2019届二轮复习等比数列及其前n项和学案（全国通用） 18页

‎1．理解等比数列的概念 ‎2．掌握等比数列的通项公式与前n项和公式 ‎3．能在具体的问题情境中识别数列的等比关系，并能用有关知识解决相应的问题 ‎4．了解等比数列与指数函数的关系 热点题型一 等比数列的基本运算 例1、（2018年浙江卷）已知成等比数列，且．若，则 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【变式探究】已知Sn是等比数列{an}的前n项和，S4，S2，S3成等差数列，且a2＋a3＋a4＝－18。‎ ‎(1)求数列{an}的通项公式；‎ ‎(2)是否存在正整数n，使得Sn≥2 013？若存在，求出符合条件的所有n的集合；若不存在，说明理由。‎ ‎【解析】(1)设数列{an}的公比为q，则a1≠0，q≠0。‎ 由题意得 即 解得 ‎ 故数列{an}的通项公式为an＝3(－2)n－1。‎ ‎【提分秘籍】‎ ‎1．对于等比数列的有关计算问题，可类比等差数列问题进行，在解方程组的过程中要注意“相除”消元的方法，同时要注意整体代入(换元)思想方法的应用。‎ ‎2．在涉及等比数列前n项和公式时要注意对公比q是否等于1进行判断和讨论。‎ ‎【举一反三】 ‎ 设{an}是由正数组成的等比数列，Sn为其前n项和。已知a2a4＝1，S3＝7，则S5＝__________。‎ ‎【解析】显然公比q≠1，由题意得 解得或(舍去)，∴S5＝＝＝。‎ ‎【答案】 热点题型二 等比数列的判定与证明 例2、（2018年全国I卷）已知数列满足，，设．‎ ‎（1）求；‎ ‎（2）判断数列是否为等比数列，并说明理由；‎ ‎（3）求的通项公式．‎ ‎【答案】(1) b1=1，b2=2，b3=4．‎ ‎(2) {bn}是首项为1，公比为2的等比数列．理由见解析.‎ ‎(3) an=n·2n-1．‎ ‎【解析】‎ ‎（2）{bn}是首项为1，公比为2的等比数列．‎ 由条件可得，即bn+1=2bn，又b1=1，所以{bn}是首项为1，公比为2的等比数列．‎ ‎（3）由（2）可得，所以an=n·2n-1．‎ ‎【变式探究】已知数列{an}和{bn}满足：a1＝λ，an＋1＝an＋n－4，bn＝(－1)n(an－3n＋21)，其中λ为实数，n为正整数。‎ ‎(1)对任意实数λ，证明：数列{an}不是等比数列；‎ ‎(2)试判断数列{bn}是否为等比数列，并证明你的结论。‎ ‎【解析】(1)证明：假设存在一个实数λ，使{an}是等比数列，则有a＝a1a3，即2＝λ，故λ2－4λ＋9＝λ2－4λ，即9＝0，矛盾，所以{an}不是等比数列。 ‎ ‎(2)因为bn＋1＝(－1)n＋1[an＋1－3(n＋1)＋21 ＝(－1)n＋1＝－(－1)n(an－3n＋21)＝－bn。‎ 又b1＝－(λ＋18)，所以当λ＝－18时，‎ bn＝0(n∈N )，此时{bn}不是等比数列；‎ 当λ≠－18时，b1＝－(λ＋18)≠0，‎ 由bn＋1＝－bn。‎ 可知bn≠0，所以＝－(n∈N )。‎ 故当λ≠－18时，数列{bn}是以－(λ＋18)为首项，－为公比的等比数列。‎ ‎【提分秘籍】 ‎ 证明数列{an}是等比数列常用的方法：一是定义法，证明＝q(n≥2，q为常数)；二是等比中项法，证明a＝an－1·an＋1。若判断一个数列不是等比数列，则只需举出反例即可，也可以用反证法。‎ ‎【举一反三】 ‎ 设数列{an}的前n项和为Sn，若对于任意的正整数n都有Sn＝2an－3n，设bn＝an＋3，求证：数列{bn ‎}是等比数列，并求an。‎ 热点题型三 等比数列的性质及其应用 例3．（2018年浙江卷）已知等比数列{an}的公比q>1，且a3+a4+a5=28，a4+2是a3，a5的等差中项．数列 ‎{bn}满足b1=1，数列{（bn+1−bn）an}的前n项和为2n2+n．‎ ‎（Ⅰ）求q的值；‎ ‎（Ⅱ）求数列{bn}的通项公式． ‎ ‎【答案】（Ⅰ）‎ ‎（Ⅱ）‎ ‎【解析】‎ ‎（Ⅰ）由是的等差中项得，‎ 所以，‎ 解得.‎ 由得， . .X.X. ‎ 因为，所以.‎ ‎ 【变式探究】(1)在各项均为正数的等比数列{an}中，a3＝－1，a5＝＋1，则a＋2a2a6＋a3a7＝(　　)‎ A．4 B．6‎ C．8 D．8－4 ‎(2)各项均为正数的等比数列{an}的前n项和为Sn，若Sn＝2，S3n＝14，则S4n等于(　　)‎ A．80 B．30‎ C．26 D．16‎ ‎【解析】(1)在等比数列中，a3a7＝a，a2a6＝a3a5，所以a＋2a2a6＋a3a7＝a＋2a3a5＋a＝(a3＋a5)2＝(－1＋＋1)2＝(2)2＝8。‎ ‎(2)由等比数列性质得，‎ Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，S4n－S3n成等比数列，‎ 则(S2n－Sn)2＝Sn·(S3n－S2n)，‎ 所以(S2n－2)2＝2×(14－S2n)。又S2n>0，得S2n＝6，‎ 又(S3n－S2n)2＝(S2n－Sn)(S4n－S3n)，‎ 所以(14－6)2＝(6－2)(S4n－14)。解得S4n＝30。 / ‎ ‎【提分秘籍】‎ 等比数列的性质可以分为三类：‎ ‎①通项公式的变形，‎ ‎②等比中项的变形，‎ ‎③前n项和公式的变形，根据题目条件，认真分析，发现具体的变化特征即可找出解决问题的突破口。‎ ‎【举一反三】 ‎ 在等比数列中，已知a1aa15＝243，则的值为(　　)‎ A．3 B．9 C．27 D．81‎ ‎【答案】B ‎ ‎ ‎1. （2018年浙江卷）已知成等比数列，且．若，则 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】令则，令得，所以当时，，当时，，因此， ‎ 若公比，则，不合题意；‎ 若公比，则 但，‎ 即，不合题意；‎ 因此，‎ ‎，选B.‎ ‎2. （2018年浙江卷）已知等比数列{an}的公比q>1，且a3+a4+a5=28，a4+2是a3，a5的等差中项．数列 ‎{bn}满足b1=1，数列{（bn+1−bn）an}的前n项和为2n2+n．‎ ‎（Ⅰ）求q的值；‎ ‎（Ⅱ）求数列{bn}的通项公式． ‎ ‎【答案】（Ⅰ）‎ ‎（Ⅱ）‎ ‎【解析】‎ ‎（Ⅱ）设，数列前n项和为.‎ 由解得.‎ 由（Ⅰ）可知，‎ 所以，‎ 故，‎ ‎ ‎ ‎.‎ 设，‎ 所以，‎ 因此，‎ 又，所以. ‎ ‎3. （2018年江苏卷）设是首项为，公差为d的等差数列，是首项为，公比为q的等比数列．‎ ‎（1）设，若对均成立，求d的取值范围；‎ ‎（2）若，证明：存在，使得对均成立，并求的取值范围（用表示）．‎ ‎【答案】（1）d的取值范围为．‎ ‎（2）d的取值范围为，证明见解析。‎ ‎（2）由条件知：．‎ 若存在d，使得（n=2，3，···，m+1）成立，‎ 即，‎ 即当时，d满足．‎ 因为，则，‎ 从而，，对均成立．‎ 因此，取d=0时，对均成立．‎ 下面讨论数列的最大值和数列的最小值（）．‎ ‎①当时，，‎ 当时，有，从而．‎ 因此，当时，数列单调递增，‎ 故数列的最大值为．‎ ‎②设，当x>0时，，‎ 所以单调递减，从而60n＋800？若存在，求n的最小值；若不存在，说明理由．‎ ‎ ‎ ‎(2)当an＝2时，Sn＝2n，显然2n<60n＋800，‎ 此时不存在正整数n，使得Sn>60n＋800成立．‎ 当an＝4n－2时，Sn＝＝2n2.‎ 令2n2>60n＋800，即n2－30n－400>0，‎ 解得n>40或n<－10(舍去)，‎ 此时存在正整数n，使得Sn>60n＋800成立，n的最小值为41.‎ 综上，当an＝2时，不存在满足题意的正整数n；‎ 当an＝4n－2时，存在满足题意的正整数n，其最小值为41.‎ ‎6．（2014·新课标全国卷Ⅱ）已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝3an＋1.‎ ‎(1)证明是等比数列，并求{an}的通项公式；‎ ‎(2)证明＋＋…＋＜.‎ ‎ ‎ ‎7．（2014·山东卷） 已知等差数列{an}的公差为2，前n项和为Sn，且S1，S2，S4成等比数列．‎ ‎(1)求数列{an}的通项公式；‎ ‎(2)令bn＝(－1)n－1，求数列{bn}的前n项和Tn.‎ ‎【解析】 (1)因为S1＝a1，S2＝‎2a1＋×2＝‎2a1＋2，‎ S4＝‎4a1＋×2＝‎4a1＋12，‎ 由题意得(‎2a1＋2)2＝a1(‎4a1＋12)，解得a1＝1，‎ 所以an＝2n－1. . ‎ ‎(2)由题意可知，‎ bn＝(－1)n－1＝(－1)n－1＝(－1)n－1.‎ 当n为偶数时，‎ Tn＝－＋…＋－＝1－＝.‎ 当n为奇数时，‎ Tn＝－＋…－＋＝1＋＝.‎ 所以Tn＝ ‎8.（2014·陕西卷）△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.‎ ‎(1)若a，b，c成等差数列，证明：sin A＋sin C＝2sin(A＋C)；‎ ‎(2)若a，b，c成等比数列，求cos B的最小值．‎ ‎9．（2014·天津卷）设{an}是首项为a1，公差为－1的等差数列，Sn为其前n项和．若S1，S2，S4成等比数列，则a1的值为________．‎ ‎【答案】－　‎ ‎【解析】∵S2＝‎2a1－1，S4＝‎4a1＋×(－1)＝‎4a1－6，S1，S2，S4成等比数列，‎ ‎∴(‎2a1－1)2＝a1(‎4a1－6)，解得a1＝－.‎ ‎10．（2014·天津卷）已知q和n均为给定的大于1的自然数．设集合M＝{0，1，2，…，q－1}，‎ 集合A＝{ ＝x1＋x2q＋…＋xnqn－1，xi∈M，i＝1，2，…，n}．‎ ‎(1)当q＝2，n＝3时，用列举法表示集合A.‎ ‎(2)设s，t∈A，s＝a1＋a2q＋…＋anqn－1，t＝b1＋b2q＋…＋bnqn－1，其中ai，bi∈M，i＝1，2，…，n.证明：若an