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  • 2021-06-11 发布

2014高一数学(人教A版)必修2能力强化提升:第四章综合检测

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第四章综合检测 时间120分钟,满分150分。‎ 一、选择题(本大题共12个小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)‎ ‎1.点B是点A(1,2,3)在坐标平面yOz内的射影,则|OB|等于(  )‎ A.          B. C.2 D. ‎[解析] B点坐标为(0,2,3),‎ ‎∴|OB|==.∴应选B.‎ ‎2.若方程x2+y2-x+y+m=0表示圆,则实数m的取值范围为(  )‎ A.m< B.m<0‎ C.m> D.m≤ ‎[答案] A ‎[解析] (-1)2+12-‎4m>0,∴m<,故选A.‎ ‎3.圆x2+y2+2x-4y=0的圆心坐标和半径分别是(  )‎ A.(1,-2),5 B.(1,-2), C.(-1,2),5 D.(-1,2), ‎[答案] D ‎[解析] 圆的方程化为标准方程为(x+1)2+(y-2)2=5,则圆心是(-1,2),半径为.‎ ‎4.直线l:y=k(x+)与圆C:x2+y2=1的位置关系是(  )‎ A.相交或相切 B.相交或相离 C.相切 D.相交 ‎[答案] D ‎[解析] 方法一:圆C的圆心(0,0)到直线y=k(x+)的距离d=,‎ ‎∵d2=<<1,‎ ‎∴所判断的位置关系为相交.‎ 方法二:直线l:y=k(x+)过定点(-,0),而点(-,0)在圆C:x2+y2=1内部,故直线l与圆C相交.‎ ‎5.圆x2+y2+ax=0的圆心到y轴的距离为1,则a=(  )‎ A.-1 B.±1‎ C.-2 D.±2‎ ‎[答案] D ‎[解析] ∵圆心坐标为(-,0),‎ ‎∴|-|=1,∴a=±2.‎ ‎6.圆C1:x2+y2=r2与圆C2:(x-3)2+(y+1)2=r2(r>0)外切,则r的值为(  )‎ A. B. C.5 D.10‎ ‎[答案] A ‎[解析] 圆C1与圆C2的圆心坐标分别为(0,0),(3,-1),则圆心距d=,故2r=,r=.‎ ‎7.圆x2+y2-4x=0在点P(1,)处的切线方程为(  )‎ A.x+y-2=0 B.x+y-4=0‎ C.x-y+4=0 D.x-y+2=0‎ ‎[答案] D ‎[解析] ∵点(1,)在圆x2+y2-4x=0上,‎ ‎∴点P为切点,从而圆心与P的连线应与切线垂直.‎ 设切线的斜率为k,‎ 又∵圆心为(2,0),∴·k=-1,解得k=,‎ ‎∴切线方程为x-y+2=0.‎ ‎8.(2012-2013·江苏苏州模拟)若直线x-y=2被圆(x-a)2+y2=4所截得的弦长为2,则实数a的值为(  )‎ A.-1或 B.1或3‎ C.-2或6 D.0或4‎ ‎[答案] D ‎[解析] 由半径、半弦长、圆心到直线的距离d所形成的直角三角形,可得d=,故=,解得a=4,或a=0.‎ ‎9.(2012~2013·北京东城区高三期末检测)直线l过点(-4,0),且与圆(x+1)2+(y-2)2=25交于A,B两点,如果|AB|=8,那么直线l的方程为(  )‎ A.5x+12y+20=0‎ B.5x-12y+20=0或x+4=0‎ C.5x-12y+20=0‎ D.5x+12y+20=0或x+4=0‎ ‎[答案] D ‎[解析] 由题意,得圆心C(-1,2),半径r=5,当直线l的斜率不存在时,直线l的方程为x+4=0,解方程组得或即此时与圆C的交点坐标是(-4,-2)和(-4,6),则|AB|=8,即x+4=0符合题意;当直线l的斜率存在时,设直线l的方程为y=k(x+4),即kx-y+4k=0,圆心C到直线l的距离d==,又|AB|=2,‎ 所以2=8,解得k=-,‎ 则直线l的方程为-x-y+4×(-)=0,‎ 即5x+12y+20=0.‎ ‎10.(2012·广东卷)在平面直角坐标系xOy中,直线3x+4y-5=0与圆x2+y2=4相交于A,B两点,则弦AB的长等于(  )‎ A.3 B.2 C. D.1‎ ‎[答案] B ‎[解析] 圆x2+y2=4的圆心O(0,0)到直线3x+4y-5=0的距离d==1,弦AB的长|AB|=2=2.‎ ‎11.(2012-2013·山东威海模拟)若直线y=kx+1与圆x2+y2=1相交于P,Q两点,且∠POQ=120°(其中O为原点),则k的值为(  )‎ A.-或 B. C.-或 D. ‎[答案] A ‎[解析] 方法一:∵|PQ|=2×1×sin60°=,圆心到直线的距离d==,‎ ‎∴=,解得k=±.‎ 方法二:利用数形结合.如图所示,∵直线y=kx+1过定点(0,1),而点(0,1)在圆x2+y2=1上,故不妨设P(0,1),在等腰三角形POQ中,∠POQ=120°,∴∠QPO=30°,故∠PAO=60°,∴k=,即直线PA的斜率为.同理可求得直线PB的斜率为-.‎ ‎12.若直线y=kx-1与曲线y=-有公共点,则k的取值范围是(  )‎ A.(0,] B.[,]‎ C.[0,] D.[0,1]‎ ‎[答案] D ‎[解析] 曲线y=-表示的图形是一个半圆,直线y=kx-1过定点(0,-1),在同一坐标系中画出直线和半圆的草图,由图可知,k的取值范围是[0,1],故选D.‎ 二、填空题(本大题共4个小题,每小题5分,共20分,把正确答案填在题中横线上)‎ ‎13.已知点A(1,2,3),B(2,-1,4),点P在y轴上,且|PA|=|PB|,则点P的坐标是________.‎ ‎[答案] - ‎[解析] 设点P(0,b,0),则 =‎ ,解得b=-.‎ ‎14.(2012-2013·江苏扬州安宜高中期中)若圆x2+y2=4与圆x2+y2+2ay-6=0(a>0)的公共弦的长为2,则a=________.‎ ‎[答案] 1‎ ‎[解析] 由(x2+y2+2ay-6)-(x2+y2-4)=0得两圆公共弦方程为ay-1=0,又因公共弦长为2,所以圆心(0,0)到该公共弦的距离为1,即=1.又a>0,所以a=1.‎ ‎15.已知圆C:(x-1)2+(y+2)2=4,点P(0,5),则过P作圆C的切线有且只有________条.‎ ‎[答案] 2‎ ‎[解析] 由C(1,-2),r=2,‎ 则|PC|==5>r=2,‎ ‎∴点P在圆C外,∴过P作圆C的切线有两条.‎ ‎16.与直线x+y-2=0和曲线x2+y2-12x-12y+54=0都相切的半径最小的圆的标准方程是________.‎ ‎[答案] (x-2)2+(y-2)2=2‎ ‎[解析] ∵⊙A:(x-6)2+(y-6)2=18的圆心A(6,6),半径r1=3,∵A到l的距离5,‎ ‎∴所求圆B的直径2r2=2,即r2=.‎ 设B(m,n),则由BA⊥l得=1,‎ 又∵B到l距离为,∴=,‎ 解出m=2,n=2.‎ 故其方程为(x-2)2+(y-2)2=2.‎ 三、解答题(本大题共6个大题,共70分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)‎ ‎17.(本小题满分10分)求经过两点A(-1,4),B(3,2)且圆心C在y轴上的圆的方程.‎ ‎[解析] ∵AB的中点是(1,3),kAB==-,‎ ‎∴AB的垂直平分线方程为y-3=2(x-1),‎ 即2x-y+1=0.‎ 令x=0,得y=1,‎ 即圆心C(0,1).‎ ‎∴所求圆的半径为|AC|==.‎ ‎∴所求圆的方程为x2+(y-1)2=10.‎ ‎18.(本小题满分12分)(2012~2013·宁波高一检测)如图,正方体ABCD-A1B‎1C1D1的棱长为a,M为BD1的中点,N在A‎1C1上,且|A1N|=3|NC1|,试求MN的长.‎ ‎[解析] 以D为原点建立如图所示坐标系,‎ 则B(a,a,0),A1(a,0,a),C1(0,a,a),D1(0,0,a).‎ 由于M为BD1的中点,所以M(,,),取A‎1C1中点O1,则O1(,,a),‎ 因为|A1N|=3|NC1|,所以N为O‎1C1的中点,‎ 故N(,a,a).‎ 由两点间的距离公式可得:‎ ‎|MN|= ‎=a.‎ 规律总结:空间中的距离可以通过建立空间直角坐标系通过距离公式求解.‎ ‎19.(本小题满分12分)已知直线x-my+3=0和圆x2+y2-6x+5=0.‎ ‎(1)当直线与圆相切时,求实数m的值;‎ ‎(2)当直线与圆相交,且所得弦长为时,求实数m的值.‎ ‎[解析] (1)∵圆x2+y2-6x+5=0可化为(x-3)2+y2=4,∴圆心为(3,0).‎ ‎∵直线x-my+3=0与圆相切,‎ ‎∴=2,解得m=±2.‎ ‎(2)圆心(3,0)到直线x-my+3=0的距离d=.‎ 由=2得,‎ ‎2+‎2m2‎=‎20m2‎-160,‎ 解得m2=9,故m=±3.‎ ‎20.(本小题满分12分)已知点M(x0,y0)在圆x2+y2=4上运动,N(4,0),点P(x,y)为线段MN的中点.‎ ‎(1)求点P(x,y)的轨迹方程;‎ ‎(2)求点P(x,y)到直线3x+4y-86=0的距离的最大值和最小值.‎ ‎[解析] (1)∵点P(x,y)是MN的中点,‎ ‎∴故 将用x,y表示的x0,y0代入到x+y=4中得(x-2)2+y2=1.此式即为所求轨迹方程.‎ ‎(2)由(1)知点P的轨迹是以Q(2,0)为圆心,以1为半径的圆.‎ 点Q到直线3x+4y-86=0的距离d==16.‎ 故点P到直线3x+4y-86=0的距离的最大值为16+1=17,最小值为16-1=15.‎ ‎21.(本小题满分12分)如图所示,l1,l2是通过某城市开发区中心O的两条南北和东西走向的街道,连接M,N两地之间的铁路线是圆心在l2上的一段圆弧,点M在点O正北方向,且|MO|=‎3 km,点N到l1,l2的距离分别为‎4 km和‎5 km.‎ ‎(1)建立适当的坐标系,求铁路线所在圆弧的方程;‎ ‎(2)若该城市的某中学拟在点O正东方向选址建分校,考虑到环境问题,要求校址到点O的距离大于‎4 km,并且铁路线上任意一点到校址的距离不能小于 km.求校址距离点O的最近距离.(注:校址视为一个点.)‎ ‎[解析] (1)以城市开发中心O为原点,分别以l2、l1为x轴、y轴,建立平面直角坐标系.‎ 根据题意,得M(0,3),N(4,5),‎ 故kMN==,MN的中点为(2,4),‎ ‎∴线段MN的垂直平分线方程为y-4=-2(x-2).‎ 令y=0,得x=4,故圆心A的坐标为(4,0),半径r==5.‎ ‎∴圆A的方程为(x-4)2+y2=25,‎ ‎∴的方程为(x-4)2+y2=25(0≤x≤4,3≤y≤5).‎ ‎(2)设校址选在点B(a,0)(a>4),‎ 则≥时0≤x≤4恒成立,‎ 又y2=25-(x-4)2,‎ 所以(8-‎2a)x+a2-17≥0①对0≤x≤4恒成立.‎ 令f(x)=(8-‎2a)x+a2-17,‎ ‎∵a>4,∴8-‎2a<0.‎ ‎∴f(x)在[0,4]上为减函数,‎ 要使①恒成立,当且仅当 时,即 ‎∴a≥5,‎ 即校址距离点O的最近距离为‎5 km.‎ ‎22.(本小题满分12分)已知圆P:(x-a)2+(y-b)2=r2(r≠0),满足:①截y轴所得弦长为2;②被x轴分成两段圆弧,其弧长的比为3:1.‎ 求在满足条件①②的所有圆中,使代数式a2-b2-2b ‎+4取得最小值时,圆的方程.‎ ‎[分析] 根据条件可以判断出圆P被x轴截得的劣弧的圆心角为90°,建立起r,a,b之间的方程组,然后解出相应的a,b,r间的关系,最后借助于一元二次函数解决.‎ ‎[解析] 如下图所示,圆心坐标为P(a,b),半径为r,则点P到x轴,y轴的距离分别为|b|,|a|.‎ ‎∵圆P被x轴分成两段圆弧,其弧长的比为3:1,‎ ‎∴∠APB=90°.‎ 取AB的中点D,连接PD,‎ 则有|PB|=|PD|,∴r=|b|.‎ 取圆P截y轴的弦的中点C,连接PC,PE.‎ ‎∵圆截y轴所得弦长为2,‎ ‎∴|EC|=1,∴1+a2=r2,‎ 即2b2-a2=1.‎ 则a2-b2-2b+4=b2-2b+3=(b-1)2+2.‎ ‎∴当b=1时,a2-b2-2b+4取得最小值2,‎ 此时a=1,或a=-1,r2=2.‎ 对应的圆为:(x-1)2+(y-1)2=2,‎ 或(x+1)2+(y-1)2=2.‎ ‎∴使代数式a2-b2-2b+4取得最小值时,对应的圆为 ‎(x-1)2+(y-1)2=2,或(x+1)2+(y-1)2=2.‎ 规律总结:(1)当直线与圆相离时,圆上的点到直线的最大距离为d+r,最小距离为d-r,其中d为圆心到直线的距离.‎ ‎(2)当直线与圆相交时,设弦长为l,弦心距为d,半径为r,则有()2+d2=r2.‎

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