专题5-5+高考预测卷（五）文-2017年全国高考数学考前复习大串讲 17页

一、选择题（本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）‎ ‎1.若集合，集合，则等于（ ）‎ ‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 试题分析：集合,集合,所以，故选C.‎ 考点：集合的运算．‎ ‎2.已知是虚数单位，若复数在复平面内对应的点在第四象限，则实数的值 可以是（ ）‎ A．-2 B．1 C．2 D．3‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 考点：复数的运算.‎ ‎3.已知角的终边过点，则等于（ ）‎ A． B． C． D．5‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 试题分析：因为角的终边过点，所以，从而，故答案选B.‎ 考点：两角差的正切．‎ ‎4.已知向量若，则实数等于（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 试题分析：由向量，可得，而，根据，可以解得实数等于，故选D.‎ 考点：1.向量的模；2.平面向量的数量积.‎ ‎5.已知函数是偶函数，当时，，则曲线在点 处切线的斜率为（ ）‎ A．-2 B．-1 C．1 D．2‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 考点：1.函数的奇偶性；2.导数的几何意义.‎ ‎6.如图是一个程序框图，则输出的的值是（ ）‎ A．4 B．5 C．6 D．7‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 试题分析：第一次循环不成立；第二次循环不成立；第三次循环成立，输出，故选A.‎ 考点：程序框图．‎ ‎7.已知双曲线的右焦点为，直线与双曲线的渐近线 在第一象限的交点为为坐标原点，若的面积为，则双曲线的离心率为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 试题分析：由条件可得，的面积为，所以，解得，故选A.‎ 考点：双曲线，离心率．‎ ‎8.已知等差数列的前项和为，且．在区间内任取一个实数作为数列 的公差，则的最小值仅为的概率为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 考点：几何概型．‎ ‎9.已知函数，设，且，则的 最小值为（ ）‎ A．4 B．2 C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 试题分析：由于，且，所以可得，从而，当且仅当时取等号，故选D.‎ 考点：1.基本不等式；2.最值.‎ ‎10.如图是某几何体的三视图，图中圆的半径为1，且俯视图中两条半径互相垂直，则该几何体的 体积为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 考点：三视图．‎ ‎11.将函数的图象向右平移个单位后得到函数的图象，若函数在区 间和上均单调递增，则实数的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 考点：1.图象变换；2.函数单调性.‎ ‎12.如图，在直三棱柱中，，过的中点作 平面的垂线，交平面于，则点到平面的距离为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 试题分析：如图，把直三棱柱补成直四棱柱，其中点分别是棱的中点，则是的中点，易知点到平面的距离为点到平面的距离的一半，而点到平面的距离为，所以点到平面的距离为，故选C.‎ 考点：1.棱柱；2.点到平面的距离. ‎ 第Ⅱ卷（非选择题共90分）‎ 二、填空题（本大题共4小题，每题5分，满分20分．）‎ ‎13.某企业有员工750人，其中男员工有300人，为做某项调查，拟采用分层抽样法抽取容量为45‎ 的样本，则女员工应抽取的人数是____________．‎ ‎【答案】 ‎ ‎【解析】‎ 考点：分层抽样．‎ ‎14.在数列中，，且数列是等比数列，则___________．　‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 试题分析：由于数列是等比数列，，所以，所以公比是，所以数列的通项公式是，进而，故答案填.‎ 考点：1.通项公式；2.等比数列. ‎ ‎15.如果实数满足条件，则的最小值为___________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 考点：线性规划．‎ ‎【方法点晴】本题是一个关于平面图形的线性规划的问题，属于中档题.解决本题的基本思路及切入点是，首先做出 线性约束条件对应的可行域，然后再把求的最小值的问题，转化为求点到可行域内的点的距离的平方的最小值的问题，再结合图形即可求出 的最小值，使问题得以解决.‎ ‎16.已知等腰梯形的顶点都在抛物线上，且 ‎，则点到抛物线的焦点的距离是_____________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 试题分析：建立坐标系如图所示，由题意可知由，则点到抛物线的焦点的距离是，故答案填.‎ 考点：抛物线．‎ ‎【方法点晴】本题是一个关于抛物线及其几何性质方面的综合性问题，属于中档题.解决本题的基本思路及切入点是，首先建立适当的坐标系，并且根据几何图形的特点，求出该等腰梯形的各个边长，进而表示出顶点的坐标，再根据点到直线的距离是，即可求出，再根据抛物线的定义，即可求出点到抛物线的焦点的距离. ‎ 三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）‎ ‎17.（本小题满分12分）‎ 在中，角所对的分别为，且．‎ ‎（1）求；‎ ‎（2）若，且的面积为，求的值．‎ ‎【答案】（1）；（2）．‎ ‎【解析】‎ 试题分析：对问题（1）根据题目条件结合三角形的正弦定理以及，即可求出的值；对问题（2），根据（1）的结论，再结合三角形的面积公式以及余弦定理，即可求出的值．‎ 试题解析：（1）∵，‎ ‎∴，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．1分 即，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．2分 ‎∵，∴，则，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分 考点：1.正弦定理和余弦定理；2.三角形的面积. ‎ ‎18.（本小题满分12分）‎ 某书店销售刚刚上市的某知名品牌的高三数学单元卷，按事先拟定的价格进行5天试销，每种单价试销1‎ 天，得到如下数据：‎ 单价（元）‎ ‎18‎ ‎19‎ ‎20‎ ‎21‎ ‎22‎ 销量（册）‎ ‎61‎ ‎56‎ ‎50‎ ‎48‎ ‎45‎ ‎（1）求试销5天的销量的方差和对的回归直线方程；‎ ‎（2）预计今后的销售中，销量与单价服从（1）中的回归方程，已知每册单元卷的成本是14元，为了获 得最大利润，该单元卷的单价卷的单价应定为多少元？‎ ‎（附：）‎ ‎【答案】（1）方差，对的回归直线方程为：；（2）．‎ ‎【解析】‎ 试题分析：对于问题（1），根据题目条件并结合表格数据即可求出试销天的销量的方差，再根据公式即可求出对的回归直线方程；对于问题（2），可根据（1）的结论列出利润关于单价的二次关系式，然后再利用二次函数即可求出所需的结论.‎ 试题解析：（1）∵，．．．．．．．．．．．．．．．．1分 ‎∴．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．2分 ‎∵，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分 ‎∴．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分 所以对的回归直线方程为：．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．7分 考点：1.回归直线的方程；2.方差.‎ ‎19.（本小题满分12分）‎ 如图，在四棱锥中，底面，底面是直角梯形，‎ ‎，是上一点．‎ ‎（1）若平面，求的值；‎ ‎（2）若是的中点，过点作平面平面，平面与棱交于，求三棱锥的 体积．‎ ‎【答案】（1）；（2）．‎ ‎【解析】‎ ‎（2）过作交于，过作交于，‎ 则平面即为平面，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分 则平面与平面的交线与平行，即过作交于，．．．．．．．．．．．．．．．．．9分 ‎∵是的中点，，∴，则，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分 又，∴，则，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．11分 ‎∵，∴到平面的距离为，则．．．．．．．．．．．．．．．12分 考点：1.线面平行；2.面面平行；3.棱锥的体积.‎ ‎20.（本小题满分12分）‎ 已知椭圆，过椭圆右顶点和上顶点的直线与圆相切．‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）设是椭圆的上顶点，过点分别作直线交椭圆于两点，设这两条直线的斜率 分别为，且，证明：直线过定点．‎ ‎【答案】（1）；（2）证明见解析．‎ ‎【解析】‎ 试题解析：（1）∵直线过点和，∴直线方程为，．．．．．．．．．．．．．．2分 ‎∵直线与圆相切，∴，解得，．．．．．．．．．．．．．．．4分 ‎∴椭圆的方程为．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分 ‎（2）当直线的斜率不存在时，设，则，由得，得．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分 当直线的斜率存在时，设的方程为，‎ ‎，‎ 得，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分 ‎，‎ 即，‎ 由，，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分 即，‎ 故直线过定点．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分 考点：1.椭圆；2.直线与圆锥曲线的位置关系. ‎ ‎21.（本小题满分12分）‎ 已知函数的两个极值点为，且．‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）若在（其中）上是单调函数，求的取值范围；‎ ‎（3）当时，求证：．‎ ‎【答案】（1）；（2）；（3）证明见解析．‎ ‎【解析】‎ 试题解析：（1）∵，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．1分 ‎∴由得，∴，∴‎ ‎．．．．．．．．．．．．．．．2分 ‎∴由得，‎ ‎∵，∴，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．3分 ‎（2）由（1）知，在上递减，在上递增，其中，‎ ‎．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分 当在上递减时， ，又，∴，．．．．．．．．．．．．．5分 当在上递增时， ，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分 综上，的取值范围为．．．．．．．．．．．．．．．．．7分 考点：1.导数在函数研究中的应用；2.单调性；3.极值.‎ ‎【方法点晴】本题是一个关于导数在函数研究中的应用方面的综合性问题，属于难题.解决本题的基本思路及切入点是，对问题（1）首先对函数进行求导，并令，再结合韦达定理，即可求出实数的值，进而可得到值的；对题问（2）可以根据（1）的结论，并结合对的讨论，进而可求出的取值范围；对问题（3），可以通过引入函数，并通过求导判断其单调性，进而可证明 ‎，再根据已知条件可以证明，进而可证明所需结论.‎ 请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.解答时请写清题号.‎ ‎22.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．已知点的极坐标为 ‎，曲线 的参数方程为（为参数）．‎ ‎（1）直线过且与曲线相切，求直线的极坐标方程；‎ ‎（2）点与点关于轴对称，求曲线上的点到点的距离的取值范围．‎ ‎【答案】（1）或；（2）．‎ ‎【解析】‎ 试题分析：对于问题（1）可以先求出点的直角坐标以及曲线的普通方程，利用直线过且与曲线相切，即可求直线的极坐标方程；对问题（2）可以先根据点与点关于轴对称，求出点的坐标，再求出点到圆心的距离，从而可求曲线上的点到点的距离的取值范围．‎ 试题解析：（1）由题意得点的直角坐标为，曲线的一般方程为．．．．．．．．．．2分 设直线的方程为，即，．．．．．．．．．．．．．．．．．3分 ‎∵直线过且与曲线 相切，∴，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分 即，解得，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分 ‎∴直线的极坐标方程为或，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分 考点：极坐标与参数方程．‎ ‎【方法点晴】本题是一个关于极坐标与参数方程的问题，属于容易题.解决本题的基本思路及切入点是，对于问题（1）可以先求出点的直角坐标以及曲线的普通方程，利用直线过且与曲线相切，即可求直线的极坐标方程；对问题（2）可以先根据点与点关于轴对称，求出点的坐标，再求出点到圆心的距离，从而可求曲线上的点到点的距离的取值范围．‎ ‎23.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 设函数．‎ ‎（1）若，且对任意恒成立，求实数的取值范围；‎ ‎（2）若，且关于的不等式有解，求实数的取值范围．‎ ‎【答案】（1）；（2）．‎ ‎【解析】‎ 试题解析：（1）由绝对值的性质得：，．．．．．．．．．．2分 ‎∵对任意恒成立，‎ ‎∴，解得，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分 ‎∵，∴ 实数的取值范围是．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分 ‎（2）当时，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．7分 若关于的不等式有解，则函数的图象与直线有两个交点，．．．．．．．．．．．．8分 ‎∴，解得，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．9分 ‎∴实数的取值范围是．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分 考点：1.含绝对值不等式问题；2.极端不等式恒成立.‎