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- 2021-06-11 发布
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专题7:平面向量
班级 姓名
一、前测训练
1. (1)已知向量a=(0,2),|b|=2,则|a-b|的取值范围是 .
(2)若a是平面内的单位向量,若向量b满足b·(a-b)=0,则的取值范围是 .
答案:(1)[0,4].(2)[0,1].
A
B
C
D
E
2.(1)在△ABC中,∠BAC=120°,AB=2,AC=1,点D是边BC上一点,DC=2BD,E为BC边上的点,且·=0.则·= ;·= .
(2)如图,在边长为2的菱形ABCD中,ÐBAD=60°,E为CD中点,
则×= .
(3)已知OA=OB=2,·=0,点C在线段AB上,且∠AOC=60°,则·=________________.
答案:(1)-,.(2)1.(3)8-4.
二、方法联想
1.向量的运算
方法1 用向量的代数运算.
方法2 结合向量表示的几何图形.
变式1、已知平面向量,满足||=1,且与-的夹角为120°,则的模的取值范围是
答案:(0,]
(结合向量的几何图形求解)
变式2、△ABC的外接圆的圆心为O,AB=2,AC=3, 则·=________.
答案:
(外心隐含着垂直关系)
2.向量的应用
方法1 基底法,即合理选择一组基底(一般选取模和夹角均已知的两个不共线向量),将所求向量均用这组基底表示,从而转化为这两个基向量的运算.
方法2 坐标法,即合理建立坐标系,求出向量所涉及点的坐标,利用向量的坐标运算解决
变式1、如图,在△ABC中,D是BC的中点,E,F是AD上的两个三等分点,·=4,·=-1,则·的值是 .
答案:
解析:两个思路,一是特殊成等腰三角形,建立直角坐标系,利用坐标研究向量数量积;二是利用一组基底表示所有向量,比如以,为基底. 对于涉及中线向量问题,利用向量加法与减法的平行四边形法则,可以得到一个很实用的结论:
(已知数量积求相关的其他数量积)
变式3、在平面内,定点A,B,C,D满足||=||=||,·=·=·=-2,动点P,M满足||=1,=,则||的最大值是__________
答案:
(采用解析法,即建立直角坐标系,写出坐标,同时得到动点的轨迹是圆,因此可用圆的性质得出最值)
变式4、在等腰梯形中,已知平行于,,动点分别在线段上,且,则的最小值为 .
答案:
(数量积标示为的函数)
变式5、已知圆O的半径为1,PA,PB为该圆的两条切线,A,B为切点,则·的最小值为 .
答案:2-3
(利用向量数量积的定义解决)
三、例题分析
例1 (1)已知向量a=(1,2),b=(2,-3).若向量c满足(c+a)∥b,c⊥(a+b),则c= .
(2)已知向量a=(2,1),a·b=10,︱a+b︱=5,则︱b︱= .
变式:平面向量a与b的夹角为60°,a=(2,0),|b|=1,则|a+2b|= .
(3)若平面向量a,b满足|a+b|=1,a+b平行于y轴,a=(2,-1),则b= .
(4)在菱形ABCD中,若AC=4,则•= .
答案:(1)(- ,- );(2)5;变式:2.(3)(-2,2)或(-2,0);(4)-8.
〖教学建议〗
一、主要问题归类与方法:
1.坐标形式下,向量共线、向量垂直的充要条件.
2.向量已知了坐标求模长,解决模长问题的基本方法将模长平方转化为数量积.
3.第(4)小题的求解,可以是基底法还可以坐标法,基底法的难点选择基底;坐标法的难点是建立合适的直角坐标系.
二、方法选择与优化建议:
1.第(2)小题,方法1:设向量b的坐标,通过解方程组求解;方法2:直接对向量(a+b)的模长平方求出答案.相对而言,方法2比较简单.
2.第(3)小题,常规方法是设出向量b的坐标,通过解方程组求解.本题可以抓住向量a+b的两要素,先求出向量a+b的坐标,再求向量b的坐标,这个解法来得方便,突出了向量的本质.
3.第(4)小题解法1:基底法,选择和与垂直的为基底;解法2:以AC、BD为;两坐标轴建立直角坐标系.
例2 (1)已知正△ABC的边长为1,=7+3,则·= .
(2)设D,E分别是△ABC的边AB,BC上的点,AD=AB,BE=BC,若=λ1+λ2(λ1,λ2∈R),则λ1+λ2的值为__________。
(3)如图,在△ABC中,∠BAC=90°,AB=6,D在斜边BC上,且CD=2DB,则·的值为 .
A
B
D
C
(4)已知a,b是单位向量,a·b=0.若向量c满足|c-a-b|=1,则|c|的取值范围是 .
答案:(1)-2;(2);(3)24;(4)[-1,+1].
〖教学建议〗
一、主要问题归类与方法:
1.三角形中研究边所在向量的数量积时,关注向量夹角的定义.
2.将所要表示的向量放置在三角形中,利用向量加、减法的三角形法则,突出平面向量基本定理.
3.可以关注一下向量数量积的几何意义(投影).
4.(4)求解的方法是画图或者建立直角坐标系用坐标法.
二、方法选择与优化建议:
1.第(3)小题的求解,坐标法优于基底法.从图形的结构上发现便于建系.
2.由于向量a,b是两个相互垂直的单位向量,用坐标法解题通俗易懂.
例3 (1) 向量a,b,c在正方形网格中的位置如图所示.若c=λa+μb(λ,μ∈R),则= .
(2)如图,在△ABC中,AB=AC,BC=2,=,=.若·=-,
E
B
A
C
D
则·= .
答案:(1)4;(2)-.
〖教学建议〗
一、主要问题归类与方法:
1.一个向量用两个基底向量来表示,平面向量基本定理.
2.解决这一类问题的基本方法为:(1)基底法;(2)坐标法.
二、方法选择与优化建议:
1.第(1)小题由于不容易用基底来表示,所以用坐标法优于基底法.
2.第(2)小题不容易选择基底,而且运算过程复杂,建系则比较单一,所以用坐标法优于基底法.
四、反馈练习(专题7:平面向量)
1.已知向量,且,则 ;
答案:(考查向量平行).
2.是两个向量,,且,则与的夹角为 ;
答案:(考查向量垂直及向量夹角).
3.在△ABC中,=a,=b,=c,且|a|=1,|b|=2,|c|=,则a·b+b·c+c·a=________.
答案 -4(考查向量数量积,勾股定理逆定理).
4.在△ABC中,角A、B、C所对的边分别为a、b、c,若·=·=1,那么c=________.
答案 (考查向量数量积,正余弦定理).
5. 设向量向量与的夹角为钝角,则x的取值范围为 .
答案: (考查向量夹角).
6.设向量,,其中,若,则 .
答案:(考查向量数量积,两角和与差的三角函数).
7.如图是半径为3的圆的直径是圆上异于的一点 是线段上靠近的三等分点且则的值为 .
答案:24(考查向量数量积).
8. (2016江苏)如图,在△ABC中,D是BC的中点,E,F是AD上的两个三等分点,, ,则 的值是 .
答案: (考查向量数量积).
9.已知△ABO三顶点的坐标为A(1,0),B(0,2),O(0,0),P(x,y)是坐标平面内一点,且满足·≤0,·≥0,则·的最小值为________.
答案 3(考查向量数量积).
10.【2015上海】在锐角三角形中,,为边上的点,与的面积分别为和.过作于,于,则 .
答案 -(考查向量数量积,角的变换).
11.已知△ABC为等边三角形,AB=2.设点P,Q满足=λ,=(1-λ),λ∈R,若·=-,则λ=________.
答案 (考查向量共线,数量积).
12.已知曲线C:,直线l:x=6.若对于点A(m,0),存在C上的点P和l上的点Q使得,则m的取值范围为 .
答案 (考查向量共线,曲线公共点).
13.【2015福建】已知 ,若 点是 所在平面内一点,且 ,则 的最大值等于 .
答案(考查向量数量积).
14.(2016上海)在平面直角坐标系中,已知A(1,0),B(0,-1),P是曲线上一个动点,则的取值范围是 .
答案(考查向量数量积).
15.(2016四川)在平面内,定点A,B,C,D满足 ==,﹒=﹒=﹒=-2,动点P,M满足 =1,=,则的最大值是 .
答案(考查向量数量积).
16.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且(2a+c)··+c·=0.
(1)求角B的大小;
(2)若b=2,试求·的最小值.
解 (1)因为(2a+c)·+c·=0,
所以(2a+c)accos B+abccos C=0,
即(2a+c)cos B+bcos C=0,
所以(2sin A+sin C)cos B+sin Bcos C=0,
即2sin Acos B+sin(B+C)=0,
因为sin(B+C)=sin A≠0,
所以cos B=-,所以B=.
(2)因为b2=a2+c2-2accos,所以12=a2+c2+ac≥3ac,即ac≤4,所以·=accos=-ac≥-2,当且仅当a=c=2时等号成立,所以·的最小值为-2. (考查向量数量积,三角).
17.已知向量m=,n=.
(1)若m⊥n,求cos 的值;
(2)记f(x)=m·n,在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c且满足(2a-c)cos B=bcos C,求函数f(A)的值域.
解 (1)因为m⊥n,所以m·n=0,
即sincos+cos2=0,则
sin+cos+=0,
即sin=-,
则cos=-,
所以cos=2cos2-1=-.
(2)由题意,得
f(x)=m·n=sin+.
∴f(A)=sin+.
由(2a-c)cos B=bcos C,及正弦定理得
(2sin A-sin C)cos B=sin Bcos C,
∴2sin Acos B-cos Bsin C=sin Bcos C,
∴2sin Acos B=sin(B+C),
∵A+B+C=π,
∴sin(B+C)=sin A,且sin A≠0,
∴cos B=,∴B=,00).
(2)易知直线l的斜率必存在,
故设其直线方程为y=k(x+2),
设E(x1,y1),F(x2,y2),
因为y′=2x,故两切线的斜率分别为2x1、2x2.
由方程组得x2-kx-2k=0,
x1+x2=k,x1x2=-2k.
由l1⊥l2时,4x1x2=-1,∴k=.
∴直线l的方程是y=(x+2). (考查向量数量积,曲线与方程).