数学理卷·2018届四川省双流中学高三11月月考（2017 10页

双流中学高2018级11月月考试题 数学(理工农医类) 第Ⅰ卷（共60分）‎ 一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1. ( )‎ A． B． C． D． 2.已知全集集合，，则( )‎ A． B. C. D.‎ ‎3.已知是空间不同的三条直线，则下列四个命题正确的是( )‎ ‎① ②‎ ‎③ ④ A．①④ B．②④ C．①③ D．①③④‎ ‎4.若等比数列的首项为，且，则公比等于( )‎ A．-3 B．3 C．2 D．-2‎ ‎5.宋元时期数学名著《算学启蒙》中有关于“松竹并生”的问题: 松长五尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等.下图是源于其思想的一个程序框图，若输入的分别为5、2，则输出的( )  ‎ ‎ A. 2 B. 3 C. 4 D.‎ ‎ 5 6.若点在直线上，则( ) A．0 B． C． D．‎ ‎7.已知变量满足，则的最大值是( ) A． B．2 C. -2 D．-8‎ ‎8.下列命题正确的个数是( )‎ ‎①命题“”的否定是“”；‎ ‎②函数的最小正周期为是“”的必要不充分条件； ③在上恒成立在上恒成立； ④“平面向量与的夹角是钝角”的充分必要条件是“”． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 9.若在上是减函数，则的取值范围是( ) A. B. C. D. ‎ ‎10.若将函数的图象向左平移个单位长度，平移后的图象关于点对称，则函数在上的最小值( ) A. B. C. D. 11.已知双曲线，过点的直线与相交于两点，且的中点为，则双曲线的离心率为( ) A. 2 B. C. D. ‎ ‎12.若存在，使得关于的方程成立，其中为自然对数的底数，则实数的取值范围是( )‎ A. 　　　B. C. D. ‎ 第Ⅱ卷（共90分）‎ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13.的展开式中，的系数为 ．‎ ‎14.直线与圆相交于两点，若弦的中点为，则直线的方程为 ．‎ ‎15.在中，角所对的边分别为，若，，且，则的面积是 ．‎ ‎16.已知为的外心，其外接圆半径为1，且.若，则的最大值为 ．‎ 三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程成演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．‎ ‎17.设数列的前项和为，且 ‎ ‎(Ⅰ)求数列的通项公式； (Ⅱ)设，求数列的前项和． 18.某商场为吸引顾客消费推出一项优惠活动．活动规则如下:消费额每满100元可转动如图所示的转盘一次(指针停在任一位置的可能性相等)，并获得相应金额的返券．若指针停在区域返券60元；停在区域返券30元；停在区域不返券．例如:消费218元，可转动转盘2次，所获得的返券金额是两次金额之和． ‎ ‎(Ⅰ)若某位顾客消费128元，求返券金额不低于30元的概率； (Ⅱ)若某位顾客恰好消费280元，并按规则参与了活动，他获得返券的金额记为 ‎(元)．求随机变量的分布列和数学期望． 19.在四棱锥中，底面为平行四边形，，点在底面内的射影在线段上，且，，为的中点，在线段上，且 .‎ ‎(Ⅰ)当时，证明:平面平面；‎ ‎(Ⅱ)当平面与平面所成二面角的正弦值为时，求四棱锥的体积. 20.已知点在圆上，而为在轴上的投影，且点满足，设动点的轨迹为曲线.‎ ‎(Ⅰ)求曲线的方程； (Ⅱ)若是曲线上两点，且，为坐标原点，求的面积的最大值. 21.设函数 (Ⅰ)研究函数的极值点； (Ⅱ)当时，若对任意的，恒有，求的取值范围； (Ⅲ)证明: ．‎ 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.‎ ‎22.选修4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系中，直线过定点，且倾斜角为，以坐标原点为极点，以轴正半轴为极轴，建立极坐标系，已知曲线的极坐标方程为 ‎． (Ⅰ)写出的参数方程和的直角坐标方程；‎ ‎(Ⅱ)若直线与曲线交于两点，且，求的值． 23.选修4-5: 不等式选讲 设函数的最小值是-3. (Ⅰ)求的值； (Ⅱ)若，是否存在正实数满足？并说明理由．‎ 试卷答案 一、选择题 ‎1-5: DCABC 6-10: DABCD 11、12：BA 二、填空题 ‎13. 240 14. 15. 16. ‎ 三、解答题 ‎17.解:(Ⅰ)由 ①‎ ‎ ②（）‎ ‎①-②得，∴，‎ 又当时，，即，(符合题意) ∴是首项为1，公比为3 的等比数列，∴．‎ ‎(Ⅱ)由(Ⅰ)得: ∴， ③‎ ‎， ④‎ ‎③-④得：‎ ‎∴．‎ ‎18.解:设指针落在区域分别记为事件.则 (Ⅰ)消费128元的顾客，只能转一次，若返券金额不低于30 元，则指针落在或区域，其概率，‎ 即消费128元顾客返券金额不低于30元概率是． (Ⅱ)该顾客可转动转盘2次.随机变量的可能值为0，30，60，90，120. ‎ ‎；；；‎ ‎；；‎ 所以，随机变量的分布列为：‎ ‎0‎ ‎30‎ ‎60‎ ‎90‎ ‎120‎ 其数学期望.‎ ‎19.(Ⅰ)证明: 连接，作交于点，则四边形为平行四边形，， 在 中，，，， 由余弦定理得.所以，从而有.在中，分别是的中点，则，因为，所以.由平面，平面，得，又，，得平面，又平面，所以平面平面． (Ⅱ)以为坐标原点，所在直线分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，. 平面的一个法向量为.设平面的法向量为，由，，得，令，得. 由题意可得， ‎ 解得，所以四棱锥的体积.‎ ‎20.解:(Ⅰ)设，∴，∵轴，所以， 又设，由有代入有.即曲线的方程为 (Ⅱ)设，，直线方程为: ，联立得 ，故，，‎ 由，得，‎ 故原点到直线的距离，∴，令，则 ‎，又∵，‎ 当时，．‎ 当斜率不存在时，不存在，综合上述可得面积的最大值为1. 21.解:(Ⅰ) ∵，∴的定义域为，‎ 当时，，在上无极值点 当时，令，∴，随的变化情况如下表:‎ ‎+‎ ‎0‎ ‎-‎ ‎↗‎ 极大值 ‎↘‎ 从上表可以看出：当 时有唯一的极大值点 ‎(Ⅱ)当时在处取得极大值也是最大值，要使恒成立， 只需 ‎∴，即的取值范围为 (Ⅲ) 令，由(Ⅱ)知，，∴，∵‎ ‎∴，∴‎ ‎，∴结论成立 ‎22.选项4-4：坐标系及参数方程 解:(Ⅰ) ‎ ‎(Ⅱ)把直线方程代入抛物线方程得: ‎ ‎，‎ ‎∴，∴，∴∴或 ‎23.选项4-5: 不等式选讲 解：(Ⅰ)因为，‎ 所以 ‎(Ⅱ) ∵，‎ ‎∵‎ ‎∴，矛盾．‎ 所以不存在正实数满足条件．‎