增，‎ 又，∴时，成立，满足在上恒成立；‎ ‎②当，即时，存在，使时，，单调递减，时，，单调递增，‎ ‎∴，又，∴，故不满足题意．‎ ‎3°当时，二次函数开口向下，对称轴为，在单调递减，，‎ ‎∴，在上单调递减，又，∴时，，故不满足题意．‎ 综上所述，．‎ ‎（3）证明：由（1）知令，当时，（当且仅当时取“”），‎ ‎∴当时，．即当2,3,4，…，，有 ‎． ‎ ‎22.解：（1）直线的普通方程为，‎ 曲线的普通方程为．‎ ‎（2）设点（），则 ‎，‎ 所以的取值范围是．‎ ‎23.解：（1）当时，，解得：，又，∴；‎ 当时，，解得，又，∴；‎ 当时，，解得，又，∴；‎ 综上，不等式的解集为．‎ ‎（2）由（1）得 ‎∴，‎ ‎∵，使得，∴，‎ 整理得，解得，‎ ‎∴的取值范围是.‎ ‎ ‎ ‎ ‎