2017-2018学年安徽省池州市东至二中高二上学期期末考试数学（文）试题（解析版） 11页

‎2017-2018学年安徽省池州市东至二中高二上学期期末考试数学（文）试题 一、单选题 ‎1．直线3x+3y+7=0的倾斜角为 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】直线3x+3y+7=0的斜率 ‎ 故选D.‎ ‎2．命题p:“”,则为 A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】由全称命题的否定为特称命题，可得命题p:“”,‎ 则为： ‎ 故选D.‎ ‎3．下列命题中是公理的是 A. 在空间中,如果两个角的两条边对应平行,那么这两个角相等或互补 B. 如果一个平面经过另一个平面的一条垂线,那么这两个平面互相垂直 C. 平行于同一条直线的两条直线平行 D. 如果两个平行平面同时与第三个平面相交,那么它们的交线平行 ‎【答案】C ‎【解析】A. 在空间中,如果两个角的两条边对应平行,那么这两个角相等或互补，不是公理；‎ B. 如果一个平面经过另一个平面的一条垂线,那么这两个平面互相垂直，不是公理；‎ C. 平行于同一条直线的两条直线平行，是公理；‎ D. 如果两个平行平面同时与第三个平面相交,那么它们的交线平行，不是公理.‎ 故选C.‎ ‎4．已知的导函数为，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】的导函数为，‎ 所以.‎ 故选D.‎ ‎5．“”是“”的（ ）‎ A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【答案】C ‎【解析】由于函数y=x3在R上单调递增；‎ ‎∴a3>b3⇔a>b.‎ ‎∴“a>b”是“a3>b3”的充要条件.‎ 故选：C.‎ ‎6．已知命题“若，则”，则此命题的逆命题、否命题、逆否命题中，正确命题的个数为（ ）‎ A. 0 B. 1 C. 2 D. 3‎ ‎【答案】B ‎【解析】命题“若x≥3,则”的逆命题为命题“若,则”为假命题；‎ 否命题为“若,则”为假命题；逆否命题为“若,则”为真命题.‎ 故选B.‎ ‎7．已知、是两个不同的平面， 、是两条不同的直线，下列命题中错误的是（ ）‎ A. 若， ， ，则 B. 若， ， ，则 C. 若， ， ，则 D. 若， ， ， ，则 ‎【答案】C ‎【解析】对于选项C,两个平面平行，不能推出两个平面内的任意两条直线平行，因为直线也可以是异面直线，故C错误，选C.‎ ‎8．已知曲线在处的切线垂直于直线，则实数的值为（ ）‎ A. B. C. 10 D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】函数的导数，则在点 处的切线斜率 直线的斜率 ∵直线和切线垂直， .‎ 故选A ‎【点睛】本题主要考查函数的切线斜率的计算，利用导数的几何意义求出切线斜率是解决本题的关键．‎ ‎9．一个几何体的三视图如图所示，其中网格纸中每个小正方形的边长为1，则该几何体的表面积为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】由三视图可知该几何体是由一个半圆柱与长方体拼接而成，半圆柱的底面半径为2，高为3，长方体的长为4，宽为1，高为3，故该几何体的表面积为.‎ 故答案为B.‎ ‎10．已知圆与直线及都相切，圆心在直线上，则圆的方程为（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】圆的圆心在直线上，设圆心为.‎ 圆与直线及都相切，‎ 所以，解得.此时半径为： .‎ 所以圆的方程为.‎ 故选B.‎ ‎11．中国古代第一部数学名著《九章算术》中，将一般多面体分为阳马、鳖臑、堑堵三种基本立体图形，其中将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑．若三棱锥为鳖臑， 平面， ， ， ，则三棱锥外接球的表面积为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】补全为长方体，如图，则,所以，故外接球得表面积为.‎ ‎12．如果圆上总存在两个点到点的距离为2，则实数的取值范围是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】因为到点的距离为2的点的轨迹是圆，所以题目套件等价于圆与圆相交，从而，即，解得实数的取值范围是.‎ 二、填空题 ‎13．函数的极大值为_________‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】，易知，且为极大值点，故极大值为.‎ 即答案为.‎ ‎14．曲线在点处的切线方程是________‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】因为，所以，所以点处的切线方程是，即.‎ 即答案为.‎ ‎15．已知圆有两点关于直线： 对称，则圆的半径是__________．‎ ‎【答案】3‎ ‎【解析】圆的圆心坐标为 ‎∵圆有两点关于直线l:2x−2y−m=0对称 ‎∴将代入直线l:2x−2y−m=0可得4−m−m=0，∴m=2‎ ‎∴圆为 ‎∴圆的半径是3‎ 故答案为：3.‎ ‎16．已知函数，若函数恰有3个不同零点，则实数m的取值范围为__________________‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】当时，函数， 在上单调递增，在上单调递减；当时， ，则当时， ，当时， ，所以函数在上递增，在上递减，故函数极大值为，所以.函数恰有3个不同零点，则，所以．‎ 即答案为.‎ 三、解答题 ‎17．已知命题：直线： 和直线： 平行，命题：函数的值可以取遍所有正实数．‎ ‎（1）若为真命题，求实数的值；‎ ‎（2）若命题， 均为假命题，求实数的取值范围．‎ ‎【答案】（1）或；（2）.‎ ‎【解析】试题分析：I）显然当，直线不平行，由斜率存在的两条直线平行的充要条件可得 ‎，即可得到实数a的值；‎ ‎（II）若为真命题，则恒成立，解得，或.‎ 因为命题均为假命题，所以命题都是假命题，‎ 所以，由此解得实数的取值范围.‎ 试题解析：（I）显然当，直线不平行，‎ 所以， ，‎ 因为为真命题，所以，解得，或 ‎（II）若为真命题，则恒成立，解得，或.‎ 因为命题均为假命题，所以命题都是假命题，‎ 所以，解得，或，‎ 故实数的取值范围是 ‎18．一装有水的直三棱柱容器（厚度忽略不计），上下底面均为边长为5的正三角形，侧棱为10，侧面水平放置，如图所示，点， ， ， ‎ 分别在棱， ， ， 上，水面恰好过点， ， ， ，且．‎ ‎（1）证明： ；‎ ‎（2）若底面水平放置时，求水面的高．‎ ‎【答案】(1)见解析(2) ‎ ‎【解析】试题分析：（1）直三棱柱容器侧面水平放置，所以平面平面，由面面平行性质得．（2）当底面ABC水平放置时，水的形状为四棱柱形，由已知条件求出水的体积，由于是三棱柱形容器，故水的体积可以用三角形的面积直接表示出，不必求三角形的面积．‎ ‎（1）证明：因为直三棱柱容器侧面水平放置，‎ 所以平面平面，‎ 因为平面平面，平面平面，‎ 所以．‎ ‎（2）解；当侧面水平放置时，可知液体部分是直四棱柱，‎ 其高即为直三棱柱容器的高，即侧棱长10.‎ 由（I）可得，又，‎ 所以.‎ 当底面水平放置时，设水面的高为，由于两种状态下水的体积相等，‎ 所以，即，‎ 解得.‎ ‎19．已知函数（为常数）的一个极值点为．‎ ‎（1）求实数的值；‎ ‎（2）求在区间上的最大值．‎ ‎【答案】（1）；（2）8.‎ ‎【解析】试题分析：（I）求导，因为在 处取得极值，所以，即可得到实数a的值;‎ ‎（II）根据利用导数求函数最值的一般步骤即可求得在区间[-2,2]上的最大值 试题解析：（I）因为，所以，‎ 因为在处取得极值，所以，所以 ‎ ‎（II）由（I）可得， ，‎ 令，得，或. ‎ 当，或时， ， 单调递增；‎ 当时， ， 单调递减. ‎ 又，‎ 所以在区间上的最大值为8.‎ ‎20．已知四棱锥中，底面为直角梯形， 平面，侧面是等腰直角三角形， ， ，点是棱的中点．‎ ‎（1）求异面直线与所成角的大小；‎ ‎（2）证明：平面平面．‎ ‎【答案】（1）；（2）见解析.‎ ‎【解析】试题分析：（1）由中位线定理可得，由线面垂直的性质可得，所以， 就是异面直线与所成角，从而得解；‎ ‎（2）由 ， ，得平面，结合即可证得.‎ 试题解析：‎ ‎（1）证明：取AC的中点F，连接BF，MF. ‎ 因为点是棱的中点，所以.‎ 又因为底面为直角梯形， ，‎ 且，所以.‎ 所以四边形BFME是平行四边形，所以.‎ 所以就是异面直线与所成角， ‎ 而是等腰直角三角形， ，所以.‎ ‎（2）因为，所以.因为平面,所以 .‎ 又所以平面. ‎ 所以平面.‎ 而平面，所以平面平面.‎ ‎21．已知函数的导函数为，其中为常数．‎ ‎（1）讨论的单调性；‎ ‎（2）当时，若不等式恒成立，求实数的取值范围．‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）.‎ ‎【解析】试题分析：（1）函数的定义域为，且 ，讨论和时， 的正负即可得单调性；‎ ‎（2）不等式，转化为在上恒成立，令，易得，从而得.‎ 试题解析：‎ ‎（1）函数的定义域为，且 . ‎ 当时，显然，所以在上单调递减. ‎ 当时，令可得，所以当时, ；‎ 当时, .‎ 所以函数在上单调递增，在上单调递减. ‎ ‎（2）当时， ，‎ 所以不等式即为，‎ 分参可得，于是转化为在上恒成立. ‎ 令，则，故，‎ 所以，即实数的取值范围是.‎ 点睛：导数问题经常会遇见恒成立求参的问题：（1）根据参变分离，转化为不含参数的函数的最值问题；（2）若 就可讨论参数不同取值下的函数的单调性和极值以及最值，最终转化为 ，若恒成立；（3）若 恒成立，可转化为（需在同一处取得最值）.‎ ‎22．已知被直线， 分成面积相等的四个部分，且截轴所得线段的长为2．　‎ ‎（1）求的方程；‎ ‎（2）若存在过点的直线与相交于， 两点，且点恰好是线段的中点，求实数的取值范围．‎ ‎【答案】(1) (2) ‎ ‎【解析】试题分析：（1）被直线， 分成面积相等的四个部分说明圆心在直线的交点，再根据截得x轴线段长求出半径即可；（2）根据平面几何知识知，“点是线段的中点”等价于“圆上存在一点使得的长等于的直径”，转化为，即，从而求解.‎ 试题解析：‎ ‎（1）设的方程为，‎ 因为被直线分成面积相等的四部分，‎ 所以圆心一定是两直线的交点，‎ 易得交点为，所以. ‎ 又截x轴所得线段的长为2，所以.‎ 所以的方程为. ‎ ‎（2）法一：如图， 的圆心，半径，‎ 过点N作的直径，连结.‎ 当与不重合时， ，‎ 又点是线段的中点；‎ 当与重合时，上述结论仍成立.‎ 因此，“点是线段的中点”等价于“圆上存在一点使得的长等于的直径”. ‎ 由图可知，即，即. ‎ 显然，所以只需，即，解得.‎ 所以实数的取值范围是. ‎ 法二：如图， 的圆心，半径，连结，‎ 过作交于点，并设.‎ 由题意得，‎ 所以， ‎ 又因为，所以，‎ 将代入整理可得， ‎ 因为，所以，，解得. ‎