2021届北师大版高考理科数一轮复习高效演练分层突破：第八章　第3讲　直线、平面平行的判定与性质 10页

‎ [基础题组练]‎ ‎1．(2020·河北衡水模拟一)已知m，n为两条不重合直线，α，β为两个不重合平面，下列条件中，α∥β的充分条件是(　　)‎ A．m∥n，mα，nβ B．m∥n，m⊥α，n⊥β C．m⊥n，m∥α，n∥β D．m⊥n，m⊥α，n⊥β 解析：选B.对于A，两个平面内分别有一条直线，这两条直线互相平行，这两个平面可能平行， 也可能相交，因此A中条件不是α∥β的充分条件；对于B，因为m∥n，m⊥α，所以n⊥α，结合n⊥β，知α∥β，因此B中条件是α∥β的充分条件；对于C，由m⊥n，m∥α知nα，或n∥α，或n与α相交，结合n∥β，知α，β可能平行，也可能相交，所以C中条件不是α∥β的充分条件；对于D，由m⊥n，m⊥α知nα，或n∥α，结合n⊥β，知α⊥β，所以D中条件不是α∥β的充分条件．综上可知．选B.‎ ‎2．(2020·江西红色七校联考)设m，n是空间中两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列说法正确的是(　　)‎ A．若m∥n，nα，则m∥α B．若mα，nβ，α∥β，则m∥n C．若α∥β，m⊥α，则m⊥β D．若mα，nβ，m∥β，n∥α，则α∥β 解析：选C.若m∥n，nα，则m∥α或mα，所以选项A不正确；若mα，nβ，α∥β，则m∥n或m与n异面，所以选项B不正确；若mα，nβ，m∥β，n∥α，则α∥β或α与β相交，所以选项D不正确．故选C.‎ ‎3．(2020·湖南长沙模拟)设a，b，c表示不同直线，α，β表示不同平面，下列命题：‎ ‎①若a∥c，b∥c，则a∥b；‎ ‎②若a∥b，b∥α，则a∥α；‎ ‎③若a∥α，b∥α，则a∥b；‎ ‎④若aα，bβ，α∥β，则a∥b.‎ 其中真命题的个数是(　　)‎ A．1 B．2‎ C．3 D．4‎ 解析：选A.由题意，对于①，根据线线平行的传递性可知①是真命题；对于②，根据 a∥b，b∥α，可以推出a∥α或aα，故②是假命题；对于③，根据a∥α，b∥α，可以推出a与b平行，相交或异面，故③是假命题；对于④，根据aα，bβ，α∥β，可以推出a∥b或a与b异面，故④是假命题．所以真命题的个数是1.故选A.‎ ‎4.如图所示，在空间四边形ABCD中，E，F分别为边AB，AD上的点，且AE∶EB＝AF∶FD＝1∶4，又H，G分别为BC，CD的中点，则(　　)‎ A．BD∥平面EFGH，且四边形EFGH是矩形 B．EF∥平面BCD，且四边形EFGH是梯形 C．HG∥平面ABD，且四边形EFGH是菱形 D．EH∥平面ADC，且四边形EFGH是平行四边形 解析：选B.由AE∶EB＝AF∶FD＝1∶4知EF綊BD，又EF平面BCD，所以EF∥平面BCD.又H，G分别为BC，CD的中点，所以HG綊BD，所以EF∥HG且EF≠HG.所以四边形EFGH是梯形．‎ ‎5.‎ 在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F，G分别是A1B1，B1C1，BB1的中点，给出下列四个推断：‎ ‎①FG∥平面AA1D1D；‎ ‎②EF∥平面BC1D1；‎ ‎③FG∥平面BC1D1；‎ ‎④平面EFG∥平面BC1D1.‎ 其中推断正确的序号是(　　)‎ A．①③　　 B．①④ ‎ C．②③　　 D．②④‎ 解析：选A.因为在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F，G分别是A1B1，B1C1，BB1的中点，所以FG∥BC1，因为BC1∥AD1，所以FG∥AD1，‎ 因为FG⊄平面AA1D1D，AD1⊂平面AA1D1D，所以FG∥平面AA1D1D，故①正确；‎ 因为EF∥A1C1，A1C1与平面BC1D1相交，所以EF与平面BC1D1相交，故②错误；‎ 因为E，F，G分别是A1B1，B1C1，BB1的中点，‎ 所以FG∥BC1，因为FG平面BC1D1，BC1平面BC1D1，‎ 所以FG∥平面BC1D1，故③正确；‎ 因为EF与平面BC1D1相交，所以平面EFG与平面BC1D1相交，故④错误．故选A.‎ ‎6．在四面体ABCD中，M，N分别是△ACD，△BCD的重心，则四面体的四个面中与MN平行的是________．‎ 解析：如图，取CD的中点E，连接AE，BE，‎ 则EM∶MA＝1∶2，‎ EN∶BN＝1∶2，‎ 所以MN∥AB.‎ 因为AB平面ABD，MN平面ABD，AB平面ABC，MN平面ABC，‎ 所以MN∥平面ABD，MN∥平面ABC.‎ 答案：平面ABD与平面ABC ‎7．如图，正方体ABCDA1B1C1D1中，AB＝2，点E为AD的中点，点F在CD上．若EF∥平面AB1C，则线段EF的长度等于________．‎ 解析：因为EF∥平面AB1C，EF平面ABCD，平面ABCD∩平面AB1C＝AC，‎ 所以EF∥AC，所以点F为DC的中点．‎ 故EF＝AC＝.‎ 答案： ‎8.如图所示，在正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，E，F，G，H分别是棱CC1，C1D1，D1D，DC的中点，N是 BC的中点，点M在四边形EFGH及其内部运动，则M 只需满足条件________时，就有MN∥平面B1BDD1.(注：请填上你认为正确的一个条件即可，不必考虑全部可能情况)‎ 解析：连接HN，FH，FN，则FH∥DD1，HN∥BD，FH∩HN＝H，DD1∩BD＝D，‎ 所以平面FHN∥平面B1BDD1，只需M∈FH，则MN平面FHN，所以MN∥平面B1BDD1.‎ 答案：点M在线段FH上(或点M与点H重合)‎ ‎9.在如图所示的一块木料中，棱BC平行于平面A′B′C′D′.‎ ‎(1)要经过平面A′B′C′D′内的一点P和棱BC将木料锯开，应怎样画线？‎ ‎(2)所画的线与平面ABCD是什么位置关系？并证明你的结论．‎ 解：(1)过点P作B′C′的平行线，‎ 交A′B′，C′D′于点E，F，‎ 连接BE，CF.‎ 作图如下：‎ ‎(2)EF∥平面ABCD.理由如下：‎ 因为BC∥平面A′B′C′D′，‎ 又因为平面B′C′CB∩平面A′B′C′D′＝B′C′，‎ 所以BC∥B′C′，因为EF∥B′C′，所以EF∥BC，‎ 又因为EF平面ABCD，BC平面ABCD，‎ 所以EF∥平面ABCD.‎ ‎10．如图所示，四边形ABCD与四边形ADEF都为平行四边形，M，N，G分别是AB，AD，EF的中点．求证：‎ ‎(1)BE∥平面DMF；‎ ‎(2)平面BDE∥平面MNG.‎ 证明：(1)如图所示，设DF与GN交于点O，连接AE，则AE必过点O，‎ 连接MO，则MO为△ABE的中位线，‎ 所以BE∥MO.‎ 因为BE平面DMF，MO平面DMF，‎ 所以BE∥平面DMF.‎ ‎(2)因为N，G分别为平行四边形ADEF的边AD，EF的中点，‎ 所以DE∥GN.‎ 因为DE平面MNG，GN平面MNG，‎ 所以DE∥平面MNG.‎ 因为M为AB的中点，‎ 所以MN为△ABD的中位线，‎ 所以BD∥MN.‎ 因为BD平面MNG，MN平面MNG，‎ 所以BD∥平面MNG.‎ 因为DE与BD为平面BDE内的两条相交直线，‎ 所以平面BDE∥平面MNG.‎ ‎[综合题组练]‎ ‎1．如图，透明塑料制成的长方体容器ABCDA1B1C1D1内灌进一些水，固定容器底面一边BC于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜度的不同，有下面四个命题：‎ ‎①没有水的部分始终呈棱柱形；‎ ‎②水面EFGH所在四边形的面积为定值；‎ ‎③棱A1D1始终与水面所在的平面平行；‎ ‎④当容器倾斜如图所示时，BE·BF是定值．‎ 其中正确的个数是(　　)‎ A．1 B．2‎ C．3 D．4‎ 解析：选C.由题图，显然①是正确的，②是错的；‎ 对于③因为A1D1∥BC，BC∥FG，‎ 所以A1D1∥FG且A1D1平面EFGH，‎ 所以A1D1∥平面EFGH(水面)．‎ 所以③是正确的；‎ 因为水是定量的(定体积V)．‎ 所以S△BEF·BC＝V，‎ 即BE·BF·BC＝V.‎ 所以BE·BF＝(定值)，即④是正确的，故选C.‎ ‎2.(2020·江西吉安一模)如图，在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N分别是A1D1，A1B1的中点，过直线BD的平面α∥平面AMN，则平面α截该正方体所得截面的面积为(　　)‎ A. B． C. D． 解析：选B.如图1，取B1C1的中点E，C1D1的中点F，连接EF，BE，DF，B1D1，则EF∥B1D1，B1D1∥BD，所以EF∥BD，故EF，BD在同一平面内，连接ME，因为M，E 分别为A1D1，B1C1的中点，所以ME∥AB，且ME＝AB，所以四边形ABEM是平行四边形，所以AM∥BE，又因为BE平面BDFE，‎ AM平面BDFE，‎ 所以AM∥平面BDFE，同理AN∥平面BDFE，因为AM∩AN＝A，‎ 所以平面AMN∥平面BDFE，‎ BD＝，EF＝B1D1＝，DF＝BE＝，等腰梯形BDFE如图2，‎ 过E，F作BD的垂线，垂足分别为G，H，则四边形EFGH为矩形，所以FG＝＝＝，‎ 故所得截面的面积为××＝，故选B.‎ ‎3．在正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N，Q分别是棱D1C1，A1D1，BC的中点，点P在BD1上且BP＝BD1.则以下四个说法：‎ ‎①MN∥平面APC；‎ ‎②C1Q∥平面APC；‎ ‎③A，P，M三点共线；‎ ‎④平面MNQ∥平面APC.‎ 其中说法正确的是________(填序号)．‎ 解析：‎ ‎①连接MN，AC，则MN∥AC，连接AM，CN，‎ 易得AM，CN交于点P，即MN平面APC，所以MN∥平面APC是错误的；‎ ‎②由①知M，N在平面APC上，由题易知AN∥C1Q，AN平面APC，‎ 所以C1Q∥平面APC是正确的；‎ ‎③由①知A，P，M三点共线是正确的；‎ ‎④由①知MN平面APC，‎ 又MN平面MNQ，‎ 所以平面MNQ∥平面APC是错误的．‎ 答案：②③‎ ‎4.如图所示，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为a，点P是棱AD上一点，且AP＝，过B1，D1，P的平面交底面ABCD于PQ，Q在直线CD上，则PQ＝________．‎ 解析：因为平面A1B1C1D1∥平面ABCD，而平面B1D1P∩平面ABCD＝PQ，平面B1D1P∩平面A1B1C1D1＝B1D1，‎ 所以B1D1∥PQ.‎ 又因为B1D1∥BD，所以BD∥PQ，‎ 设PQ∩AB＝M，因为AB∥CD，‎ 所以△APM∽△DPQ.‎ 所以＝＝2，即PQ＝2PM.‎ 又知△APM∽△ADB，‎ 所以＝＝，‎ 所以PM＝BD，又BD＝a，‎ 所以PQ＝a.‎ 答案：a ‎5.如图，在四棱锥PABCD的底面ABCD中，BC∥AD，且AD＝2BC，O，E分别为AD，PD的中点．‎ ‎(1)设平面PAB∩平面PCD＝l，请作图确定l的位置并说明你的理由；‎ ‎(2)若Q为直线CE上任意一点，证明：OQ∥平面PAB.‎ 解：(1)分别延长AB和DC交于点R，连接PR，则直线PR就是l的位置；‎ R∈AB平面PAB，R∈CD平面PCD，‎ 所以P、R是平面PAB和平面PCD的两个公共点，‎ 由公理1可知，过P、R的直线就是两个平面的交线l.‎ ‎(2)证明：连接OE、OC，因为BC∥AD，且BC＝AD，‎ 又AO＝AD，所以BC∥AO，‎ 且BC＝AO，所以四边形ABCO为平行四边形，‎ 所以OC∥AB，则OC∥平面PAB；‎ 又OE为△PAD的中位线，则OE∥AP，‎ 所以OE∥平面PAB，‎ 又OE平面OEC，OC平面OEC，且OE∩OC＝O，‎ 所以平面PAB∥平面OEC，‎ 又OQ平面OEC，‎ 所以OQ∥平面PAB.‎ ‎6．如图，四棱柱ABCDA1B1C1D1的底面ABCD是正方形．‎ ‎(1)证明：平面A1BD∥平面CD1B1；‎ ‎(2)若平面ABCD∩平面B1D1C＝直线l，证明B1D1∥l.‎ 证明：(1)由题设知BB1綊DD1，‎ 所以四边形BB1D1D是平行四边形，‎ 所以BD∥B1D1.‎ 又BD平面CD1B1，‎ B1D1平面CD1B1，‎ 所以BD∥平面CD1B1.‎ 因为A1D1綊B1C1綊BC，‎ 所以四边形A1BCD1是平行四边形，‎ 所以A1B∥D1C.‎ 又A1B平面CD1B1，‎ D1C平面CD1B1，‎ 所以A1B∥平面CD1B1.‎ 又因为BD∩A1B＝B，‎ 所以平面A1BD∥平面CD1B1.‎ ‎(2)由(1)知平面A1BD∥平面CD1B1，‎ 又平面ABCD∩平面B1D1C＝直线l，‎ 平面ABCD∩平面A1BD＝直线BD，‎ 所以直线l∥直线BD，‎ 在四棱柱ABCDA1B1C1D1中，四边形BDD1B1为平行四边形，‎ 所以B1D1∥BD，‎ 所以B1D1∥l.‎