高中同步数学教案第5章 三角比 85页

第五章：任意角的三角比 ‎5、1 任意角及其度量 一、角的概念与推广 ‎　　1、任意角 角可以看作是平面内一条射线绕着它的端点旋转而形成的。‎ 射线的端点叫做角的顶点，射线旋转的初始位置叫做角的始边，旋转的终止位置叫做角的终边。‎ O 正角 负角 ‎　规定：‎ ‎（1）逆时针方向旋转所形成的角叫正角；‎ ‎（2）顺时针方向旋转所形成的角叫负角；‎ ‎（3）没有经过旋转形成的角称为零角。‎ 这样，角的概念就推广到了任意大小的角。‎ ‎2、象限角 在平面直角坐标系中，把角的顶点放在坐标原点，角的始边与轴的正半轴重合，此时角的终边在第几象限，就称此角为第几象限的角，或说此角属于第几象限。特别地，当角的终边在坐标轴上时，就说这个角是坐标轴上的角，它不属于任何象限。‎ ‎3、终边相同的角 与某一个角始边相同，终边重合的角有无数多个，它们的大小与之间相差的整数倍。‎ 与角终边相同的角（包括本身）的集合表示为：‎ ‎。‎ 例1：判断下列各角分别属于第几象限？‎ ‎（1）； （2）。‎ 解：（1）第二象限；（2）第三象限。‎ 例2：分别写出与下列各角终边相同角的集合，并把中在与之间的角写出来。‎ ‎（1）；　　　（2）。　‎ 解：（1）与终边相同的角的集合为，取，得在与之间的角为。‎ ‎（2）与终边相同的角的集合为，取，得在与之间的角为。‎ 例3：分别写出下列各角的集合 ‎（1）终边在轴正半轴上的角；‎ ‎（2）终边在轴上的角；‎ ‎（3）终边在坐标轴上的角；‎ ‎（4）终边在第一、三象限角平分线上的角；‎ ‎（5）终边落在右半平面（不含轴）内的角。‎ 解：（1）；‎ ‎（2）；‎ ‎（3）；‎ ‎（4）；‎ ‎（5）。‎ ‎　 ‎ 例4：已知，且角的7倍角的终边与角的终边重合，求角。‎ ‎ ‎ ‎ 解：由题意：，则。‎ ‎ 又，所以。‎ ‎ 即：，则所求角为：，。‎ 例5：已知角是第三象限的角，试讨论是第几象限的角。‎ 解：因为是第三象限的角，‎ 所以，‎ 那么。‎ ‎（1）当为偶数时，设，‎ 则，‎ 此时，是第二象限的角；‎ ‎（2）当为奇数时，，则 ‎，‎ 即，‎ 此时是第四象限的角。‎ 综上知：当是第三象限的角，是第二或第四象限的角。‎ ‎①‎ ‎②‎ ‎③‎ ‎④‎ ‎①‎ ‎②‎ ‎③‎ ‎④‎ 说明：对于判断等分角所在象限问题，‎ 也可以利用等分象限的方法来解决。‎ 如图所示，标有①、②、③、④的区域分别表示为第一、二、三、四象限角时，所在的区域。‎ 例6：分别写出，满足的关系：‎ ‎（1），的终边关于轴对称；‎ ‎（2），的终边关于轴对称；‎ ‎（3），的终边互为反向延长线；‎ ‎（4），的终边互相垂直。‎ 解： （1）；‎ ‎（2）；‎ ‎（3）；‎ ‎（4）。‎ 二、弧度制 角的度量，除了采用角度制，还经常采用弧度制。‎ ‎1、弧度制定义：‎ 长度等于半径的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角。弧度用符号表示，1弧度记作。用“弧度”作为单位来度量角的单位制叫做弧度制。‎ 一般地：如果一个半径为的圆的圆心角所对的弧长为，那么比值就是角的弧度数的绝对值，即 ‎2、角度制与弧度制的互换：‎ ‎ 1弧度=，弧度。‎ 常用角度制与弧度制对照表：‎ 角度制 弧度制 ‎3、弧长公式与扇形面积公式：‎ ‎ 如图：扇形的圆心角为，半径为，弧长为，‎ 扇形的面积为。‎ ‎　（1）弧长公式：；‎ ‎　（2）扇形面积公式：。‎ 例1：（1）化为弧度；‎ ‎ （2）化弧度为度。‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 解：(1) ；　 ‎ ‎　(2) 。‎ ‎ ‎ ‎　例2：已知一扇形周长为6，面积为2，求扇形的中心角；‎ 解：设中心角为，半径为 ‎ ‎；‎ ‎　‎ ‎ 例3：已知一个扇形的周长为40，求它面积的最大值，并求面积最大时，扇形的半径长和圆心角的弧度数。‎ 解：设圆心角弧度，半径，则根据题意有：，‎ 又，‎ 当且仅当即时，等号成立，所以。‎ 此时弧长，则对应的圆角的弧度数为。‎ 练习：‎ ‎1、已知角的终边与的终边相同，则在范围内，与角终边相同的角所形成的集合为＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿；‎ ‎2、如图，主动轮与从动轮的齿数之比为，若主动轮按逆时针方向旋转5周。求：‎ ‎（1）主动轮上OA（O是圆心）绕O点形成的角；‎ ‎（2）从动轮上（是圆心）绕点形成的角。‎ ‎3、集合，，试判断集合M、N之间的关系，并说明理由。‎ ‎4、已知集合，集合。求。‎ ‎5、已知一个扇形的周长为定值，求其面积的最大值，并求取得最大值时圆心角的大小。‎ ‎6、如图，一扇环ABCD的两条弧长分别为和，两条直边的长都为，求此扇环的面积。‎ A B C D O 作业：《导学先锋》‎ ‎5、2 任意角的三角比 ‎1、锐角三角比回顾 若将锐角的顶点放在坐标原点，始边与轴的正半轴重合，则它的终边在第一象限。在其终边上任取一点，它与原点之间的距离为，过作轴的垂线，垂足为M，可得：‎ ‎， ，‎ ‎， 。‎ ‎2、任意角的三角比 在任意角的终边上任取一点，它与原点之间的距离为。则：‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎3、三角比的定义域 ‎ 、————‎ ‎ 、————‎ ‎ 、————‎ ‎ ‎ ‎ 4、三角比在各个象限内的正负号 ‎ +++‎ 例1：已知角的终边经过点，求的六个三角比。‎ 解：，则。由三角比的定义：‎ ‎；‎ ‎　　；‎ ‎； ；‎ ‎； 。‎ 例2：已知为角的终边上一点，且 ， 求、。‎ 解：，。‎ ‎（1）当时，，；‎ ‎（2）当时，，。‎ 例3：已知，且是第四象限的角，求的其它三角比的值。‎ 解：设是角终边上的任意一点，由是第四象限的角，‎ 则，‎ 又，所以，取，则。‎ 所以 ；　，　；‎ ‎；　　。‎ ‎ ‎ ‎ 例4：不求值，判断下列各三角比的符号：‎ ‎（1）；　　　 （2）；‎ ‎（3）；　　 （3）。‎ 解：（1）负；‎ ‎ （2）负；‎ ‎ （3）正；‎ ‎ （4）负。‎ ‎ ‎ ‎ 例5：根据下列条件，判断角是第几象限的角：‎ ‎ （1）且；　　　（2）；‎ ‎ （3）且；　　　（4）。‎ 解：（1）由，则是第三象限角或第四象限角或其终边在轴的负半轴上，由，则是第一象限角或是第三象限角，所以是第三象限角。‎ ‎（2）由题知，此时是第二象限角，或，此时是第二象限角，所以是第二象限角或第四象限的角。‎ ‎（3）由且，可得是第二象限角。‎ ‎（4）由题知或，所以是第一象限角或第象限角。‎ ‎ ‎ 例6：已知，‎ 求的定义域与值域。‎ 解：由题，函数的定义域为。‎ 当是第一象限角时，都为正值，所以；‎ 当是第二象限角时，都为负值，所以；‎ 当是第三象限角时，为正，为负，所以；‎ 当是第四象限角时，，为负，所以。‎ ‎ 综上知的值域为。‎ ‎ ‎ ‎ 例7＊：已知。‎ ‎（1）判断角所在的象限；‎ ‎（2）试判断的符号。‎ 解：（1）由知与异号，所以是第二象限角或是第四象限的角。‎ ‎（2）当是第二象限角时，，则是第一象限的角，则，是第四象限的角，则，则； ‎ 当是第四象限角时，，则是第一象限的角，则，则是第四象限的角，则，则。综上知：当是第二象限角时，；‎ ‎　　当是第四象限角时，。‎ ‎5、三角函数线：‎ 单位圆：在平面直角坐标系中，以原点为圆心，1为半径的圆称为单位圆。‎ 有向线段：在几何中，规定了起点与终点的线段（即有方向的线段）称为有向线段。有向线段的长度连同表示方向的符号称为有向线段的数量。正方向的有向线段的数量是正的，负方向的有向线段的数量是负的。‎ 在平面直角坐标系中，与坐标轴平行且方向与坐标轴正方向相同的有向线段数量为正，相反向时有向线段的数量为负。‎ 三角函数线：‎ 设角的终边与单位圆的交点为，单位圆与轴正半轴的交点为，如图：‎ 的 终边 的 终边 的 终边 的 终边 可得到：‎ ‎。我们把这三条与单位圆有关的线段MP、OM、AT分别叫做角的正弦线、余弦线、正切线。这些有向线段称为三角函数线。‎ 例8：不用计算器，求下列各三角比的值：‎ ‎（1）；　（2）；　（3）。‎ 解：（1）； （2）； （3）。‎ ‎ 例9：利用三角函数线求满足下列各式的角的取值范围（用集合表示）。‎ ‎ （1）；　　　　　（2）；‎ ‎ （3）。‎ ‎ 例10：已知，利用三角函数线证明：。‎ 证明：如图，设角终边与单位圆交于点P，过P作 的 终边 PM与轴垂直，垂足为M，则，过A（1,0）的单位圆切线与角终边交于点T，则 ‎，弧AP的长。连AP，则三角形OAP的面积，扇形面积，三角形OAT的面积。由，得，即。‎ 作业研究：‎ ‎1、不求值判断下列各式值的符号：‎ ‎（1）；　　（2）；　　（3）；‎ ‎2、已知，则角的取值范围是＿＿＿＿＿＿＿＿（集合表示）；‎ ‎3、已知都是第一象限的角，且，则下列三个关系式：（1）；（2）；（3）中一定成立的关系式个数为＿＿＿＿＿个；‎ ‎4、已知是三角形ABC的三个内角，若，则此三角的形状一定是（　　）‎ A、锐角三角形；　　B、直角三角形；　　C、钝角三角形；　　　D、不能确定。‎ ‎5、若是第四象限角，则点在（　　）‎ A、第一象限；　　　B、第二象限；　　　　C、第三象限；　　　D、第四象限。‎ ‎6、若，则角的取值范围为（　　）‎ A、为第一象限角；　　　　　　　　　　　　　B、为第四象限角；　‎ C、为第一象限角或第象限角；　　　　　　　　D、。‎ ‎7、能够使同时成立的的聂值集合为（　　）‎ A、；　　　B、；‎ C、；　　　D、。‎ ‎8、若角的终边在函数的图像上，求与的值。‎ ‎9、用三角比的定义证明：。‎ ‎10、若角是第三象限的角，且。‎ ‎（1）求角的取值范围（用集合表示），并说明是第几象限的角；‎ ‎（2）判断的符号。‎ ‎11、是否存在角，使其满足且？若存在，求出的取值范围，不存在说明理由。‎ ‎12、如图：M是角终边上一点，且，N是角终边上一点，且，点是线段MN的中点。角的终边为射线，试用的三角比表示。‎ ‎（提示：线段AB的端点为，‎ 则其中点的坐标为）。‎ 的 终边 的 终边 的终边 作业：《导学先锋》‎ 作业：《课课精练》‎ ‎5、3 同角三角比的关系和诱导公式 一、同角三角比的关系式 由任意角三角比的定义：‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 可得同角三角比的关系式 ‎1、倒数关系：‎ ‎； ‎ ‎ ； ‎ ‎。‎ ‎2、商数关系：‎ ‎；‎ ‎。‎ ‎3、平方关系：‎ ‎；‎ ‎。‎ 说明：上面同角三角比的基本关系式是对使等式两边都有意义的角而言的，是恒等式。以后所说的三角恒等式都是指这个意义下的恒等式。‎ 例1：已知，且是第四象限的角，求的其它三角比的值。‎ 解：是第四象限的角，，‎ 所以；‎ ‎，　　　；‎ ‎；　　　　。‎ 例2：已知，求的其它三角比的值。‎ 解：因为，所以是第一象限或第三象限的角。‎ ‎（1）当是第一象限角时，，‎ 可求得：；；‎ ‎；。‎ ‎（2）当是第三象限角时，，‎ 可求得：；；‎ ‎；。‎ 说明：在已知一个角的三角比求其它三角比的值时，若角所在象限没有给出，先要判断角所在象限，再求解。这是因为在开方时要确定符号。‎ 例3：已知，求与的值。‎ 解：当为第一或第二象限时，‎ ‎，，；‎ 当为第三或第四象限时，‎ ‎，，。‎ 例4：已知，求下列各式的值：‎ ‎（1）；　　（2）。‎ 解：（1）由，得：，‎ 即，所以；‎ ‎（2）因为，所以 ‎。‎ 例5：已知，求：‎ ‎（1）； （2）；‎ ‎（3）； （4）。‎ 解：（1）由，平方得：，‎ 即，所以，‎ 得。‎ ‎（2）因为，‎ 又是第二象限的角，所以，则，‎ 所以。‎ ‎（3）‎ ‎＝＝。‎ ‎（4）‎ ‎。‎ 例6：化简下列各式：‎ ‎（1）；　　‎ ‎（2）。‎ 解：（1）‎ ‎=。‎ ‎（2）‎ ‎＝‎ ‎。‎ 说明：“切割化弦”是三角式化简过程中最常用的方法。‎ 例7：化简下列各式：‎ ‎（1）（其中）‎ ‎（2）（其中）；‎ ‎（3）（其中）。‎ 解：（1）原式；‎ ‎（2）；‎ ‎（3）。‎ 例8：证明下列恒等式：‎ ‎（1）；　　‎ ‎（2）。‎ 证明：（1）左边＝‎ ‎＝右边。所以等式成立。‎ ‎（2）左边＝‎ ‎＝＝右边。‎ 所以等式成立。‎ 例9：已知，求证：。‎ 证明：方法一：“化弦”由，‎ 得：，‎ 即，即，‎ 则，‎ ‎ ，所以有。‎ 方法二：由两边同加上1得：，‎ 所以，‎ 即，‎ 所以。‎ 例10：若是方程的两个根。‎ ‎（1）求的值；　　（2）求的值。‎ 解：（1）因为方程两根为，所以，‎ ‎（1）平方得：，所以，即；‎ ‎（2）‎ ‎＝。‎ 例11：已知，求的值。‎ 解：由。‎ ‎（1）当时，条件成立，此时；‎ ‎（2）当时，两式相除得：，‎ 则有：。所以，‎ 平方相加得：，‎ 所以，得。‎ 综上知：或。‎ 例12：设，求的取值范围。‎ 解：‎ 作业：《导学先锋》‎ ‎ 《课课精练》‎ 二、诱导公式：‎ ‎ 的诱导公式的推导：‎ ‎1、终边相同角的三角比关系，第一组诱导公式：‎ ‎；　　　　　；‎ ‎；　　　　　；‎ ‎；　　　　　。　‎ ‎2、角与角的三角比关系，第二组诱导公式：‎ ‎； ；‎ ‎； ‎ ‎； ‎ ‎3、角与角的三角比关系，第三组诱导公式：‎ ‎； ；‎ ‎； ；‎ ‎； 。‎ ‎4、角与角的三角比关系，第四组诱导公式：‎ ‎； ；‎ ‎； ；‎ ‎； 。‎ 上述诱导公式可以叙述为：角的三角比等于的同名三角比，前面加上一个把看作锐角时原三角比的正负号。‎ 例13：将下列各三角比化为或的三角比：‎ ‎（1）；　　（2）；　　‎ ‎（3）。‎ 解：（1）；‎ ‎（2）‎ ‎； ‎ ‎（3）‎ ‎＝。‎ 例14：化简下列各式：‎ ‎（1）；‎ ‎（2）。‎ 解：（1）；‎ ‎（2）当是偶数时，设，则 ‎；‎ 当是奇数时，设，则 所以原式＝。‎ 例15：根据下列条件，求角：‎ ‎（1）；　 　 ‎ ‎（2）；‎ ‎（3）； 　‎ ‎（4）。‎ 解：（1），或；‎ ‎（2），或；‎ ‎（3），或；‎ ‎（4）。‎ 例16：已知 ‎，其中，求的值。‎ 解：由诱导公式化简知：，‎ 将此两式平方相加得：，‎ 即，所以。‎ 又，所以或。‎ 当时，，则，所以；‎ 当时，，则，所以。‎ 综上知： ，或，。‎ ‎ 诱导公式的推导：‎ ‎ ‎ ‎5、角与角的三角比关系，第五组诱导公式：‎ ‎； ‎ ‎； ‎ ‎6、角与角的三角比关系，第六组诱导公式：‎ ‎； ；‎ ‎； ‎ ‎7、角与角的三角比关系，第七组诱导公式：‎ ‎；　　；‎ ‎； ‎ ‎8、角与角的三角比关系，第八组诱导公式：‎ ‎； ；‎ ‎； 。　‎ 上述诱导公式可以叙述为：角的三角比等于的余名三角比，前面加上一个把看作锐角时原三角比的正负号。‎ 前面八组诱导公式可描述为：“奇变偶不变，符号看象限”。‎ ‎　‎ 例17：将下列各三角比化为的三角比：‎ ‎（1）；　　（2）；　　（3）。‎ 解：（1）；‎ ‎（2）；‎ ‎（3）。‎ ‎ ‎ 例18：已知是第三象限的角，且，化简：‎ ‎。‎ 解：‎ 作业研究 ‎1、已知，求与。‎ ‎2、已知是第二象限的角，化简。‎ ‎3、在△ABC中，（1）若，求的值；‎ ‎（2）若，求的值；‎ ‎4、若，求的值。‎ ‎5、已知，化简：。‎ ‎6、已知锐角满足：。求下列各式的值：‎ ‎（1）；　　 　（2）。‎ ‎7、已知，且，求下列各式的值：‎ ‎（1）；　 （2）；　　‎ ‎（3）。‎ ‎8、在△ABC中，若。求此三角形三内角的大小。‎ 作业：《导学先锋》‎ 作业：《课课精练》‎ ‎5、4 两角和与差的余弦、正弦和正切 一、两角和与差的余弦公式：‎ ‎1、两角差的余弦公式：‎ 角终边 角 终边 角终边 设是任意的两个角，下面推导用的三角比表示的三角比。‎ 如图：设角的终边分别与单位圆相交于两点，根据三角比的意义知，点。根据两点间的距离公式，有：‎ 以为始边，为终边的角对应于，为了便于表示的三角比，将OB、OA都绕原点O旋转，此时OB与轴正方向重合，OA旋转到，那么可以得到 ‎。根据两点间距离公式，有：‎ 由三角形的全等，，所以 ‎＝，即：‎ ‎ ‎ 这个公式叫做两角差的余弦公式。‎ ‎2、两角和的余弦公式：‎ 即　　‎ 这个公式叫两角和的余弦公式。‎ 二、两角和与差的正弦：‎ 因此有：。‎ 这个公式叫做两角和的正弦公式。‎ 这个公式叫做两角差的正弦公式。‎ 例1：求下列各式的值：‎ ‎（1）；　　　　　　　　‎ ‎（2）；‎ ‎（3）；‎ ‎（4）‎ 解：（1）方法一：‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 方法二：‎ ‎ ‎ ‎（2）；‎ ‎（3）‎ ‎ ‎ ‎ 。‎ ‎（4）解： ‎ 方法一： 因为，，‎ ‎ ‎ 方法二：‎ ‎　　　　　　‎ 例2：求的值（不用计算器）。‎ 解：‎ 因为，‎ 同样求得：‎ ‎，所以。‎ 即：原式值为。‎ 例3：已知都是锐角，且，求的值。‎ 解：由都是锐角，且知，‎ 又，所以，‎ 则由，得。所以 ‎。‎ 例4：已知，且。‎ 求的值。‎ 解：注意到，‎ 所以。‎ 因为，则。‎ 所以，。‎ 又，‎ 则，。‎ ‎ ‎ ‎。‎ 练1：已知中，，求。‎ 解：‎ 练2：已知，且，，‎ 求。‎ 解：‎ 例5：在△ABC中，‎ ‎（1）若，，求与的值；‎ ‎（2）若，，求与的值；‎ ‎（3）若，，求与的值。‎ 解：由于A、B、C都是三角形的内角，所以，‎ 则，。‎ ‎（1）由，得，‎ 又，所以 ‎；‎ ‎。‎ ‎（2）由，因为，则可能是钝角。‎ ‎①当A是锐角时，则，又，则，此时 ‎；‎ ‎。‎ ‎②若A是钝角，则，此时 ‎；‎ 又所以这种情况不成立。‎ 即：。‎ ‎（3）由，，则要分情况讨论：‎ ‎①当、都为锐角时，由，，‎ 求得，此时：‎ ‎；‎ ‎。‎ ‎②若A是钝角，则，此时 ‎；‎ 又所以这种情况不成立。‎ ‎③若B是锐角，由，，求得，此时：‎ ‎；‎ ‎。‎ 所以或。‎ 例6：（1）已知，求的值；‎ ‎（2）已知，求的值。‎ 解：（1）；（2）。‎ 例7、（1）已知，求证：。‎ ‎（2）已知，求的值。‎ 三、辅助角公式 例8、将下列各式化成的形式：‎ ‎（1）；　　　（2）。‎ 解：（1）因为，‎ 所以；‎ ‎（2）‎ ‎＝。‎ 一般地，辅助角选锐角比较常见，有时也可以化成的形式。‎ 例9、将化成的形式。‎ 解：，‎ 可设，所以 ‎。‎ 其中辅助角由确定，‎ 通常情况下。‎ 说明：此例的结论通常称为辅助角公式，在应用过程中不需要刻意去记忆它。其中辅助角所在的象限与点所在的象限一致。‎ 例10：已知，求实数的取值范围。‎ 解：因为，而，所以有，解得：。‎ 例11：不用计算器，求下列各式的值：‎ ‎（1）；　　　‎ ‎（2）。‎ 解：（1）‎ ‎＝。‎ ‎（2）‎ ‎。‎ 例12、求满足：的最小正角的值。‎ 解：，‎ ‎ 。‎ 所以，即。则 或，‎ 故满足条件的最小正角的值为。‎ 例13、求下列函数的值域：‎ ‎（1）；‎ ‎（2）。‎ 解：（1）；‎ ‎（2）。‎ 例14、已知函数， .‎ ‎（1）若，求函数的值； ‎ ‎（2）求函数的值域. ‎ 解：（1）‎ ‎ ‎ ‎（2） ，‎ ‎， 函数的值域为. ‎ 四、两角和与差的正切 由两角和与差的正弦、余弦公式，得：‎ ‎。‎ 两角和的正切公式：；‎ 两角差的正切公式：。‎ 例15：如图，在等腰直角三角形中 ，，点分别是的三等分点，，，，求的值。‎ 解：。‎ 例16：化简下列各式：‎ ‎（1）；　　　　‎ ‎（2）；‎ ‎（3）。‎ 解：（1）；‎ ‎（2）方法一：因为，‎ 所以；‎ 方法二：‎ ‎。‎ 说明：方法二是灵活应用公式的一个体现。‎ ‎（3）因为，‎ 所以，‎ 则 说明：两角和与差的正切公式的变形用要经常用到。即 例17：（1）在斜三角形中，‎ 求证：。‎ ‎（2）已知是锐角，求证：的充分必要条件是。‎ 证明：（1）证明略。‎ ‎（2）必要性：若，‎ 则 ‎＝。‎ 充分性：由，‎ 则有，‎ 所以，即，‎ 所以，因为都是锐角，‎ 则，所以。‎ 综上，的充分必要条件是。‎ 例18：已知是非直角三角形ABC的三个内角，求证：‎ ‎。‎ 证明：因为，所以，‎ 那么＝。‎ 则＝‎ ‎。‎ 例19：已知，，求的值。‎ 解：。‎ 例20：已知，求的最大值。‎ 解：由题：，由，‎ 所以，，‎ 当时等号成立，所以。‎ 由知，又根据三角函数线知，‎ 在内，正切值随角增大而增大，所以，‎ 即的最大值为。‎ 例21、求下列各式的值域 ‎（1）；‎ ‎（2）；‎ ‎（3）。‎ 解：（1）；‎ ‎（2）；‎ ‎（3）。‎ 练习巩固：‎ ‎1、＿＿＿＿＿＿；‎ ‎2、＿＿＿＿＿；‎ ‎3、若，则＿＿＿；‎ ‎4、已知为锐角，且，则＝＿＿＿＿；‎ ‎5、命题甲：，命题乙：，下列结论中正确的是　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（　　）‎ A、甲是乙的充分不必要条件；　　　　　　B、甲是乙的必要不充分条件；‎ C、甲是乙的充分必要条件；　　　　　　　D、甲是乙的既不充分又不必要条件。‎ ‎6、在三角形ABC中，若，则此三角形是　（　　）‎ A、锐角三角形；　　B、直角三角形；　　C、钝角三角形；　　　D、直角或钝角三角形。‎ ‎7、若A、B、C是三角形ABC的三个内角，下列式子：‎ ‎（1）；（2）；（3）；（4）中一定是常数的式子有　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（　　）A、1个；　　　　　　B、2个；　　　　　　C、3个；　　　　　　D、4个。‎ ‎8、化简的结果为　　　　　　　　　　　　　　　　（　　）‎ A、；　　　B、；　　C、；　　D、。‎ ‎9、的最大值为＿＿＿＿＿＿、最小值为＿＿＿＿＿＿；‎ ‎10、若，则＿＿＿＿、最小正角＝＿＿＿＿、最大负角＝＿＿＿＿＿＿；‎ ‎11、若，，则实数的取值范围为＿＿＿＿＿＿＿＿；‎ ‎12、已知，且，则＝＿＿＿＿。‎ ‎13、将化成的形式，则与的值分别为　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（　　）‎ A、；　B、；　C、；　D、。‎ ‎14、若等式成立，则实数的取值范围为　　　　　　　（　　）‎ A、；　　　　　　　　　　B、；‎ C、；　　　　　　　　　　D、。‎ ‎15、下列各式中，成立的是　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（　　）‎ A、；‎ B、；‎ C、；‎ D、。‎ ‎16、的最大值为　　　　　　　　　　　　　　　　　（　　）‎ A、；　　　　　　B、；　　　　　　C、；　　　　　　D、。‎ ‎17、＿＿＿＿；‎ ‎18、＝＿＿＿＿；‎ ‎19、＝＿＿＿＿；‎ ‎20、已知，则＿＿＿＿＿；‎ ‎21、已知是方程的两根，则＿＿＿＿。‎ ‎22、设命题甲：，命题乙：，则甲是乙的　　　（　　）‎ A、充分不必要条件；　　　　　　　　　　　　B、必要不充分条件；‎ C、充分必要条件；　　　　　　　　　　　　　D、既不充分又不必要条件。‎ ‎23、已知，则的值为　　　　　　　　　　　　　　（　　）‎ A、；　　　　B、；　　　C、；　　　　　D、。‎ ‎24、已知为方程的两根，则满足条件为　　　（　　）‎ A、；　　　　　　　　　　　　　　B、；‎ C、；　　　　　　　　　　　　　　D、不能确定。‎ ‎25、＿＿＿＿。‎ 作业研究：‎ ‎1、已知，且是第二象限的角，求出的所有三角比的值。‎ ‎2、已知是第三象限的角，，求的值。‎ ‎3、已知都是锐角，且，求的值。‎ ‎4、求证下列恒等式：‎ ‎（1）；‎ ‎（2）。‎ 证：（1）‎ ‎。‎ ‎（2）‎ ‎　　　‎ ‎　　　。‎ ‎5、已知，且，求的值。‎ ‎6、已知。且，求的值。‎ ‎7、已知，求的值。‎ ‎8、求的值。‎ ‎9、已知，求函数的值域。‎ ‎10、化简：。‎ ‎11、已知，求的取值范围。‎ ‎12、已知，求的值。‎ ‎13、已知锐角满足：，求证：。‎ ‎14、已知，求。‎ ‎15、已知，求：（1），（2）。‎ ‎16、已知关于的一元二次方程的两根分别为，试求的最小值。‎ ‎17、已知是方程的两根，求证：‎ ‎。‎ ‎5、5 二倍角和半角的正弦、余弦、正切 一、二倍角公式：‎ ‎；　‎ ‎；　‎ ‎。‎ 二、二倍角公式的变形 ‎1、降幂公式：‎ ‎；‎ ‎；‎ ‎。‎ ‎2、升幂公式：‎ ‎；‎ ‎；‎ ‎；‎ ‎。‎ 例1：已知是第二象限的角，且，‎ 求的值。‎ 解：因为是第二象限的角，且，所以，‎ 所以；‎ ‎；‎ ‎＝。‎ 例2：（1）利用表示；‎ ‎（2）利用表示。‎ 解：（1）‎ ‎　　　　　　　‎ ‎（2）‎ 例3：化简下列各式：‎ ‎（1）；　　　　（2）；‎ ‎（3）；　　　　（4）；‎ ‎（5）。‎ ‎（6）‎ 解：（1）；‎ ‎（2）‎ ‎；‎ ‎（3）；‎ ‎（4）。‎ ‎（5）。‎ ‎（6）。‎ 例4：已知，求的值。‎ 解：方法一：‎ 因为，所以，所以，‎ ‎＝，所以。‎ 方法二： ‎ 由知，，‎ 即，又，所以。‎ 例5：已知，，且，求的值 。‎ 解：，，又，，‎ ‎，。‎ ‎ ‎ 例6：已知，，‎ 求、、。‎ 解：，，‎ ‎。‎ ‎ ‎ 例7：化简 ‎（1）；‎ ‎（2）。‎ 解：（1）；（2）。‎ 例8：化简 ‎（1）；‎ ‎（2）；‎ ‎（3）。‎ 解：（1）； （2）； （3）。‎ 例9：求下列函数的值域：‎ ‎（1）；‎ ‎（2）；‎ ‎ (3)。‎ 解：（1）； （2）； （3）。‎ 三、半角公式 ‎； ‎ ‎；‎ ‎。‎ 说明：（1）要求的正弦、余弦和正切，须先求。‎ ‎（2）根号前的“”由角所在象限的三角比的符号来确定。‎ 又因为， ‎ ‎，‎ 四、万能置换公式：‎ ‎；　‎ ‎；　‎ ‎。‎ 例10：已知，且，‎ 求的值。‎ 解：由，且，得。且，‎ 所以。‎ 由半角公式：；‎ ‎； ‎ ‎。‎ ‎　　另一方面，求用公式更为方便。‎ 例11：在等腰三角形中，，，‎ 求、、。‎ 解：当为锐角时，；‎ 当为钝角时，。‎ 例12：已知，且，，求。‎ 解：，。‎ 例13：已知，且，求的值。‎ 解：因为，所以，，‎ 所以，又由且，‎ 所以，又而，‎ 所以，则。‎ ‎，‎ ‎ ，则。‎ 说明：此解法过程中是先求出，再求，在求的过程中确定范围是关键。‎ 本例还可以这样求解：由，求出，‎ 先利用半角公式，可求得，‎ 则。‎ 进一步思考：本例还有什么样的求解思路？‎ ‎，。‎ 例14：已知，，求的值。‎ 解：。‎ 四、练习巩固：‎ ‎1、已知，则是第＿＿＿象限的角；‎ ‎2、都是锐角，则＝＿＿＿＿＿；‎ ‎3、已知，则＝＿＿＿＿；‎ ‎4、若，则＝＿＿＿；‎ ‎5、设，且，则＿＿＿；‎ ‎6、化简的结果为＿＿＿＿＿；‎ ‎7、已知且，则的值为＿＿＿＿＿；‎ ‎8、已知，化简的结果为＿＿＿＿＿＿。‎ ‎9、当是第三象限角，且时，＿＿＿＿＿＿；‎ ‎10、化简：的结果为＿＿＿＿＿＿；‎ ‎11、若等腰三角形顶角的正弦值为，则底角的余弦值为＿＿＿＿＿；若等腰三角形底角的正弦值为，则其顶角的余弦值为＿＿＿＿＿；‎ ‎12、若，且，则＝＿＿＿＿＿＿；‎ ‎13、已知，化简的结果为＿＿＿＿＿；‎ ‎14、若，且，则的值为（　　）‎ A、；　　　　B、；　　　　C、；　　　　　D、。‎ ‎15、若，则的值为（　　）‎ A、；　　　B、；　　　C、或；　　　D、或。‎ ‎16、已知，则的值为（　　）‎ A、；　　　　　B、；　　　　　C、；　　　　　D、。‎ ‎17、若，则的值为（　　）‎ A、2；　　　　　　　　B、3；　　　　　　　C、4；　　　　　　　　D、5。‎ ‎18、设是一个钝角三角形的两个锐角，下列四个不等式：‎ ‎（1）；　　　　　　　　　（2）；‎ ‎（3）；　　　　　　　　（4）。‎ 其中一定成立的不等式个数为（　　）‎ A、1个；　　　　　B、2个；　　　　　C、3个；　　　　　　D、4个。‎ 作业研究：‎ ‎1、已知是方程的一个根，求与的值。‎ ‎2、已知，求值：（1）；（2）。‎ ‎3、若，求的值。‎ ‎4、已知，求的值。‎ ‎5、设，求的值。‎ ‎6、已知，求下列各值：‎ ‎（1）；　　　　　（2）；　　　　　（3）。‎ ‎7、已知，且，求的值。‎ ‎8、求证：‎ ‎5、6 正弦定理、余弦定理和解斜三角形 一、三角形面积公式 O A B C D 以△的顶点为坐标原点，边所在的直线为轴，‎ 建立直角坐标系，过作轴的垂线，垂足为，‎ 则，，，‎ ‎∴，即：；‎ 同理：；‎ 这就是说：三角形的面积等于任意两边与它们夹角正弦值的积的一半。‎ 二、正弦定理 将中等号分开的式子都除以得：‎ ‎，即有：。‎ ‎　　‎ 正弦定理中比值的几何意义：　　‎ A B C ‎.‎ D O 如图，设是△ABC的外接圆的圆心，连并延长交圆于，‎ 连，为直径，那么 ‎ 。　所以有：，‎ 即正弦定理为：‎ 其中为△ABC外接圆的直径。‎ 三、余弦定理 以△的顶点为坐标原点，边所在的直线为轴，‎ 建立直角坐标系，过作轴的垂线，垂足为，则 ‎，，根据两点间距离公式：‎ ‎，化简得：‎ ‎。‎ 同理可得：，　　‎ ‎ 。‎ 也就是说：三角形的一边的平方等于另外两边的平方和减去这两边与它们夹角余弦值乘积的两倍。这个结论称为余弦定理。‎ 余弦定理还可以表示为：‎ ‎，　‎ ‎，　‎ ‎。‎ 余弦定理可以看作为是直角三角形中勾股定理的推广：‎ 若是锐角，则；‎ 若A是钝角，则 正弦定理与余弦定理揭示了三角形的六个元素之间的关系。结合三角形内角和定理，我们就可以解决一些三角形中有关边和角的计算问题。‎ 例1、在三角形ABC中，，求和。‎ 解：，由正弦定理，得，。‎ 例2、在三角形ABC中，根据下列条件，求解此三角形：‎ ‎（1）；　　　　　　　‎ ‎（2）；‎ ‎（3）；　　　　　 　　　‎ ‎（4）。‎ 解：（1）由正弦定理，‎ 所以或（舍去），则，‎ 所以。‎ 所以。‎ ‎（2），所以此三角形不存在；‎ ‎（3），所以此三角形不存在；‎ ‎（4），所以或。‎ ‎①当时，，；‎ ‎②当时，，。‎ 综上知：，，或，，。‎ 说明：由上述几个问题可以看出：已知三角形的两边与其中一边的对角解三角形可能出现三种情况：（1）只有一解；（2）有两解；（3）无解。‎ 如何进行解的情况判断？‎ 在△ABC中，有。‎ 例3、△ABC中，，根据的取值范围，讨论此三角形是否有解？可能有几解。‎ 解：。‎ ‎（1）当，即时，，此时三角形无解；‎ ‎（2）当，即时，，，此时三角形有一解；‎ ‎（3）当，即时，因为：‎ ‎①若，则，所以，，‎ 此时三角形有一解；‎ ‎②若，则，所以，，‎ 此时三角形有两解。‎ 综上知：，三角形无解；‎ 或，三角形有一解；‎ ‎，三角形有两解。‎ 方法二：数形结合，作图：‎ A C A B C B C A B 由图可以看出：，三角形无解；‎ 或，三角形有一解；‎ ‎，三角形有两解。‎ 例4、在△ABC中，若，试判断△ABC的形状。‎ 解：由已知及正弦定理：，‎ 因为在△ABC中，，‎ 所以，‎ 由是三角形的内角，所以或。‎ 即或。‎ 所以△ABC是等腰三角形或是直角三角形。‎ 例5、在△中，已知，‎ 求、、及△的面积。‎ 解： ，‎ 所以。‎ 又，‎ 所以，则。‎ ‎。‎ 例6、已知△是钝角三角形， 为钝角，且，求的取值范围。‎ 解：因为为钝角，所以是最大边，且，根据三角形任意两边之和大于第三边，有：‎ 解得：。‎ 例7、在△ABC中，求证：。‎ 证法一：利用正弦定理与余弦定理：‎ ‎　　　　　　　　　 ＝‎ ‎　　　　　　　　　 ＝。‎ 所以等式成立。‎ 证法二：由正弦定理：，则 ‎　　　　　　　　　 ＝‎ ‎　　　　　　　　　 ＝‎ ‎　　　　　　　　　 。‎ 所以等式成立。‎ 例8、在△ABC中，已知，‎ 且，试判断△的形状。‎ 解：等边三角形。‎ 例9、在△ABC中，，且，求及的大小。‎ 解：，。‎ 例10、在△ABC中，三边满足：且，求的大小与的值。‎ 解：由余弦定理：，所以。‎ 则。由正弦定理：‎ ‎，‎ 所以，则，所以。‎ 另一方面：考虑到，将化成：‎ ‎，可求得：，‎ 由正弦定理，，‎ 因为，所以，则为锐角，则。‎ 例11、在△ABC中，分别为内角的对边，且满足：。‎ ‎（1）求的大小；‎ ‎（2）若，试判断△ABC的形状。‎ 解：（1）由已知，根据正弦定理得：，‎ 即，由余弦定理得，‎ 故。‎ ‎（2）由（1）得。‎ 又，得，‎ 因为，故。‎ ‎ 所以△ABC是等腰的钝角三角形。‎ 例12、将一块圆心角为，半径为的扇形铁皮裁成一个矩形（如图），O A B M N P Q 求裁得的矩形的最大面积。‎ 解：如图：连接OP，设，则，‎ ‎，‎ 所以 ‎。‎ 因为，所以当，即时，。‎ 答：当为中点时，截得的矩形面积最大，最大面积为。‎ 例13、某船在海面处测得灯塔在北偏东方向与相距海里，测得灯塔在北偏西方向与相距海里。船由A向正北航行到D处，测得灯塔B在南偏西方向。‎ 求：（1）灯塔C与D之间的距离；‎ ‎（2）C在D的什么方向。‎ A B C D 北 解：如图：在△ABD中，，‎ 由正弦定理：。‎ 在△ADC中，由余弦定理得：‎ ‎。‎ 所以。由，所以。‎ 即：与D相距海里，且灯塔C在D南偏东方向。‎ 练习巩固：‎ ‎1、在△ABC中，，则＿＿＿＿＿；‎ ‎2、已知△ABC的三内角之比为，则三边长之比为＿＿＿＿＿＿；‎ ‎3、若△ABC的外接圆半径为，则的值为＿＿＿＿＿＿；‎ ‎4、在△ABC中，已知，满足条件的三角形有＿＿＿＿个；‎ ‎5、在△ABC中，且，则＿＿＿＿＿。‎ ‎6、在△ABC中，设命题P：，命题Q：△ABC是等边三角形。那么命题P是命题Q的（　　）‎ A、充分不必要条件；　　　　　　　　　　　　　B、必要不充分条件；‎ C、充分必要条件；　　　　　　　　　　　　　　D、既不充分又不必要条件。‎ ‎7、在△ABC中，，则△ABC的周长为（　　）‎ A、；　　　　　　　 B、；‎ C、；　　　　　　　　　D、。‎ ‎8、在△中，已知，则＿＿＿，△的外接圆半径的值为＿＿＿＿，△的面积＿＿＿＿＿；‎ ‎9、已知平行四边形ABCD中，，则＿＿＿、＿＿＿；‎ ‎10、在△中，若，则此三角形是（　　）‎ A、锐角三角形；　　B、直角三角形；　　　C、钝角三角形；　　　D、无法判断形状。‎ ‎11、在△中，若其三边的长分别为，且，则此三角形的形状为（　　）‎ A、锐角三角形；　　B、直角三角形；　　　C、钝角三角形；　　　D、无法判断形状。‎ ‎12、若是锐角三角形的三边的长，则的取值范围为（　　）‎ A、；　　　　B、；　　　　C、；　　　　D、。‎ ‎13、在△中，，则的取值范围为（　　）‎ A、；　　　　B、；　　　　C、；　　　D、。‎ ‎14、已知△ABC的面积为1，外接圆的半径为1，则＝＿＿＿＿＿；‎ ‎15、在△ABC中，，则＝＿＿＿＿；‎ ‎16、已知△ABC的三内角A、B、C满足方程，若，则△ABC的形状是＿＿＿＿＿＿；‎ ‎17、已知△ABC中，是方程的两个根，且，则＿＿＿＿，＿＿＿；＿＿＿＿＿；‎ ‎18、甲、乙两铁塔相距，从乙塔的底部看甲塔的顶部仰角为，从甲塔的顶部看乙塔顶部的仰角为，则甲、乙两塔的高度分别为＿＿＿＿＿＿＿＿；‎ ‎19、在塔底的水平面上的某点测得塔顶的仰角为，由此点向塔底沿直线前进后测得塔顶的仰角为，再向前，测得仰角为，则塔高为＿＿＿＿；‎ ‎20、在△ABC中，若，则△ABC是（　　）‎ A、等腰三角形；　B、直角三角形；　　C、等边三角形；　　D、无法确定形状。‎ 作业研究：‎ ‎1、在△ABC中，已知，求△ABC的面积。‎ A B C E F ‎2、如图：在△ABC中，点E、F分别在边AB、AC上，且AE＝EB，。求三角形AEF的面积与四边形BEFC的面积之比。‎ ‎3、已知△中，，求边上的中线的长。‎ ‎4、在△中，三边为连续的三个正整数，且最大角为钝角，求这个三角形三边的长。‎ ‎5、如图：，求的长。‎ O A B C ‎.‎ ‎6、圆内接四边形边长分别为，，，求四边形的面积。‎ ‎7、如图：点在△的内部，‎ A B C M ‎，求的长。‎ ‎8、在△ABC中，，且，若此三角形的面积为，求此三角形三边长及三内角大小。‎ ‎9、在△ABC中，已知，AC边上的中线长为，求的值。‎ ‎10、已知三角形两边之和是，其夹角为，求此三角形周长的最小值与面积的最大值。‎ ‎11、海岛上有一座海拔高的山，山顶上设有一个观察站。上午11点时测得一轮船在海岛的北偏东的C处，俯角为，11点30分又测得该船在海岛的北偏西的B处，俯角为。‎ ‎（1）该船的速度为每小时多少千米？‎ ‎（2）若此船以不变的速度继续前进，则它何时到达海岛的正西方向？此时所在的点E离开海岛多少千米？‎