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  • 2021-06-11 发布

江西省南昌县莲塘第一中学2019-2020学年高二4月线上测试数学(理)试题

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莲塘一中2019-2020学年高二年级4月网络考试 理科数学试卷 一、单选题(15小题,每题5分,共75分)‎ ‎1.若命题;命题,则下列命题为真命题的是( )‎ A. B. C. D.‎ ‎2.在中,“”是“”的( )‎ A.充分必要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 ‎3.已知条件p:;条件q:,若q是p的充分不必要条件,则实数m的取值范围是( )‎ A. B. C. D.‎ ‎4.下列说法正确的是( )‎ A.命题“”的否定是“”‎ B.命题“已知,若则或”是真命题 C.命题“若则函数只有一个零点”的逆命题为真命题 D.“在上恒成立”在上恒成立 ‎5.椭圆以双曲线的焦点为顶点,以双曲线顶点为焦点,则椭圆的标准方程为( )‎ A. B. C. D.‎ ‎6.设是椭圆的左、右焦点,是椭圆上的一点且满足三角形的面积是12,则( )‎ A. B. C. D.‎ ‎7.已知,为双曲线C:()的左、右焦点,P为双曲线C左支上一点,直线与双曲线C的一条渐近线平行,,则( )‎ A. B.2 C.1 D.5‎ ‎8.已知椭圆的上焦点为,是椭圆上一点,点,当点在椭圆上运动时,的最大值为( )‎ A.4 B.6 C.8 D.10‎ ‎9.已知双曲线的左焦点为,是双曲线右支上的一点,点关于原点的对称点为,若在以为直径的圆上,且,则该双曲线的离心率的取值范围是( )‎ A. B. C. D.‎ ‎10.下列函数求导运算正确的个数为( )‎ ‎①;②;③;④;⑤.‎ A.1 B.2 C.3 D.4‎ ‎11.已知函数,,直线l分别与曲线,相切于点,,则( )‎ A.0 B.1 C.2 D.e ‎12.已知三次函数的导函数为,则函数与的图象可能是( )‎ A.B.C.D.‎ ‎13.给出定义:如果函数在上存在,,满足,,则称实数,为上的“‎ 对望数”,函数为在上的“对望函数”.已知函数是上的“对望函数”,则实数的取值范围是( )‎ A. B. C. D.‎ ‎14.若定义在R上的函数满足其中是的导数,且,则不等式的解集为( )‎ A. B. C. D.‎ ‎15.函数,关于的方程恰有四个不同实数根,则正数的取值范围为( )‎ A. B. C. D.‎ 二.填空题(5题,每题5分,共25分)‎ ‎16.为迎接年北京冬奥会,短道速滑队组织甲、乙、丙等名队员参加选拔赛,比赛结果没有并列名次.记“甲得第一名”为,“乙得第一名”为,“丙得第一名”为,若是真命题,是真命题,则得第一名的是__________.‎ ‎17.已知、是椭圆的左,右焦点,点为上一点,为坐标原点,为正三角形,则的离心率为__________.‎ ‎18.已知抛物线的焦点为F,准线为,经过F的直线与抛物线相交于A,B两点,A在第一象限,,,垂足分别为M,N,且的面积是的面积的3倍,则直线的斜率为________.‎ ‎19.已知函数有两个极值点,则实数m的取值范围为________.‎ ‎20.已知函数,,若任意,存在,使,则实数的取值范围是__________.‎ 三、解答题(21题12分,22题12分,23题13分,24题13分,共50分)‎ ‎21.设,:函数的定义域为R,q:函数在区间上有零点.‎ ‎(1)若q是真命题,求a的取值范围;‎ ‎(2)若是真命题,求a的取值范围.‎ ‎22.已知椭圆的离心率为,分别为椭圆的左,右焦点,直线过点与椭圆交于两点,当直线的斜率为时,线段的长为.‎ ‎(1)求椭圆的方程;‎ ‎(2)过点且与直线垂直的直线与椭圆交于两点,求四边形面积的最小值.‎ ‎23.已知为常数,函数 ‎(1)过坐标原点作曲线的切线,设切点为,求;‎ ‎(2)令,若函数在区间上是单调减函数,求的取值范围.‎ ‎24.已知函数,其中.‎ ‎(1)讨论函数的单调性;‎ ‎(2)设,若对于任意的,,有,求实数的取值范围.‎ 莲塘一中2019-2020学年高二年级4月网络考试 理科数学试卷参考答案 ‎1.C【详解】对命题,,所以命题是真命题;‎ 对命题,时,,所以命题为假命题;‎ 所以、、为假命题,为真命题.故选:C 2. B【解析】当时,,所以,成立;当时,如取时,成立,此时,所以不成立;综上知“”是“”的”的充分不必要条件,‎ ‎3.A【详解】对于条件,,解得.‎ 对于条件,由,解得或.‎ 由于q是p的充分不必要条件,所以或,解得.‎ ‎4.B【详解】A.“”的否定为“”,故错误;‎ B.原命题的逆否命题为“若且,则”,是真命题,所以原命题是真命题,故正确;‎ C.原命题的逆命题为“若函数只有一个零点,则”,‎ 因为时,,此时也仅有一个零点,所以逆命题是假命题,故错误;‎ D.“在上恒成立”“在上恒成立”,故错误.故选:B.‎ ‎5.A【详解】双曲线的一个焦点,则是椭圆的一个顶点,则所求椭圆方程中的长半轴.‎ 双曲线的一个顶点为,则是椭圆的一个焦点,则椭圆的半焦距,则.‎ 椭圆的标准方程为故选:A.‎ 6. D【详解】解:设,,则,即,‎ ‎,,‎ ‎,,得,.故选:D.‎ 7. C【详解】可设,由斜率定义和三角函数可得:,‎ 由双曲线第一定义可得;,又,‎ 故,由以上三式解得 故选:C ‎8.D【详解】如图所示,设椭圆的下焦点为,则 ‎,∵,‎ 当且仅当A,F′,M共线且F′在线段上时等号成立,‎ ‎∴的周长为,‎ 所以的周长的最大值为,‎ 此时,故选:D.‎ ‎9.B【详解】由题意,得点也在双曲线上,且,设双曲线的右焦点为 根据双曲线的定义: 又因为,所以 因为是斜边上的中点,所以 设,则,所以 所以 因为,所以 所以所以 故选:B.‎ ‎10.B详解:对于①,所以错误;对于②,所以正确;‎ 对于③,所以正确;对于④,所以错误;‎ 对于⑤,所以错误.故答案为:B ‎11.B【详解】由己知得直线l的方程为:,,‎ ‎∴,∴消去整理得. 故选:B.‎ ‎12.D【详解】已知是三次函数,故,,二次函数的对称轴为,且,因此可以排除A,B两个选项.‎ 对于选项D:二次函数过,因此,且,‎ 因此,当时,,所以单调递增;当时,,所以单调递增;当时,,所以单调递减,此时图象D符合;‎ 对于选项C:二次函数过原点,因此,所以且,当时,,所以单调递增;当时,,所以单调递增;当时,,所以单调递减,因此是三次函数的极小值点,图象C不符合. 故选:D ‎13.A【详解】由题:, ,‎ 根据题意函数是上的“对望函数”,即在区间上有两个解,‎ 令,,‎ ‎,解得 故选:A ‎14.C【详解】令,有,故函数为增函数,‎ 由,不等式可化为,即,‎ 故不等式的解集为. 故选:C ‎15.D【详解】,令,得或,‎ 当时,,函数在上单调递增,且;‎ 当时,,函数在上单调递减;‎ 当时,,函数在上单调递增.‎ 所以极大值,极小值,作出大致图象:‎ 令,则方程有两个不同的实数根,‎ 且一个根在内,另一个根在内,或者两个根都在内.‎ 因为两根之和为正数,所以两个根不可能在内.‎ 令,因为,所以只需,即,得,‎ 即的取值范围为. 故选:D ‎16.乙【详解】因为第一名只有一个,所以由是真命题,可得命题与命题有且只有一个为真命题,则必为假命题,又因为是真命题,则为真命题,故为假命题,故为真命题.‎ ‎17.【详解】如图,因为为正三角形,所以 ‎,‎ 所以是直角三角形.因为,,所以,.因为,所以 即,所以.‎ ‎18.【详解】如图所示:过作于点,则,‎ 根据抛物线的定义可知:,又的面积是的面积的3倍,‎ 则有,所以,‎ 所以,所以直线的斜率为,‎ ‎19. 【详解】由题意得:.‎ 有两个极值点,有两个不等实根,‎ 即有两个不等实根,可等价为与有两个不同交点,‎ ‎,当时,;当时,,在上单调递减,在上单调递增,‎ ‎;当时,;当时,,‎ 可得图象如图所示:由图象可知,若与有两个不同交点,则,‎ 解得:,即实数的取值范围为.‎ ‎20.【详解】解:∵,,,∴‎ 在上单调递增, ;根据题意可知存在,使得.即能成立, 令,则要使在能成立,只需使,‎ 又在上恒成立 则函数在上单调递减, , ,即实数的取值范围是. 21.(1)(2)或 解:(1)当q是真命题时,在上有解,即函数与函数有交点 又的值域为 所以a的取值范围为.‎ ‎(2)当p是真命题时,由题意,在上恒成立,则,则.‎ 记当p是真命题时,a的取值集合为A,则;‎ 记当是真命题时,a的取值集合为B,则或, ‎ 因为是真命题,所以a的取值范围是或 ‎22.(1)(2)‎ ‎(1)由题意得:,,.‎ 当直线斜率为时,与上顶点重合,,,‎ 设,则,,即,解得:,‎ ‎,解得:,,椭圆的方程为.‎ ‎(2)由(1)知:.当直线斜率不存在或斜率为时,四边形面积为;‎ 当直线斜率为时,设直线的方程为:,,,‎ 则直线的方程为:,将直线代入椭圆的方程得:,‎ ‎,‎ ‎,‎ 将换作可得:.‎ 四边形面积 ‎(当且仅当,即时取等号),‎ ‎,四边形面积最小值为.‎ ‎23.(1);(2).‎ ‎【详解】(1),所以切线的斜率为,切线方程为 ‎。‎ 将代入得,即,显然是方程的解,‎ 又在上是增函数,方程只有唯一解,故;‎ ‎(2)‎ 设,‎ 在上是减函数,,‎ 当时,即时,,在是增函数,又,‎ 在恒成立,即在恒成立,在上单调递减函数,所以,满足题意,‎ 当时,即,,函数有唯一的零点,设为,则在上单调递增,‎ 在单调递减,又,又在内唯一零点,‎ 当时,,当时,,‎ 从而在单调递减,在单调递增,不合题意,所以的取值范围是.‎ ‎24.(1)见解析(2)‎ ‎(1)函数的定义域为,.‎ ‎①若,则当时,,所以函数在区间上单调递减;‎ 当时,,所以函数在区间上单调递增.‎ ‎②若,则当或时,,‎ 所以函数在区间,上均单调递增;‎ 当时,,所以函数在区间上单调递减.‎ ‎③若,则当时,,所以函数在区间上单调递增.‎ ‎④若,则当或时,,‎ 所以函数在区间,上均单调递增;‎ 当时,,所以函数在区间上单调递减.‎ 综上所述,当时,函数在区间上单调递减,在区间上单调递增;‎ 当时,函数在区间,上均单调递增,在区间上单调递减;‎ 当时,函数在区间上单调递增;‎ 当时,函数在区间,上均单调递增,在区间上单调递减.‎ ‎(2)不妨设,则可化为.‎ 令,则函数在区间上单调递增.‎ 所以在区间上恒成立.‎ 即在区间上恒成立.(*)‎ 因为,所以,所以,要使(*)成立,只需,‎ 解得.故所求实数的取值范围为.‎

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