【数学】2018届一轮复习人教A版（文）专题21三角函数之给值求值学案 15页

专题二十一 三角函数之给值求值 ‎【三角函数公式】 sin30°=1/2 sin45°=√2/2 sin60°=√3/2 cos30°=√3/2 cos45°=√2/2 cos60°=1/2 tan30°=√3/3 tan45°=1 tan60°=√3 cot30°=√3 cot45°=1 cot60°=√3/3 sin15°=（√6-√2）/4 sin75°=（√6+√2）/4 cos15°=（√6+√2）/4 cos75°=（√6-√2）/4（这四个可根据sin（45°±30°）=sin45°cos30°±cos45°sin30°得出） sin18°=(√5-1)/4 （这个值在高中竞赛和自招中会比较有用，即黄金分割的一半） 正弦定理：在△ABC中，a / sinA = b / sin B = c / sin C = 2R (其中，R为△ABC的外接圆的半径。)【三角函数的诱导公式（六公式）】 　　公式一：　sin(α+k*2π)=sinα；cos(α+k*2π)=cosα；tan(α+k*2π)=tanα 　　公式二：sin(π+α) = -sinα；cos(π+α) = -cosα； tan(π+α）=tanα 　　公式三：sin(-α) = -sinα，cos(-α) = cosα，tan (-α)=-tanα 　　公式四：sin(π-α) = sinα，cos(π-α) = -cosα， tan(π-α) =-tanα 　　公式五：sin(π/2-α) = cosα；cos(π/2-α) =sinα 　　由于π/2+α=π-（π/2-α），由公式四和公式五可得 　　公式六： sin(π/2+α)= cosα cos(π/2+α) = -sinα sin（π/2+α）= cosα cos（π/2+α）= -sinα tan（π/2+α）= -cotα cot（π/2+α）= -tanα sin（π/2-α）= cosα cos（π/2-α）= sinα tan（π/2-α）= cotα cot（π/2-α）= tanα sin（3π/2+α）= -cosα cos（3π/2+α）= sinα tan（3π/2+α）= -cotα cot（3π/2+α）= -tanα sin（3π/2-α）= -cos α cos（3π/2-α）= -sinα tan（3π/2-α）= cotα cot（3π/2-α）= tanα 诱导公式记背诀窍：奇变偶不变，符号看象限。‎ ‎【两角和与差的公式】‎ ‎【万能公式】‎ ‎【积化和差的四个公式】 sina*cosb=(sin(a+b)+sin(a-b))/2；cosa*sinb=(sin(a+b)-sin(a-b))/2；‎ cosa*cosb=(cos(a+b)+cos(a-b))/2；sina*sinb=-(cos(a+b)-cos(a-b))/2 　　和差化积的四个公式： sinx+siny=2sin((x+y)/2)*cos((x-y)/2)；sinx-siny=2cos((x+y)/2)*sin((x-y)/2) cosx+cosy=2cos((x+y)/2)*cos((x-y)/2)；cosx-cosy=-2sin((x+y)/2)*sin((x-y)/2)‎ ‎【三角函数式化简要遵循的"三看"原则】‎ ‎(1)一看"角".这是最重要的一点,通过角之间的关系,把角进行合理拆分与拼凑,从而正确使用公式.(2)二看"函数名称".看函数名称之间的差异,从而确定使用的公式.(3)三看"结构特征".分析结构特征,可以帮助我们找到变形得方向,常见的有"遇到分式要通分"等.‎ ‎【方法提炼】‎ ‎(1)解决给值求值问题的一般思路:①先化简需求值得式子;②观察已知条件与所求值的式子之间的联系(从三角函数名及角入手);③‎ 将已知条件代入所求式子,化简求值. (2)解决给值求角问题的一般步骤:①求出角的某一个三角函数值;②确定角的范围;③根据角的范围确定所求的角.‎ ‎【2017年高考全国Ⅲ卷，文3】‎ 已知，则=‎ ‎ A． B． C． D．‎ ‎ 【答案】A ‎ ‎ ‎【考点】二倍角的正弦公式 ‎ 【点拨】应用三角公式解决问题的三个变换角度：‎ ‎（1）变角：目的是沟通题设条件与结论中所涉及的角，其手法通常是“配凑”.‎ ‎（2）变名：通过变换函数名称达到减少函数种类的目的，其手法通常有“切化弦”、“升幂与降幂”等.‎ ‎（3）变式：根据式子的结构特征进行变形，使其更贴近某个公式或某个期待的目标，其手法通常有：“常值代换”、“逆用或变用公式”、“通分或约分”、“分解与组合”、“配方与平方”等.‎ 答题思路 ‎【命题意图】 高考对本部分内容的考查以能力为主，重点考查三角恒等变换..‎ ‎【命题规律】 高考试题对该部分内容考查的主要角度有三种：（1）给角求值；（2）给值求值；（3）给值求角.‎ ‎【答题模板】解答本类题目，一般考虑如下两步：‎ 第一步：观察已知条件中的角和所求角之间的联系 所求角是条件中的角的二倍 第二步：利用二倍角公式及同角三角函数关系，用已知条件表示所求的，代入数值即可 由二倍角公式，再有同角三角函数，所以，把代入上式即可.‎ ‎【方法总结】‎ 1. 三角函数求值有三类 ‎ (1)“给角求值”：一般所给出的角都是非特殊角，从表面上来看是很难的，但仔细观察非特殊角与特殊角总有一定关系，解题时，要利用观察得到的关系，结合公式转化为特殊角并且消除非特殊角的三角函数而得解．‎ ‎ (2)“给值求值”：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系．‎ ‎ (3)“给值求角”：实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，确定角．‎ ‎2.应用三角公式解决求值问题的三个变换角度：‎ ‎（1）变角：目的是沟通题设条件与结论中所涉及的角，其手法通常是“配凑”.‎ ‎（2）变名：通过变换函数名称达到减少函数种类的目的，其手法通常有“切化弦”、“升幂与降幂”等.‎ ‎（3）变式：根据式子的结构特征进行变形，使其更贴近某个公式或某个期待的目标，其手法通常有：“常值代换”、“逆用或变用公式”、“通分或约分”、“分解与组合”、“配方与平方”等.‎ ‎1．【2017年高考全国Ⅰ卷，文15】已知，tan α=2，则=__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 试题分析：由得 又 所以 因为 所以 因为 所以 ‎【考点】三角函数求值 ‎【点拨】三角函数求值的三种类型 ‎（1）给角求值：关键是正确选用公式，以便把非特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数．‎ ‎（2）给值求值：关键是找出已知式与待求式之间的联系及函数的差异．‎ ‎①一般可以适当变换已知式，求得另外函数式的值，以备应用；‎ ‎②变换待求式，便于将已知式求得的函数值代入，从而达到解题的目的．‎ ‎（3）给值求角：实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，确定角．‎ ‎2.【2017年高考山东卷，文4】已知,则 A. B. C. D.‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【考点】二倍角公式 ‎【点拨】(1)三角函数式的化简与求值要遵循“三看”原则,一看角,二看名,三看式子结构与特征．(2)三角函数式化简与求值要注意观察条件中角之间的联系(和、差、倍、互余、互补等),寻找式子和三角函数公式之间的共同点．‎ ‎3. 【2017年高考江苏卷5】若 则 ▲ .‎ ‎【答案】 ‎ ‎【考点】两角和正切公式 ‎【点拨】三角函数求值的三种类型 ‎(1)给角求值：关键是正确选用公式，以便把非特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数.‎ ‎(2)给值求值：关键是找出已知式与待求式之间的联系及函数的差异.‎ ‎①一般可以适当变换已知式，求得另外函数式的值，以备应用；‎ ‎②变换待求式，便于将已知式求得的函数值代入，从而达到解题的目的.‎ ‎(3)给值求角：实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，确定角.‎ ‎4．【2017年高考浙江卷18】已知函数f（x）=sin2x–cos2x– sin x cos x（xR）．‎ ‎（Ⅰ）求的值．‎ ‎（Ⅱ）求的最小正周期及单调递增区间．‎ ‎【答案】（Ⅰ）2；（Ⅱ）最小正周期为，单调递增区间为．‎ ‎【解析】‎ ‎（Ⅱ）由与得 所以的最小正周期是 由正弦函数的性质得 解得 所以的单调递增区间是．‎ ‎【考点】三角函数求值、三角函数的性质 ‎【点拨】本题主要考查了三角函数的化简，以及函数的性质，属于基础题，强调基础的重要性，是高考中的常考知识点；对于三角函数解答题中，当涉及到周期，单调性，单调区间以及最值等都属于三角函数的性质，首先都应把它化为三角函数的基本形式即，然后利用三角函数的性质求解．‎ ‎5．【2017广东佛山二模】已知，为锐角，且，，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎6.【2017四川泸州四诊】已知，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】由题意： ，‎ 则： .‎ 本题选择C选项.‎ ‎【点拨】：给值求值问题一般是正用公式将所求“复角”展开，看需要求相关角的哪些三角函数值，然后根据角的范围求出相应角的三角函数值，代入展开式即可．‎ ‎7.【2017哈师大附中三模】已知，则的值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】，故选C.‎ ‎8．【2017淮北第一中学最后一卷】已知， ，则=（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】，则， ，所以， ， ，故选B．‎ ‎【点拨】：应用两角和与差的三角函数公式时，要注意“单角”和“复角”相互转化，注意角的一般变化规律，如， 等等角的变换．‎ ‎9．【2017湖南省三模】若，且，则的值为（ ）‎ A. B. C. D. 1‎ ‎【答案】C ‎10.【2017福建省宁德三模】已知，则的值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】，故选B.‎ ‎11．【2017河北衡水中学三模】已知，则的值等于（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】因为,所以.‎ ‎，故选A ‎12．【2017江西南昌二模】已知，则_________．‎ ‎【答案】．‎ ‎13．【2017湖南长沙5月模考试】在锐角中， ， ， ，则__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】,‎ 因为, (舍)， ，‎ 由,‎ ‎.‎ ‎14．【2017广东汕头三模】已知为锐角，且，则__________．‎ ‎【答案】 ‎ ‎15.【2016年高考全国Ⅰ卷，文14】已知θ是第四象限角，且sin(θ+)=，则tan(θ–)= .‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 试题分析：由题意，‎ 解得所以，‎ ‎【考点】三角变换 ‎【点拨】三角函数求值,若涉及开方运算,要注意根式前正负号的取舍,同时要注意角的灵活变换.‎ ‎16.【2016年高考全国Ⅱ卷，文15】△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，a=1，则b=____________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 试题分析：因为，且为三角形的内角，所以，，又因为，所以. ‎ ‎【考点】 正弦定理，两角和、差的三角函数公式 ‎【点拨】在解有关三角形的题目时，要有意识地考虑用哪个定理更合适，或是两个定理都要用，要抓住能够利用某个定理的信息．一般地，如果式子中含有角的余弦或边的二次式时，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．‎ ‎ 17.【2016年高考全国Ⅲ卷，文6】若 ，则 ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 试题分析：．‎ ‎【考点】同角三角函数的基本关系、二倍角公式 ‎【方法点拨】三角函数求值：①“给角求值”将非特殊角向特殊角转化，通过相消或相约消去非特殊角，进而求出三角函数值；②“给值求值”关键是目标明确，建立已知和所求之间的联系．‎ ‎18.【2016年高考山东卷，文17】‎ 设 .‎ ‎（I）求的单调递增区间；‎ ‎（II）把的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再把得到的图象向左平移个单位，得到函数的图象，求的值.‎ ‎【答案】（I）的单调递增区间是（或）；‎ ‎（II）‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（I）化简,根据正弦函数的单调性可得的单调递增区间；‎ ‎（II）由平移后得进一步可得 试题解析：（I）由$来&源：ziyuanku.com ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 由得 所以，的单调递增区间是（或）. ‎ ‎【考点】和差倍半的三角函数，三角函数的图象和性质 ‎【点拨】本题主要考查和差倍半的三角函数、三角函数的图象和性质、三角函数图象的变换.此类题目是三角函数问题中的典型题目，可谓相当经典.解答本题，关键在于能利用三角公式化简三角函数，进一步讨论函数的性质，利用“左加右减、上加下减”的变换原则，得出新的函数解析式并求值.本题较易，能较好地考查考生的基本运算求解能力及对复杂式子的变形能力等.‎ ‎19．【2016年高考四川卷，文11】= .‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 试题分析Ziyuanku.com：由三角函数的诱导公式得.‎ ‎【考点】三角函数的诱导公式 ‎【点拨】本题也可以看作来自于课本的题，直接利用课本公式解题，这告诉我们一定要立足于课本．有许多三角函数的求值问题都是通过三角函数公式把一般的三角函数求值化为特殊角的三角函数求值而得解．‎ ‎20．【2016年高考上海卷，文8】方程在区间上的解为___________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】试题分析：‎ 化简得：，所以，解得或（舍去），又，所以.‎ ‎【考点】二倍角公式及三角函数求值.‎ ‎【点拨】已知三角函数值求角的基本思路是通过化简得到角的某种三角函数值，结合角的范围求解. 本题难度不大，能较好地考查考生的逻辑推理能力、基本计算能力等.‎