2018-2019学年湖北省沙市中学高二上学期期中考试数学试题（解析版） 14页

‎2018-2019学年湖北省沙市中学高二上学期期中考试数学试题 一、单选题 ‎1．已知点，，则直线的倾斜角为（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 先根据斜率公式求斜率，再求倾斜角.‎ ‎【详解】‎ 因为直线的斜率为，所以倾斜角为，选C.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查斜率以及倾斜角概念,考查基本求解能力,属基础题.‎ ‎2．直线关于直线对称的直线方程是（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】D ‎【解析】分析：设所求直线上任一点关于的对称点为，求出，代入已知直线方程，即可得到所求直线方程.‎ 详解：设所求直线上任一点，‎ 则它关于的对称点为 ‎，‎ 因为在直线上，‎ 化简得，故选D.‎ 点睛：本题考查“逆代法”的应用，属于中档题.“逆代法”的步骤：设出未知曲线上的坐标，以及在已知曲线上的对称点坐标，求出，将 代入已知曲线方程.‎ ‎3．已知点和点，且，则实数的值为（ ）‎ A． 或 B． 或 C． 或 D． 或 ‎【答案】D ‎【解析】试题分析：由空间中两点间距离易知：，解得或，故选D．‎ ‎【考点】空间中两点间距离．‎ ‎4．执行如图所示的程序框图，则输出的值等于（ ）‎ A． 1 B． C． 0 D． ‎ ‎【答案】A ‎【解析】试题分析：模拟执行程序框图，可得， ；‎ ‎，故选A ‎【考点】程序框图 ‎5．设某大学的女生体重（单位：kg）与身高（单位：cm）具有线性相关关系．根据一组样本数据，用最小二乘法建立的回归方程为，则下列结论中不正确的是（ ）‎ A． 与具有正的线性相关关系 B． 回归直线过样本点的中心 C． 若该大学某女生身高增加1cm，则其体重约增加0.85kg D． 若该大学某女生身高为170cm，则可断定其体重必为58.79kg ‎【答案】D ‎【解析】‎ 根据回归方程一次项系数正负判断A正确，根据回归方程特点判断B正确，根据回归方程计算可得C正确，根据回归直线方程只能估计，不能肯定，所以D错误.‎ ‎【详解】‎ 因为,所以与具有正的线性相关关系，‎ 回归直线必过样本点的中心，所以B正确，‎ 由得身高增加1cm时其体重约增加0.85kg，‎ 回归直线方程只能估计，不能肯定，所以D错误.‎ 因此选D.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查线性回归方程相关概念,考查基本分析判断求解能力,属基础题.‎ ‎6．某校老年、中年和青年教师的人数见下表，采用分层抽样的方法调查教师的身体状况，在抽取的样本中，青年教师有320人，则该样本中的老年教师人数为 A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】试题分析：该样本中的老年教师人数为，则，．故选C．‎ ‎【考点】分层抽样．‎ ‎7．直线和将单位圆分成长度相等的四段弧，则 ‎（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 根据条件确定直线截得圆的弦长，再根据垂径定理求，，即得结果.‎ ‎【详解】‎ 由题意得直线和单位圆弦长皆为，‎ 所以圆心到直线和距离皆为，即，选B.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查直线与圆位置关系以及垂径定理,考查基本分析求解能力,属基础题.‎ ‎8．已知点是直线上一动点，是圆的两条切线，是切点.若四边形的最小面积是2，则的值为（ ）‎ A． B． ‎ C． D． 2‎ ‎【答案】D ‎【解析】试题分析：如图所示，根据对称性可知，当取得最小值时面积取得最小值，而，所以当最短时，最小，即时最小，此时，四边形的面积为，解得.‎ ‎【考点】直线与圆的位置关系.‎ ‎【思路点晴】本题主要考查直线与圆的位置关系.涉及比较多的知识点，一是连接圆心和切点的直径和切线垂直；二是根据对称性，将四边形的面积转化为两个直角三角形面积的和；三是最值问题，用化归与转化的数学思想方法转化为点到直线距离的距离来求解.四是点到直线的距离公式，还有圆的一般方程配成标准方程得到圆心和半径.‎ ‎9．在平面直角坐标系中，分别是轴和轴上的动点，若以为直径的圆与直线相切，则圆面积的最小值为（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 半径最小时圆面积最小，根据题意可得原点到直线距离为圆直径时半径最小，再根据圆面积公式得结果.‎ ‎【详解】‎ 因为半径最小时圆面积最小，而，‎ 因此圆面积的最小值为，选A.‎ ‎【点睛】‎ 与圆有关的长度或距离的最值问题的解法．一般根据长度或距离的几何意义，利用圆的几何性质数形结合求解．‎ ‎10．设函数，集合，在直角坐标系中，集合所表示的区域的面积为（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 先化简集合A，再根据区域图象确定面积.‎ ‎【详解】‎ ‎,‎ ‎ 所表示的区域如图，面积为圆面积的一半，即，选C.‎ ‎【点睛】‎ 线性规划中可行域面积问题，首先明确可行域对应的图象，然后结合图形确定结果.‎ ‎11．若圆上至少有三个不同点到直线的距离为，则的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 根据题意可得圆心到直线距离不大于，再根据点到直线距离公式列不等式解得结果.‎ ‎【详解】‎ 因为圆，所以，‎ 因为圆上至少有三个不同点到直线的距离为，所以圆心到直线距离不大于，即，选C.‎ ‎【点睛】‎ 判断直线与圆的位置关系的常见方法 ‎(1)几何法：利用d与r的关系．‎ ‎(2)代数法：联立方程之后利用Δ判断．‎ ‎12．直线交曲线于两点，为原点，P在线段OQ上，若，则的值为（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 先根据题意解出圆心到直线距离，再根据点到直线距离公式求斜率.‎ ‎【详解】‎ 因为，所以，设圆心C到直线距离为，过C作直线垂直，垂足为M，因为，所以,即，从而，选D.‎ ‎【点睛】‎ 涉及圆中弦长问题， 一般利用垂径定理进行解决，具体就是利用半径的平方等于圆心到直线距离平方与弦长一半平方的和.‎ ‎13．如图，在四面体中，若截面为正方形，则下列结论正确的是_______．‎ ‎①；②∥截面；‎ ‎③；④异面直线与所成角为．‎ ‎【答案】①②④‎ ‎【解析】‎ 因为截面是正方形，所以 ‎ ‎;①正确 截面；②正确 异面直线与所成的角为 , ④正确 二、填空题 ‎14．抛掷一枚质地均匀的硬币，如果连续抛掷1000次，那么第998次抛掷恰好出现“正面向上”的概率为_____________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 根据概率概念可得概率与抛掷次数无关，即得结果.‎ ‎【详解】‎ 因为概率与抛掷次数无关，所以第998次抛掷恰好出现“正面向上”的概率等于1次抛掷恰好出现“正面向上”的概率，为.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查概率概念,考查基本分析求解能力,属基础题.‎ ‎15．设满足约束条件，则目标函数的最小值为___________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 先作可行域，再根据目标函数所表示的直线，结合图象确定最小值取法，即得结果.‎ ‎【详解】‎ 作可行域，则直线过点A时取最小值8.‎ ‎【点睛】‎ 线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域；二，画目标函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三，一般情况下，目标函数的最大或最小值会在可行域的端点或边界上取得.‎ ‎16．设集合，，若存在实数 ‎，使，则实数的取值范围是_______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 根据两圆有交点建立不等式，再根据不等式有解确定实数的取值范围.‎ ‎【详解】‎ 由题意得两圆有交点，所以，‎ 即有解，因此.‎ ‎【点睛】‎ 一般利用圆心距与两半径和与差的关系,判断圆与圆的位置关系.‎ 三、解答题 ‎17．已知直线的斜率为，且直线经过直线所过的定点．‎ ‎（1）求直线的方程；‎ ‎（2）若直线平行于直线，且点到直线的距离为，求直线的方程．‎ ‎【答案】（1）； （2），或.‎ ‎【解析】‎ ‎(1)先求p，再根据点斜式得直线的方程，(2)根据平行关系设直线方程，再根据点到直线距离确定直线方程.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）所以过定点(-2,5)‎ 因此，即 ‎（2）设直线，则或 ‎ 直线为：，或 ‎【点睛】‎ 本题考查直线方程以及点到直线距离,考查基本分析求解能力,属基础题.‎ ‎18．已知圆内有一点，直线过点且和圆交于两点，直线的倾斜角为．‎ ‎（1）当时，求弦的长；‎ ‎（2）当弦被点平分时，求直线的方程．‎ ‎【答案】（1） （2）‎ ‎【解析】‎ ‎(1)先根据点斜式得直线方程，再根据点到直线距离得圆心到直线距离，最后根据垂径定理求弦长，(2)设直线方程，根据圆心到直线距离为OP，列方程解得斜率，即得直线方程.‎ ‎【详解】‎ ‎：，‎ 圆心到距离为，所以弦长为，‎ ‎（2）圆心到距离为,设：‎ 所以 ‎【点睛】‎ 涉及圆中弦长问题， 一般利用垂径定理进行解决，具体就是利用半径的平方等于圆心到直线距离平方与弦长一半平方的和.‎ ‎19．某班100名学生期中考试语文成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是：[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]．‎ ‎(1)求图中a的值；‎ ‎(2)根据频率分布直方图，估计这100名学生语文成绩的平均分；‎ ‎(3)若这100名学生语文成绩某些分数段的人数(x)与数学成绩相应分数段的人数(y)之比如下表所示，求数学成绩在[50,90)之外的人数．‎ 分数段 ‎[50,60)‎ ‎[60,70)‎ ‎[70,80)‎ ‎[80,90)‎ x∶y ‎1∶1‎ ‎2∶1‎ ‎3∶4‎ ‎4∶5‎ ‎【答案】（1）0.005（2）73（3）10‎ ‎【解析】‎ ‎（1）根据直方图中各矩形面积和为1,列方程可求得的值；（2）每个矩形的中点横坐标与该矩形的纵坐标相乘后求和，即可得到该校名学生语文成绩的平均分；（3）先求出各分数段的人数，总人数减去所求人数的和即可得结果.‎ ‎【详解】‎ ‎(1)由频率分布直方图知(2a＋0.02＋0.03＋0.04)×10＝1，解得a＝0.005．‎ ‎(2)由频率分布直方图知这100名学生语文成绩的平均分为55×0.005×10＋65×0.04×10＋75×0.03×10＋85×0.02×10＋95×0.005×10＝73(分)．‎ ‎(3)由频率分布直方图知语文成绩在[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)各分数段的人数依次为0.005×10×100＝5；0.04×10×100＝40；0.03×10×100＝30；0.02×10×100＝20．‎ 由题中给出的比例关系知数学成绩在上述各分数段的人数依次为5；40×＝20；30×＝40；20×＝25．‎ 故数学成绩在[50,90)之外的人数为100－(5＋20＋40＋25)＝10．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查频率分布直方图的应用，属于中档题. 直方图的主要性质有：（1‎ ‎）直方图中各矩形的面积之和为；（2）组距与直方图纵坐标的乘积为该组数据的频率；（3）每个矩形的中点横坐标与该矩形的纵坐标相乘后求和可得平均值；（4）直观图左右两边面积相等处横坐标表示中位数.‎ ‎20．如图，几何体是四棱锥，为正三角形，， ．‎ ‎（1）求证：；‎ ‎（2）若，为线段的中点，求证：∥平面．‎ ‎【答案】(1)见解析 (2) 见解析 ‎【解析】‎ 本题考查直线与平面平行的判定，考查线面垂直的判定定理与面面平行的判定定理的应用，着重考查分析推理能力与表达、运算能力，属于中档题．‎ ‎（1）设BD中点为O，连接OC，OE，则CO⊥BD，CE⊥BD，于是BD⊥平面OCE，从而BD⊥OE，即OE是BD的垂直平分线，问题解决；‎ ‎（2）证法一：取AB中点N，连接MN，DN，MN，易证MN∥平面BEC，DN∥平面BEC，由面面平行的判定定理即可证得平面DMN∥平面BEC，又DM⊂平面DMN，于是DM∥平面BEC；‎ 证法二：延长AD，BC交于点F，连接EF，易证AB=AF，D为线段AF的中点，连接DM，则DM∥EF，由线面平行的判定定理即可证得结论．‎ ‎(I)设中点为O，连接OC，OE，则由知，，…………2分 又已知，所以平面OCE. …………４分 所以，即OE是BD的垂直平分线，‎ 所以.…………６分 ‎(II)取AB中点N，连接，‎ ‎∵M是AE的中点，∴∥，…………８分 ‎∵△是等边三角形，∴.‎ 由∠BCD＝120°知，∠CBD＝30°，所以∠ABC＝60°+30°＝90°，即，‎ 所以ND∥BC，…………1０分 所以平面MND∥平面BEC，故DM∥平面BEC. …………12分 ‎21．在平面直角坐标系中，点，，动点满足．‎ ‎（1）求动点的轨迹的方程；‎ ‎（2）若直线和轨迹交于两点，且点在以为直径的圆内，求的取值范围．‎ ‎【答案】（1）； （2）.‎ ‎【解析】‎ ‎（1）设点P坐标，化简条件即得轨迹方程，（2）设，，利用向量数量积表示点在以为直径的圆内，联立直线方程与圆方程，利用韦达定理代入化简，解不等式得结果.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）设，因为 ‎（2）‎ ‎，设，，‎ ‎ ， 满足 故的取值范围是 ‎【点睛】‎ 直线和圆的位置关系，一般转化为直线方程与圆方程组成的方程组，利用韦达定理或求根公式进行转化.‎