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- 2021-06-11 发布
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莲塘一中2019-2020学年高二年级4月网络考试
理科数学试卷
一、单选题(15小题,每题5分,共75分)
1.若命题;命题,则下列命题为真命题的是( )
A. B. C. D.
2.在中,“”是“”的( )
A.充分必要条件 B.充分不必要条件
C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件
3.已知条件p:;条件q:,若q是p的充分不必要条件,则实数m的取值范围是( )
A. B. C. D.
4.下列说法正确的是( )
A.命题“”的否定是“”
B.命题“已知,若则或”是真命题
C.命题“若则函数只有一个零点”的逆命题为真命题
D.“在上恒成立”在上恒成立
5.椭圆以双曲线的焦点为顶点,以双曲线顶点为焦点,则椭圆的标准方程为( )
A. B. C. D.
6.设是椭圆的左、右焦点,是椭圆上的一点且满足三角形的面积是12,则( )
A. B. C. D.
7.已知,为双曲线C:()的左、右焦点,P为双曲线C左支上一点,直线与双曲线C的一条渐近线平行,,则( )
A. B.2 C.1 D.5
8.已知椭圆的上焦点为,是椭圆上一点,点,当点在椭圆上运动时,的最大值为( )
A.4 B.6 C.8 D.10
9.已知双曲线的左焦点为,是双曲线右支上的一点,点关于原点的对称点为,若在以为直径的圆上,且,则该双曲线的离心率的取值范围是( )
A. B. C. D.
10.下列函数求导运算正确的个数为( )
①;②;③;④;⑤.
A.1 B.2 C.3 D.4
11.已知函数,,直线l分别与曲线,相切于点,,则( )
A.0 B.1 C.2 D.e
12.已知三次函数的导函数为,则函数与的图象可能是( )
A.B.C.D.
13.给出定义:如果函数在上存在,,满足,,则称实数,为上的“
对望数”,函数为在上的“对望函数”.已知函数是上的“对望函数”,则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
14.若定义在R上的函数满足其中是的导数,且,则不等式的解集为( )
A. B. C. D.
15.函数,关于的方程恰有四个不同实数根,则正数的取值范围为( )
A. B. C. D.
二.填空题(5题,每题5分,共25分)
16.为迎接年北京冬奥会,短道速滑队组织甲、乙、丙等名队员参加选拔赛,比赛结果没有并列名次.记“甲得第一名”为,“乙得第一名”为,“丙得第一名”为,若是真命题,是真命题,则得第一名的是__________.
17.已知、是椭圆的左,右焦点,点为上一点,为坐标原点,为正三角形,则的离心率为__________.
18.已知抛物线的焦点为F,准线为,经过F的直线与抛物线相交于A,B两点,A在第一象限,,,垂足分别为M,N,且的面积是的面积的3倍,则直线的斜率为________.
19.已知函数有两个极值点,则实数m的取值范围为________.
20.已知函数,,若任意,存在,使,则实数的取值范围是__________.
三、解答题(21题12分,22题12分,23题13分,24题13分,共50分)
21.设,:函数的定义域为R,q:函数在区间上有零点.
(1)若q是真命题,求a的取值范围;
(2)若是真命题,求a的取值范围.
22.已知椭圆的离心率为,分别为椭圆的左,右焦点,直线过点与椭圆交于两点,当直线的斜率为时,线段的长为.
(1)求椭圆的方程;
(2)过点且与直线垂直的直线与椭圆交于两点,求四边形面积的最小值.
23.已知为常数,函数
(1)过坐标原点作曲线的切线,设切点为,求;
(2)令,若函数在区间上是单调减函数,求的取值范围.
24.已知函数,其中.
(1)讨论函数的单调性;
(2)设,若对于任意的,,有,求实数的取值范围.
莲塘一中2019-2020学年高二年级4月网络考试
理科数学试卷参考答案
1.C【详解】对命题,,所以命题是真命题;
对命题,时,,所以命题为假命题;
所以、、为假命题,为真命题.故选:C
2. B【解析】当时,,所以,成立;当时,如取时,成立,此时,所以不成立;综上知“”是“”的”的充分不必要条件,
3.A【详解】对于条件,,解得.
对于条件,由,解得或.
由于q是p的充分不必要条件,所以或,解得.
4.B【详解】A.“”的否定为“”,故错误;
B.原命题的逆否命题为“若且,则”,是真命题,所以原命题是真命题,故正确;
C.原命题的逆命题为“若函数只有一个零点,则”,
因为时,,此时也仅有一个零点,所以逆命题是假命题,故错误;
D.“在上恒成立”“在上恒成立”,故错误.故选:B.
5.A【详解】双曲线的一个焦点,则是椭圆的一个顶点,则所求椭圆方程中的长半轴.
双曲线的一个顶点为,则是椭圆的一个焦点,则椭圆的半焦距,则.
椭圆的标准方程为故选:A.
6. D【详解】解:设,,则,即,
,,
,,得,.故选:D.
7. C【详解】可设,由斜率定义和三角函数可得:,
由双曲线第一定义可得;,又,
故,由以上三式解得 故选:C
8.D【详解】如图所示,设椭圆的下焦点为,则
,∵,
当且仅当A,F′,M共线且F′在线段上时等号成立,
∴的周长为,
所以的周长的最大值为,
此时,故选:D.
9.B【详解】由题意,得点也在双曲线上,且,设双曲线的右焦点为
根据双曲线的定义: 又因为,所以
因为是斜边上的中点,所以
设,则,所以
所以 因为,所以
所以所以 故选:B.
10.B详解:对于①,所以错误;对于②,所以正确;
对于③,所以正确;对于④,所以错误;
对于⑤,所以错误.故答案为:B
11.B【详解】由己知得直线l的方程为:,,
∴,∴消去整理得. 故选:B.
12.D【详解】已知是三次函数,故,,二次函数的对称轴为,且,因此可以排除A,B两个选项.
对于选项D:二次函数过,因此,且,
因此,当时,,所以单调递增;当时,,所以单调递增;当时,,所以单调递减,此时图象D符合;
对于选项C:二次函数过原点,因此,所以且,当时,,所以单调递增;当时,,所以单调递增;当时,,所以单调递减,因此是三次函数的极小值点,图象C不符合. 故选:D
13.A【详解】由题:, ,
根据题意函数是上的“对望函数”,即在区间上有两个解,
令,,
,解得 故选:A
14.C【详解】令,有,故函数为增函数,
由,不等式可化为,即,
故不等式的解集为. 故选:C
15.D【详解】,令,得或,
当时,,函数在上单调递增,且;
当时,,函数在上单调递减;
当时,,函数在上单调递增.
所以极大值,极小值,作出大致图象:
令,则方程有两个不同的实数根,
且一个根在内,另一个根在内,或者两个根都在内.
因为两根之和为正数,所以两个根不可能在内.
令,因为,所以只需,即,得,
即的取值范围为. 故选:D
16.乙【详解】因为第一名只有一个,所以由是真命题,可得命题与命题有且只有一个为真命题,则必为假命题,又因为是真命题,则为真命题,故为假命题,故为真命题.
17.【详解】如图,因为为正三角形,所以
,
所以是直角三角形.因为,,所以,.因为,所以
即,所以.
18.【详解】如图所示:过作于点,则,
根据抛物线的定义可知:,又的面积是的面积的3倍,
则有,所以,
所以,所以直线的斜率为,
19. 【详解】由题意得:.
有两个极值点,有两个不等实根,
即有两个不等实根,可等价为与有两个不同交点,
,当时,;当时,,在上单调递减,在上单调递增,
;当时,;当时,,
可得图象如图所示:由图象可知,若与有两个不同交点,则,
解得:,即实数的取值范围为.
20.【详解】解:∵,,,∴
在上单调递增,
;根据题意可知存在,使得.即能成立,
令,则要使在能成立,只需使,
又在上恒成立 则函数在上单调递减,
, ,即实数的取值范围是.
21.(1)(2)或
解:(1)当q是真命题时,在上有解,即函数与函数有交点
又的值域为 所以a的取值范围为.
(2)当p是真命题时,由题意,在上恒成立,则,则.
记当p是真命题时,a的取值集合为A,则;
记当是真命题时,a的取值集合为B,则或,
因为是真命题,所以a的取值范围是或
22.(1)(2)
(1)由题意得:,,.
当直线斜率为时,与上顶点重合,,,
设,则,,即,解得:,
,解得:,,椭圆的方程为.
(2)由(1)知:.当直线斜率不存在或斜率为时,四边形面积为;
当直线斜率为时,设直线的方程为:,,,
则直线的方程为:,将直线代入椭圆的方程得:,
,
,
将换作可得:.
四边形面积
(当且仅当,即时取等号),
,四边形面积最小值为.
23.(1);(2).
【详解】(1),所以切线的斜率为,切线方程为
。
将代入得,即,显然是方程的解,
又在上是增函数,方程只有唯一解,故;
(2)
设,
在上是减函数,,
当时,即时,,在是增函数,又,
在恒成立,即在恒成立,在上单调递减函数,所以,满足题意,
当时,即,,函数有唯一的零点,设为,则在上单调递增,
在单调递减,又,又在内唯一零点,
当时,,当时,,
从而在单调递减,在单调递增,不合题意,所以的取值范围是.
24.(1)见解析(2)
(1)函数的定义域为,.
①若,则当时,,所以函数在区间上单调递减;
当时,,所以函数在区间上单调递增.
②若,则当或时,,
所以函数在区间,上均单调递增;
当时,,所以函数在区间上单调递减.
③若,则当时,,所以函数在区间上单调递增.
④若,则当或时,,
所以函数在区间,上均单调递增;
当时,,所以函数在区间上单调递减.
综上所述,当时,函数在区间上单调递减,在区间上单调递增;
当时,函数在区间,上均单调递增,在区间上单调递减;
当时,函数在区间上单调递增;
当时,函数在区间,上均单调递增,在区间上单调递减.
(2)不妨设,则可化为.
令,则函数在区间上单调递增.
所以在区间上恒成立.
即在区间上恒成立.(*)
因为,所以,所以,要使(*)成立,只需,
解得.故所求实数的取值范围为.