2018-2019学年河北省衡水中学四川分校•遂中实验校高二上学期第二学段考试数学（理）试题 Word版 8页

衡水中学四川分校·遂中实验校高2020届第三期第二学段考试 数学科试题（理科）‎ 出题人：何劲涛 审题人：任林涛 考试时间：120分钟 总分：150分 一、 选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）‎ ‎1．直线经过点（0，2）和点（3，0），则它的斜率为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎2．若两直线l1, l2的倾斜角分别为 与，则下列四个命题中正确的是（ ）‎ A. 若<，则两直线的斜率：k1 < k2 B. 若=，则两直线的斜率：k1= k2 ‎ C. 若两直线的斜率：k1 < k2 ，则< D. 若两直线的斜率：k1= k2 ，则=‎ ‎3．与直线3x﹣4y+5=0关于y轴对称的直线方程是（　　）‎ A．3x+4y+5=0 B．3x+4y﹣5=0 C．3x﹣4y+5=0 D．3x﹣4y﹣5=0‎ ‎4．已知平面，点,,直线，则直线与的位置关系是（　　）‎ A．平行 B．相交 C．异面 D．无法确定 ‎5． 执行如图所示的程序框图，输出的结果是 A. B． C. D．‎ ‎6．直线被圆截得的弦长为（ ）.‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎7．若实数，满足，则目标函数的最大值为 A．18 B．17 C．16 D．15‎ ‎8．已知是两个不同的平面，下列四个条件中能推出的是（　　）‎ ‎①存在一条直线；‎ ‎②存在一个平面；‎ ‎③存在两条平行直线；‎ ‎④存在两条异面直线．‎ A．①③ B．②④ C．①④ D．②③‎ ‎9．若圆与圆外切，则（ ）.‎ A. B. C. D. ‎ ‎10． 已知一几何体的三视图如图所示，俯视图是一个等腰直角三角形和半圆，则该几何体的体积为 A. B． C. D．‎ ‎11．如果圆x2+y2+2m(x+y)+2m2﹣8=0上总存在到点(0,0)的距离为的点，则实数m的取值范围是（ ）‎ A .[﹣1，1] B.（﹣3，3） ‎ C. ‎（﹣3，﹣1）∪（1，3） D.[﹣3，﹣1]∪[1，3] ‎ ‎12.如图在棱长为1的正方体中，点E，F分别是棱BC，的中点，P是侧面内一点，若∥平面AEF，则线段长度的取值范围是（ ）‎ A、 B、 ‎ C、 D、 ‎ 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）‎ ‎13．已知,，则间的距离为　 　．‎ ‎14．一个水平放置的三角形的斜二侧直观图是等腰直角三角形A′B′O′，若O′B′=1，那么原△ABO的面积是　 　．‎ ‎15.过点作圆的两条切线，切点为则　 ． ‎ ‎16．如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1，则下列四个命题：‎ ‎①P在直线BC1上运动时，三棱锥A﹣D1PC的体积不变；‎ ‎②P在直线BC1上运动时，直线AP与平面ACD1所成角的大小不变；‎ ‎③P在直线BC1上运动时，二面角P﹣AD1﹣C的大小不变；‎ ‎④M是平面A1B1C1D1上到点D和C1距离相等的点，则M点的轨迹是过D1点的直线；其中正确的命题编号是　 　．‎ 三、解答题（本大题共6小题，第17题10分，其余每题12分，共70分）‎ ‎17.已知直线l过直线x﹣y﹣1=0与直线2x+y﹣5=0的交点P．‎ ‎（1）若l与直线x+3y﹣1=0垂直，求l的方程；‎ ‎（2）点A（﹣1，3）和点B（3，1）到直线l的距离相等，求直线l的方程．‎ ‎18．如图,已知点P是平行四边形ABCD所在平面外一点,M、N分别是AB、PC的中点.‎ ‎(1)求证:MN∥平面PAD;‎ ‎ (2)在PB上确定一个点Q,使平面MNQ∥平面PAD.‎ ‎19.中，顶点，AC边所在直线方程为，AB边上的高所在直线方程为．‎ ‎（1）求AB边所在直线的方程； （2）求AC边的中线所在直线的方程．‎ ‎20.如图，在四棱锥中，底面，为的中点，底面为直角梯形，，，且．‎ ‎（1）求证：平面；‎ ‎（2）若与平面所成角的正弦值为，‎ 求四棱锥的体积．‎ ‎21.已知圆C经过点A（1，3），B（2，2），并且直线m：3x﹣2y=0平分圆C．‎ ‎（1）求圆C的方程；‎ ‎（2）若过点D（0，1），且斜率为k的直线l与圆C有两个不同的交点M、N．‎ ‎(i)求实数k的取值范围；‎ ‎(ii)若•=12，求k的值．‎ ‎22.如图，在四棱锥中，底面是菱形，且．点是棱的中点，平面与棱交于点．‎ ‎(1)求证：；‎ ‎ (2)若，且平面平面，求平面与平面所成的锐二面角的余弦值．‎ 衡水中学四川分校·遂中实验校高2020届第三期第二学段考试 数学科试题（理科）参考答案 一、选择题 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 答案 C D B D B A C C B A D B 二、填空题 ‎13. ; 14.; 15.; 16. ①③④　.‎ 三、解答题 ‎17.解：（1）由，解得P（2，1），‎ 由于l与x+3y﹣1=0垂直，‎ 则l的斜率为3，代入直线的点斜式方程得：y﹣1=3（x﹣2），‎ 即3x﹣y﹣5=0；‎ ‎（2）由（1）知直线l过P（2，1），‎ 若直线l的斜率不存在，即x=2，此时，A，B的直线l的距离不相等，‎ 故直线l的斜率一定存在，‎ 设直线l的方程为：y=k（x﹣2）+1，即kx﹣y﹣2k+1=0，‎ 由题意得=，解得：k=﹣1或k=﹣，‎ 故所求直线方程是：x+2y﹣4=0或x+y﹣3=0．‎ ‎18.(1)如图,取PD的中点H, ‎ 连接AH、NH.由N是PC的中点,H是PD的中点,知NH∥DC,NH=DC.‎ 由M是AB的中点,知AM∥DC,AM=DC.‎ ‎∴NH∥AM,NH=AM,所以AMNH为平行四边形.‎ ‎∴MN∥AH.‎ 由MN⊄平面PAD,AH⊂平面PAD,‎ 知MN∥平面PAD.‎ ‎(2)若平面MNQ∥平面PAD,则应有MQ∥PA,‎ ‎∵M是AB中点,∴Q是PB的中点.‎ 即当Q为PB的中点时,平面MNQ∥平面PAD.‎ ‎19.【解析】据题意，AB边上的高所在直线方程为 所以 AB边所在直线的方程为，即 ‎ 联立，则AC的中点， 则AC边的中线所在直线的方程为．‎ ‎20.【解析】证明：（1）设中点分别是，连接，，。。。。。。。。。。。。。。。。1分 则， 。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。2分 ‎，∴四边形为平行四边形， 。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。3分 ‎， 。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。4分 平面，平面，∴平面．。。。。。。。。。。。。。。。。。5分 ‎（2）平面，‎ ‎，是与平面所成角， 。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。6分 ‎。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。7分 ‎，‎ 又在中，， 。。。。。。8分 ‎∴直角三角形中，，，．。。。。。。9分 又， 。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。10分 ‎． 。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。12分 ‎21.（本题12分）‎ 解：（Ⅰ）设圆C的标准方程为（x﹣a）2+（y﹣b）2=r2.‎ ‎∵圆C被直线m：3x﹣2y=0平分，‎ ‎∴圆心C（a，b）在直线m上，可得3a﹣2b=0. ①‎ 又∵点A（1，3），B（2，2）在圆C上，‎ ‎∴ ②‎ 将①②联立，解得a=2，b=3，r=1．‎ ‎∴圆C的方程是（x﹣2）2+（y﹣3）2=1. (4分)‎ ‎（Ⅱ）(i) 过点D（0，1）且斜率为k的直线l的方程为y=kx+1，即kx﹣y+1=0.‎ ‎∵直线l与圆C有两个不同的交点M、N，‎ ‎∴点C（2，3）到直线l的距离小于半径r，‎ 即，解得.‎ ‎∴实数k的取值范围是. （8分）‎ ‎(ii)由消去y，得（1+k2）x2﹣（4+4k）x+7=0．‎ 设M（x1，y1）、N（x2，y2），可得x1+x2=，x1x2=，‎ ‎∴y1y2=（kx1+1）（kx2+1）=k2x1x2+k（x1+x2）+1=++1，‎ ‎∴=x1x2+y1y2=+++1=12，解得k=1．‎ 此时，成立，∴k=1. ‎ ‎22.解：(1)∵底面是菱形，∴，‎ 又∵面，面，‎ ‎∴面 又∵，，，四点共面，且平面平面，‎ ‎∴‎ ‎(2)取中点，连接，，∵，∴，‎ 又∵平面平面，且平面平面，‎ ‎∴平面，∴，‎ 在菱形中，∵，，是中点，‎ ‎∴‎ 如图，建立空间直角坐标系，设，‎ 则，，，，，‎ 又∵，点是棱中点，‎ ‎∴点是棱中点，‎ ‎∴，，,‎ 设平面的法向量为，则有，∴ ，‎ 不妨令，则平面的一个法向量为 ‎∵平面，∴是平面的一个法向量，‎ ‎∵，‎ ‎∴平面与平面所成的锐二面角的余弦值为．‎