江西省赣州市石城中学2020届高三下学期第四次周考数学（理） 21页

理科数学试卷 满分：150分 时间：120分钟 命题范围：高考范围 下次周考范围：高考范围 一、选择题：（本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）‎ ‎1．若复数满足（为虚数单位），则=（ ）‎ A．1 B．2 C． D．‎ ‎2．已知{an}是公比为q的等比数列，且a1，a3，a2成等差数列，则q＝ ( ).‎ A．1或－ B．1 C．－ D．－2[‎ ‎3．已知，其中为锐角，若与夹角为，则 ‎（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎4．已知，为的导函数，则的图象是（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎5．抛物线:的焦点为，是抛物线上的点，若的外接圆与抛物线的准线相切，且该圆的面积为，则的值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎6．下列四种说法正确的个数有（ ）‎ ‎ ①若为三个集合，满足，则一定有；‎ ‎ ②函数的图像与垂直于轴的直线的交点有且仅有一个；‎ ‎ ③若,则； ‎ ‎ ④若函数在和都为增函数，则在为增函数.‎ A．个 B．个 C． 个 D．个 ‎7．记者要为5名志愿者和他们帮助的2位老人拍照，要求排成一排，2位老人相邻但不排在两端，不同的排法共有（ ）‎ A．1440种 B．960种 C．720种 D．480种 ‎8．已知数列的前项和为,则数列的前10项和为 （ ）‎ A．56 B.58 C.62 D．60‎ ‎9．（错题再现）如图为我国数学家赵爽（约3世纪初）在为《周髀算经》作注时验证勾股定理的示意图，现在提供5种颜色给其中5个小区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不相同，则不同的涂色方案共有（ ）种 A．120 B．260 C．340 D．420‎ ‎10．设函数，则满足的的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎11．（错题再现）已知函数，，若与的图象上分别存在点，使得关于直线对称，则实数的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎12．已知点P是△ABC的中位线EF上任意一点，且EF∥BC，实数x,y满足+x+y=，设△ABC、 △PBC、△PCA、△PAB的面积分别为S、S、S、S，记,,, 则·取最大值时，3x+y的值为( )‎ A． B． C．1 D．2‎ 二、 填空题：（本大题共4题，每小题5分，共20分.）‎ ‎13．若将函数表示为其中，‎ ‎，，…，为实数，则＝______________．‎ ‎14．对于正项数列，定义为的“光阴”值，现知某数列的“光阴”值为，则数列的通项公式为_____．‎ ‎15．在平面直角坐标系中，从六个点：A(0,0)、B(2,0)、C(1,1)、D(0,2)、E(2,2)、F(3,3)中任取三个，这三点能构成三角形的概率是 　　　 （结果用分数表示）.‎ ‎16．（错题再现）把边长为1的正方形如图放置，、别在轴、轴的非负半轴上滑动．则的最大值是____________．‎ ‎ ‎ 三、解答题：（共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）‎ ‎17．设数列的前n项和为Sn=2n2，为等比数列，且 ‎（1）求数列和的通项公式；‎ ‎（2）设，求数列前n项和Tn.‎ ‎18．已知向量， ，且函数 ‎（1）当函数在上的最大值为3时，求的值；‎ ‎（2）在（Ⅰ）的条件下，若对任意的，函数，的图像与直线有且仅有两个不同的交点，试确定的值.并求函数在上的单调递减区间.‎ ‎19．已知长方形中，，，现将长方形沿对角线折起，使，得到一个四面体，如图所示. ‎ ‎（1）试问：在折叠的过程中，异面直线与能否垂直？若能垂直，求出相应的的值；若不垂直，请说明理由；‎ ‎（2）当四面体体积最大时，求二面角的余弦值.‎ ‎20．已知函数，.‎ ‎（1）当时，讨论的单调性；‎ ‎（2）设，若关于的不等式在上有解，求的取值范围.‎ ‎21．给定椭圆，称圆心在坐标原点O，半径为的圆是椭圆C的“伴随圆”，已知椭圆C的两个焦点分别是.‎ ‎（1）若椭圆C上一动点满足，求椭圆C及其“伴随圆”的方程；‎ ‎（2）在（1）的条件下，过点作直线l与椭圆C只有一个交点，且截椭圆C的“伴随圆”所得弦长为，求P点的坐标；‎ ‎（3）已知，是否存在a，b，使椭圆C的“伴随圆”上的点到过两点的直线的最短距离.若存在，求出a，b的值；若不存在，请说明理由.‎ 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.‎ 选修4-4：坐标系与参数方程 ‎22．在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数）.以原点为极点，以轴为非负半轴为极轴建立极坐标系，两坐标系相同的长度单位.圆的方程为被圆截得的弦长为.‎ ‎（1）求实数的值；‎ ‎（2）设圆与直线交于点，若点的坐标为，且，求的值.‎ 选修4-5：不等式选讲 ‎23．已知实数正数x, y满足．‎ ‎（1）解关于x的不等式； ‎ ‎（2）证明：‎ 一、选择题：（本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）‎ ‎1．若复数满足（为虚数单位），则=（ C ）‎ A．1 B．2 C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 试题分析：因为，所以因此 ‎2．已知{an}是公比为q的等比数列，且a1，a3，a2成等差数列，则q＝ ( A ).‎ A．1或－ B．1 C．－ D．－2[‎ ‎【答案】A.‎ ‎【解析】 根据题意，有，因为，所以，解得1或－.‎ ‎3.已知，其中为锐角，若与夹角为，则（ A ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【详解】‎ 由，与夹角为，‎ 则，‎ 所以，为锐角，解得.‎ ‎.‎ 故选A.‎ ‎4．已知，为的导函数，则的图象是（ A ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】A ‎【详解】‎ 由f（x）＝，‎ ‎∴，它是一个奇函数，其图象关于原点对称，故排除B，D．‎ 又，当﹣＜x＜时，cosx＞，∴＜0，‎ 故函数y＝在区间 上单调递减，故排除C．‎ 故选A．‎ ‎5．抛物线:的焦点为，是抛物线上的点，若的外接圆与抛物线的准线相切，且该圆的面积为，则的值为（ B ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【详解】‎ 由题意，容易知，，‎ 故外接圆圆心的横坐标为 因为外接圆与准线相切，‎ 故可得 解得.‎ 故选：B.‎ ‎6．下列四种说法正确的个数有（ C ）‎ ‎ ①若为三个集合，满足，则一定有；‎ ‎ ②函数的图像与垂直于轴的直线的交点有且仅有一个；‎ ‎ ③若,则； ‎ ‎ ④若函数在和都为增函数，则在为增函数.‎ A．个 B．个 C． 个 D．个 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎①若为三个集合，满足，则一定有，正确；②根据函数的定义知函数的图象与垂直于轴的直线的交点至多有一个，正确；③若,则，正确；④对于函数 ，可知函数在和都为增函数，则在不是增函数，函数在和都为增函数，则在为增函数错误，故选C.‎ ‎7．记者要为5名志愿者和他们帮助的2位老人拍照，要求排成一排，2位老人相邻但不排在两端，不同的排法共有（ B ）‎ A．1440种 B．960种 C．720种 D．480种 ‎【答案】B ‎【解析】 5名志愿者先排成一排，有种方法，2位老人作一组插入其中，且两位老人有左右顺序，共有=960种不同的排法，选B．‎ ‎8．已知数列的前项和为,则数列的前10项和为 （ D ）‎ A．56 B.58 C.62 D．60‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 试题分析：当时，，当时，，则前10项依次为所以数列 的前10项和为60.‎ ‎9．（错题再现）如图为我国数学家赵爽（约3世纪初）在为《周髀算经》作注时验证勾股定理的示意图，现在提供5种颜色给其中5个小区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不相同，则不同的涂色方案共有（ D ）种 A．120 B．260 C．340 D．420‎ ‎【答案】D ‎【解析】 由题意可知上下两块区域可以相同，也可以不同，‎ 则共有 故选 ‎10．设函数，则满足的的取值范围是（ C ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【详解】 令，则，当时，，由的导数为 ‎，当时，在递增，即有，则方程无解；当时，成立，由，即，解得且；或解得，即为，综上所述实数的取值范围是，故选C.‎ ‎【方法点晴】‎ 本题主要考查了分段函数的综合应用，其中解答中涉及到函数的单调性、利用导数研究函数的单调性、函数的最值等知识点的综合考查，注重考查了分类讨论思想和转化与化归思想，以及学生分析问题和解答问题的能力，试题有一定的难度，属于难题，本题的解答中构造新的函数，利用新函数的性质是解答的关键.‎ ‎11．（错题再现）已知函数，，若与的图象上分别存在点，使得关于直线对称，则实数的取值范围是（B ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 设为函数上的一点,则关于直线的对称点为在函数上,所以,,则,所以在上为减函数,在上为增函数,所以当时,当时,故,选B.‎ 考点：1.函数图象的对称；2.利用导数研究函数的最值.‎ ‎【思路点晴】在本题中,先由两函数的图象存在点关于直线对称,则设点为函数上,关于直线的对称点为在函数上,得到,再利用导数求出的范围来.本题注意从对称找突破口.‎ ‎12．已知点P是△ABC的中位线EF上任意一点，且EF∥BC，实数x,y满足+x+y=，设△ABC、 △PBC、△PCA、△PAB的面积分别为S、S、S、S，记,,, 则·取最大值时，3x+y的值为( D )‎ A． B． C．1 D．2‎ ‎【答案】D ‎【解析】由条件可知，，那么 ，等号成立的条件为 ，说明点P在线段EF的中点处，此时，‎ ‎ ，所有x=y=，3x+y=2，故选D.‎ 二、 填空题：（本大题共4题，每小题5分，共20分.）‎ ‎13．若将函数表示为其中，，，…，为实数，则＝______________．‎ ‎【答案】10‎ ‎【解析】‎ 法一：由等式两边对应项系数相等．‎ 即：．‎ 法二：对等式：两边连续对x求导三次得：，再运用赋值法，令得：，即 ‎14．对于正项数列，定义为的“光阴”值，现知某数列的“光阴”值为，则数列的通项公式为_____．‎ ‎【答案】‎ ‎【详解】‎ ‎∵‎ ‎∴‎ ‎∵‎ ‎∴①‎ ‎∴②‎ ‎①-②得 ‎∴‎ 故答案为：‎ ‎15．在平面直角坐标系中，从六个点：A(0,0)、B(2,0)、C(1,1)、D(0,2)、E(2,2)、F(3,3)中任取三个，这三点能构成三角形的概率是 　　　 （结果用分数表示）.‎ ‎【答案】‎ ‎【详解】已知六个点任取三个不同取法总数为：；可构成三角形的个数为：，所以所求概率为：.‎ ‎16．（错题再现）把边长为1的正方形如图放置，、别在轴、轴的非负半轴上滑动．则的最大值是____________．‎ ‎ ‎ ‎【答案】2‎ ‎【解析】‎ 设，则，‎ ‎，所以．‎ 点睛：处理数量积问题主要手段有：定义法、代数法、几何法、基底法、极化恒等式等等，本题引入角参数，利用坐标法把问题转化为三角函数的最值问题.‎ 三、解答题：（共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）‎ ‎17．设数列的前n项和为Sn=2n2，为等比数列，且 ‎（1）求数列和的通项公式；‎ ‎（2）设，求数列前n项和Tn.‎ ‎【答案】（1）‎ ‎（2），‎ ‎【解析】：（1）当 故{an}的通项公式为的等差数列.————3分 设的公比为则 故，即的通项公式为 ————6分 ‎（2） ————7分 ‎ —————8分 两式相减得 ‎ ‎ ‎————12分 点评：本题考查了等差、等比数列的概念及通项公式、数列前N项和的求法，要求学生掌握最常用的求解方法，区别数列求和的类型 ‎18．已知向量， ，且函数 ‎（1）当函数在上的最大值为3时，求的值；‎ ‎（2）在（Ⅰ）的条件下，若对任意的，函数，‎ 的图像与直线有且仅有两个不同的交点，试确定的值.并求函数在上的单调递减区间.‎ ‎【答案】(1) ；(2) 函数在上的单调递减区间为.‎ ‎【解析】‎ ‎（1）由已知得， 时， ————3分 当时， 的最大值为，所以；‎ 当时， 的最大值为，故（舍去）‎ 综上：函数在上的最大值为3时， ————6分 ‎（2）当时， ，‎ 由的最小正周期为可知， 的值为.‎ 又由，可得，‎ ‎，∵，‎ ‎∴函数在上的单调递减区间为. ————12分 ‎19．已知长方形中，，，现将长方形沿对角线折起，使，得到一个四面体，如图所示. ‎ ‎（1）试问：在折叠的过程中，异面直线与能否垂直？若能垂直，求出相应的的值；若不垂直，请说明理由；‎ ‎（2）当四面体体积最大时，求二面角的余弦值.‎ ‎【答案】（1）1；（2）.‎ ‎【详解】‎ ‎(1)若AB⊥CD，因为AB⊥AD，AD∩CD＝D，‎ 所以AB⊥面ACD⇒AB⊥AC. ‎ 由于AB=1, AD=BC= ,AC=,‎ 由于AB⊥AC.,所以AB2＋a2＝BC,‎ 所以12＋a2＝()2⇒a＝1, ‎ 所以在折叠的过程中，异面直线AB与CD可以垂直,此时的值为1 ————5分 ‎(2)要使四面体A－BCD体积最大，因为△BCD面积为定值，‎ 所以只需三棱锥A－BCD的高最大即可，此时面ABD⊥面BCD. ————6分 过A作AO⊥BD于O，则AO⊥面BCD，‎ 以O为原点建立空间直角坐标系 (如图)，‎ 则易知,‎ 显然，面BCD的法向量为 , ————8分 设面ACD的法向量为＝(x，y，z),‎ 因为 所以，令y＝，得＝(1，，2)， ————10分 故二面角A－CD－B的余弦值即为. ——12分 ‎【点睛】‎ 传统方法求线面角和二面角，一般采用“一作，二证、三求”三个步骤，首先根据二面角的定义结合几何体图形中的线面关系作出线面角或二面角的平面角，进而求出；而角的计算大多采用建立空间直角坐标系，写出向量的坐标，利用线面角和二面角公式，借助法向量求空间角.‎ ‎20．已知函数，.‎ ‎（1）当时，讨论的单调性；‎ ‎（2）设，若关于的不等式在上有解，求的取值范围.‎ ‎【答案】(1) 函数在上单调递增，在上单调递减;(2) 的取值范围为.‎ ‎【解析】 （1）由题意知，，‎ 令，当时，恒成立，‎ ‎∴当时，；当时，，‎ ‎∴函数在上单调递增，在上单调递减. ————4分 ‎（2）∵，∴，‎ 由题意知，存在，使得成立.‎ 即存在，使得成立， ————5分 令，‎ ‎∴. ————6分 ‎①时，，则，∴函数在上单调递减，‎ ‎∴成立，解得，∴； ————8分 ‎②当时，令，解得；令，解得，‎ ‎∴函数在上单调递增，在上单调递减， ‎ 又，∴，解得，∴无解； ——10分 ‎③当时，，则，∴函数在上单调递增，‎ ‎∴，不符合题意，舍去； ‎ 综上所述，的取值范围为. ————12分 ‎21．给定椭圆，称圆心在坐标原点O，半径为的圆是椭圆C的“伴随圆”，已知椭圆C的两个焦点分别是.‎ ‎（1）若椭圆C上一动点满足，求椭圆C及其“伴随圆”的方程；‎ ‎（2）在（1）的条件下，过点 作直线l与椭圆C只有一个交点，且截椭圆C的“伴随圆”所得弦长为，求P点的坐标；‎ ‎（3）已知，是否存在a，b，使椭圆C的“伴随圆”上的点到过两点的直线的最短距离.若存在，求出a，b的值；若不存在，请说明理由.‎ ‎【答案】（1）椭圆方程，伴随圆方程；（2）；（3）存在，．‎ ‎【解析】‎ ‎【详解】‎ 试题分析：（1）这是基本题，题设实质已知，要求椭圆标准方程，已知圆心及半径求圆的方程；（2）为了求点坐标，我们可设直线方程为，直线与椭圆只有一个公共点，即直线的方程与椭圆的方程联立方程组，这个方程组只有一个解，消元后利用可得的一个方程，又直线截圆所得弦长为，又得一个关于的方程，联立可解得；（3）这是解析几何中的存在性问题，解决方法都是假设存在，然后去求出这个，能求出就说明存在，不能求出就说明不存在．解法如下，写出过点的直线方程，求出圆心到这条直线的距离为，可见当圆半径不小于3时，圆上的点到这条直线的最短距离为0，即当时，，但由于，无解，当圆半径小于3时，圆上的点到这条直线的最短距离为，由此得，又有，可解得，故存在．‎ 解析：（1）由题意：，则，所以椭圆的方程为， ‎ 其“伴随圆”的方程为． ————3分 ‎（2）设直线的方程为 由得 ‎ 则有得， ① ————5分 由直线截椭圆的“伴随圆”所得弦长为，可得 ‎，得②‎ 由①②得，又，故，所以点坐标为． ——7分 ‎（3）过的直线的方程为：，‎ 即，得 ————8分 由于圆心到直线的距离为 ‎， ————9分 当时，，但，所以，等式不能成立；‎ 当时，，‎ 由得所以 因为，所以，‎ 得．所以 ————12分 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.‎ 选修4-4：坐标系与参数方程 ‎22．在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数）.以原点为极点，以轴为非负半轴为极轴建立极坐标系，两坐标系相同的长度单位.圆的方程为被圆截得的弦长为.‎ ‎（1）求实数的值；‎ ‎（2）设圆与直线交于点，若点的坐标为，且，求的值.‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【详解】‎ （1） 由得即. ‎ 直线的普通方程为， ————2分 被圆截得的弦长为，所以圆心到的距离为，即解得. ————5分 ‎（2）法1：当时，将的参数方程代入圆的直角坐标方程得，‎ ‎，即，由于，故可设是上述方程的两实根，所以 ————7分 又直线过点，故由上式及的几何意义得， . ——10分 法2：当时点，易知点在直线上. 又，‎ 所以点在圆外.联立消去得，.‎ 不妨设，‎ 所以. ————10分 ‎23．[选修4-5：不等式选讲]‎ 已知实数正数x, y满足．‎ ‎（1）解关于x的不等式； ‎ ‎（2）证明：‎ ‎【答案】(1).(2)见解析.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）‎ ‎ ‎ ‎ ——————3分 解得，所以不等式的解集为 ——————5分 ‎（2）解法1： 且， ‎ ‎ . ‎ 当且仅当时，等号成立. ——————10分 解法2： 且，‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 当且仅当时，等号成立. ————10分