高中数学选修2-2教学课件第四章 2 34页

第四章　定积分 §2 　 微积分基本定理 明目标 知重点 填 要点 记疑点 探 要点 究所然 内容 索引 01 02 03 当堂测 查疑缺 04 1. 直观了解并掌握微积分基本定理的含义 . 2. 会利用微积分基本定理求函数的积分 . 明目标、知重点 填要点 · 记疑点 1. 微积分基本定理 如果 f ( x ) 是区间 [ a ， b ] 上的连续函数， 并且 ，那么 ʃ f ( x )d x ＝ . 2. 定积分和曲边梯形面积的关系 设曲边梯形在 x 轴上方的面积为 S 上 ， x 轴下方的面积为 S 下 ， 则 F ′ ( x ) ＝ f ( x ) F ( b ) － F ( a ) (1) 当曲边梯形的面积在 x 轴上方时，如图 (1) ，则 ʃ f ( x )d x ＝ . (2) 当曲边梯形的面积在 x 轴下方时，如图 (2) ，则 ʃ f ( x )d x ＝ . (3) 当曲边梯形的面积在 x 轴上方、 x 轴下方均存在时，如图 (3) ，则 ʃ f ( x )d x ＝ ， 若 S 上 ＝ S 下 ，则 ʃ f ( x )d x ＝ . S 上 － S 下 S 上 － S 下 0 探要点 · 究 所然 探究点一　微积分基本定理 思考 1 　 如图，一个做变速直线运动的物体的运动规律是 y ＝ y ( t ) ，并且 y ( t ) 有连续的导数，由导数的概念可知，它在任意时刻 t 的速度 v ( t ) ＝ y ′ ( t ). 设这个物体在时间段 [ a ， b ] 内的位移为 s ，你能分别用 y ( t ) ， v ( t ) 表示 s 吗？ 答　 由物体的运动规律是 y ＝ y ( t ) 知： s ＝ y ( b ) － y ( a ) ， 小结　 (1) 一般地，如果 f ( x ) 是区间 [ a ， b ] 上的连续函数，并且 F ′ ( x ) ＝ f ( x ) ，那么 ʃ f ( x )d x ＝ F ( b ) － F ( a ). 这个结论叫做微积分基本定理，又叫做牛顿 — 莱布尼茨公式 . (2) 运用微积分基本定理求定积分 ʃ f ( x )d x 很方便，其关键是准确写出满足 F ′ ( x ) ＝ f ( x ) 的 F ( x ). 思考 2 　对一个连续函数 f ( x ) 来说，是否存在唯一的 F ( x ) ，使 F ′ ( x ) ＝ f ( x ) ？若不唯一，会影响微积分基本定理的唯一性吗 ？ 答　 不唯一，根据导数的性质，若 F ′ ( x ) ＝ f ( x ) ，则对任意实数 c ， [ F ( x ) ＋ c ] ′ ＝ F ′ ( x ) ＋ c ′ ＝ f ( x ). 不影响， 因为 例 1 　 计算下列定积分： 反思与感悟　 求简单的定积分关键注意两点： (1) 掌握基本函数的导数以及导数的运算法则，正确求解被积函数的原函数，当原函数不易求时，可将被积函数适当变形后再求解； (2) 精确定位积分区间，分清积分下限与积分上限 . 跟踪训练 1 　计算下列定积分： 探究点二　分段函数的 定积分 例 2 　 已知函数 f ( x ) ＝ 先 画出函数图像，再求这个函数在 [0,4] 上的定积分 . 解　 图像如图 . 反思与感悟　 求分段函数的定积分，分段标准是使每一段上的函数表达式确定，按照原分段函数的分段情况即可；对于含绝对值的函数，可转化为分段函数 . 跟踪训练 2 　 设 f ( x ) ＝ 求 ʃ f ( x )d x . 探究点三　定积分的应用 例 3 　计算下列定积分： ( 1) ʃ sin x d x ； 解　 因为 ( － cos x ) ′ ＝ sin x ， ＝ ( － cos π) － ( － cos 0) ＝ 2 ； ( 2) ʃ sin x d x ； ＝ ( － cos 2π) － ( － cos π) ＝－ 2 ； ( 3) ʃ sin x d x . 反思与感悟　 由例 3 我们可以发现，定积分的值可能取正值也可能取负值，还可能是 0 ： 定积分的值与曲边梯形面积之间的关系： (1) 位于 x 轴上方的曲边梯形的面积等于对应区间的积分； (2) 位于 x 轴下方的曲边梯形的面积等于对应区间的积分的相反数； (3) 定积分的值就是位于 x 轴上方的曲边梯形面积减去位于 x 轴下方的曲边梯形面积 . 跟踪训练 3 　求曲线 y ＝ sin x 与直线 x ＝－ ， x ＝ π ， y ＝ 0 所围图形的面积 ( 如图所示 ). 解　 所求面积为 当堂测 · 查 疑缺 1 2 3 1. 定积分 ʃ ( 2 x ＋ e x )d x 的值为 ( 　　 ) A.e ＋ 2 B.e ＋ 1 C.e D.e － 1 4 C 2. 若 ʃ ( 2 x ＋ ) d x ＝ 3 ＋ ln 2 ，则 a 的值是 ( 　　 ) A.5 B.4 C.3 D.2 1 2 3 4 解得 a ＝ 2. D 1 2 3 4 1 2 3 4 4. 已知 f ( x ) ＝ ， 计算 ʃ f ( x )d x . 解　 取 F 1 ( x ) ＝ 2 x 2 － 2π x ，则 F 1 ′ ( x ) ＝ 4 x － 2π ； 1 2 3 4 取 F 2 ( x ) ＝ sin x ，则 F 2 ′ ( x ) ＝ cos x . 所以 呈 重点、现 规律 1. 求定积分的一些常用技巧 (1) 对被积函数，要先化简，再求积分 . (2) 若被积函数是分段函数，依据定积分 “ 对区间的可加性 ” ，分段积分再求和 . (3) 对于含有绝对值符号的被积函数，要去掉绝对值符号才能积分 . 2. 由于定积分的值可取正值，也可取负值，还可以取 0 ，而面积是正值，因此不要把面积理解为被积函数对应图形在某几个区间上的定积分之和，而是在 x 轴下方的图形面积要取定积分的相反数 . 更多精彩内容请 登录 http ://www.91taoke.com 谢谢观看