数学（理）卷·2018届天津市耀华中学高三上学期第三次月考（2017 12页

天津市耀华中学2018届高三年级第三次月考 数学（理科）试卷 第Ⅰ卷（共40分）‎ 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题的4个选项中，只有一项是符合题目要求的，将答案涂在答题卡上.‎ ‎1.已知是虚数单位，复数，则在复平面上复数对应的点位于（ ）‎ A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 ‎2.设变量，满足约束条件则目标函数的最大值为（ ）‎ A.3 B. C.1 D.‎ ‎3.给出如图所示的程序框图，那么输出的数是（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎4.某几何体的三视图（单位：）如图所示，则该几何体的体积是（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎5.将函数的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再将所得图象向左平移个单位，则所得函数图象对应的解析式为（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎6.已知点是双曲线的左焦点，过且平行于双曲线渐近线的直线与圆交于点，且点在抛物线上，则该双曲线的离心率的平方为（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎7.若实数，满足，，则“”是“”的（ ）‎ A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 ‎ C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 ‎8.已知函数，，若关于的方程有6个不相等的实数解，则实数的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D.‎ 第Ⅱ卷（共110分）‎ 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分，将答案填写在答题纸上.‎ ‎9.一个社会调查机构就某地居民的月收入调查了10000人，并根据所得数据画了样本的频率分布直方图（如下图）.为了分析居民的收入与年龄、学历、职业等方面的关系，要从这10000人中再用分层抽样方法抽出100人作进一步调查，则在（元）月收入段应抽出_________人.‎ ‎10.已知直线的参数方程为：（为参数），圆的极坐标方程为（极轴与轴的非负半轴重合，且单位长度相同），则圆的圆心到直线的距离为_________.‎ ‎11.二项式的展开式中的常数项为_________.‎ ‎12.已知，，分别为的三个内角，，的对边，若，，的面积为42，则的值为_________.‎ ‎13.在等腰梯形中，已知，，，，动点和分别在线段和上，且，且，则=_________.‎ ‎14.已知三次函数在上单调递增，则的最小值为_________.‎ 三、解答题：本大题共6小题，共80分，将解题过程及答案填写在答题纸上.‎ ‎15.已知函数，.求：‎ ‎（1）求函数在最小正周期和单调递增区间；‎ ‎（2）求函数在区间上的最大值和最小值.‎ ‎16.某校举行环保知识大奖赛，比赛分初赛和决赛两部分，初赛采用选手选一题答一题的方式进行，每位选手最多有5次选题答题的机会，选手累积答对3题或打错3题即终止其初赛的比赛：答对3题者直接进入初赛，打错3题者则被淘汰.已知选手甲答对每个问题的概率相同，并且相互之间没有影响，答题连续两次答错的概率为.‎ ‎（1）求选手甲可进入决赛的概率.‎ ‎（2）设选手甲在初赛中答题的个数为，试求的分布列，并求的数学期望.‎ ‎17.如图，四边形是正方形，平面，，，，，分别为，，的中点.‎ ‎（1）求证：平面；‎ ‎（2）求平面与平面所成锐二面角的大小；‎ ‎（3）在线段上是否存在一点，使直线与直线所成的角为？若存在，求出线段的长；若不存在，请说明理由.‎ ‎18.已知单调递增的等比数列满足，且是与的等差中项.‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）若，.求及使成立的最小正整数的值.‎ ‎19.已知椭圆的一个焦点在直线上，且离心率.‎ ‎（1）求该椭圆的方程；‎ ‎（2）若与是该椭圆上不同的两点，且线段的中点在直线上，试证：轴上存在定点，对于所有满足条件的与，恒有；‎ ‎（3）在（2）的条件下，能否为等腰直角三角形？并证明你的结论.‎ ‎20.设函数，其图象在点处切线的斜率为-3.‎ ‎（1）求与关系式；‎ ‎（2）求函数的单调区间（用只含有的式子表示）；‎ ‎（3）当时，令，设是函数的两个零点，是与的等差中项，求证：（为函数的导函数）.‎ 天津市耀华中学2018届高三年级第三次月考 数学（理科）参考答案 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.‎ ‎1-5：DABBD 6-8：DCA 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.‎ ‎9.25； 10.； 11.-160； 12.； 13.； 14.22.‎ 三、解答题：本大题共6小题，共80分.‎ ‎15.解：（1）：，‎ ‎，‎ ‎∴函数最小正周期，‎ 由得，，‎ ‎∴函数的单调递增区间为.‎ ‎（2）∵函数在区间上是增函数，在区间上是减函数，‎ 且，，，‎ ‎∴函数在区间上的最大值为4，最小值为1.‎ ‎16.解：（1）设选手甲任答一题，正确的概率为，依题意，，‎ 选手甲可进入决赛的概率.‎ ‎（2）随机变量所有可能取值为，，，‎ 依题意，‎ ‎，‎ ‎，‎ 故随机变量的分布列为：‎ ‎.‎ ‎17.解：（1）∵平面，，∴平面，‎ ‎∴，，又四边形是正方形，‎ ‎∴，故，，两两垂直，‎ 如图，建立空间直角坐标系，∵，‎ ‎∴，，，‎ ‎，，，‎ ‎∵，，分别为，，的中点，‎ ‎∴，，，‎ ‎，平面的一个法向量为，‎ 又∵，‎ ‎∴，又∵平面，∴平面.‎ ‎（2），，‎ 设为平面的一个法向量，‎ 则，即，取，得，‎ ‎，，‎ 设为平面的一个法向量，则，‎ 即，取得，‎ ‎∴，‎ ‎∴平面与平面所成锐二面角的大小为.‎ ‎（3）假设在线段上存在一点，使直线与直线所成角为，‎ 设，其中，由，则，‎ 又∵，，∴，‎ ‎∵直线与直线所成角为，，‎ ‎∴，即，解得，‎ ‎∴，，‎ ‎∴在线段上存在一点，使直线与直线所成角为，此时.‎ ‎18.解：（1）设此等比数列首项为，公比为，其中，，‎ 由题意知：，，‎ 得，‎ 即，，‎ ‎∵等比数列单调递增，‎ ‎∴，.‎ ‎（2）①，‎ ‎∴，‎ 设，‎ 则，‎ 得，‎ ‎∴，‎ ‎②要使成立，‎ 即，即，‎ ‎∵，，且是单调递增函数，‎ ‎∴满足条件的的最小值为5.‎ ‎19.解：（1）∵椭圆的一个焦点在直线上，∴，‎ 又，∴，‎ ‎∴该椭圆的方程为.‎ ‎（2）当直线的斜率存在时，设直线的方程为，‎ ‎，‎ ‎，‎ 设，则，，‎ ‎∵弦的中点在直线上，∴，‎ ‎∴，∴，‎ 将代入得，‎ 假设在轴上存在定点，，‎ ‎∴，‎ ‎∴，即，‎ 当直线的斜率不存在时，直线垂直于轴，此时显然成立，综上，轴上存在定点.‎ ‎（3）假设能为等腰直角三角形，则，‎ ‎∴，‎ ‎，‎ ‎，‎ 又，‎ ‎∴，‎ ‎，符合（），‎ ‎∴在（2）的条件下，能为等腰直角三角形.‎ ‎20.解：（1）函数的定义域为，‎ ‎，由得，.‎ ‎（2）由（1）知，，‎ ‎①当时，在上单调递减；‎ ‎②当时，令，得，‎ 在上单调递减，在上单调递增；‎ ‎③当时，若时，在上单调递减；‎ 若时，在上单调递增，在上单调递减；‎ 综上，当时，的单调减区间为，单调增区间为，‎ 当时，的单调减区间为，‎ 当时，的单调增区间为，单调减区间为.‎ ‎（3）当时，，则，，‎ ‎∵与是函数的两个零点，∴，‎ 两式相减得，，‎ ‎∵，∴，‎ ‎∵，∴，‎ ‎∴，‎ 令，∵，∴，，‎ ‎，‎ ‎∴在单调递减，∴，，∴.‎