数学理卷·2018届广东省普宁市第二中学高二下学期第一次月考（2017-02） 11页

‎ 普宁市第二中学2016-2017学年度高二级下学期第一次月考 ‎ 理科数学试题 ‎ 注意事项：‎ ‎1.答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号填写在答题卷上。‎ ‎2.用2B铅笔将选择题答案在答题卷对应位置涂黑；答案不能答在试卷上。‎ ‎3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷各题目指定区域内的相应位置上；不准使用铅笔或涂改液。不按以上要求作答的答案无效。‎ ‎4.考生必须保持答题卷的整洁。‎ 一、 选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．）‎ ‎1.已知复数z满足（5+12i）z=169，则=（　　）‎ ‎ A．-5﹣12i B．5﹣12i C．-5+12i D．5+12i ‎2.已知集合M＝{x|}，N＝{-3，-1,1,3,5}，则M∩N＝（ ）‎ ‎ A.{-1,1,3} B.{1,3} C.{-3,1} D.{-3，-1,1}‎ ‎3. “”是“”的（ ）．‎ ‎ A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 ‎ C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 ‎4.已知向量=（-1，0），=（），则向量与 的夹角为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎5.设函数，若从区间上任取一个数，则所选取的实数满足的概率为（ ）‎ A. B． C． D．‎ ‎6.椭圆C的焦点在x轴上，一个顶点是抛物线E：的焦点，过焦点且垂直于长轴的弦长为2，则椭圆的离心率为（ ）‎ A． B． C． D．‎ 正视图 侧视图 俯视图 ‎7.一个几何体的三视图如右图所示，其中正视图和侧视图是腰长为2的两个全等的等腰直角三角形，俯视图是圆心角为的扇形，则该几何体的侧面积为（ ）‎ A．2 B． C． D．‎ ‎8.已知=（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎9.已知函数的部分图象如图所示，若将图像上的所有点向右平移个单位得到函数的图像，则函数的单调递增区间为（ ）‎ A． ‎ ‎ B． ‎ C． ‎ D．‎ ‎10.阅读如图所示的程序框图，若输入的值为，则输出的k值是（　）‎ A．9 B．10 C．11 D．12‎ ‎11.已知函数, ，则函数的所有零点之和是（　 ）【来源：全,品…中&高*考+网】‎ A．2 B． C． D．0‎ ‎12.对于三次函数，给出定义：设是函数的导数，是的导数，若方程=0有实数解，则称点（，）为函数的“拐点”．经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”‎ ‎；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心．设函数，则=（　　） 【来源：全,品…中&高*考+网】‎ A．100 B．50 C． D．0‎ 第Ⅱ卷 ‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。‎ ‎（13）在上随机取一个数，则的概率为 ．‎ ‎（14）已知，若//()，则实数= .‎ ‎（15）设函数，则不等式的解集为 ．‎ ‎（16）设点和点分别是函数和图象上的点，且，若直线轴，则两点间的距离的最小值为 ．‎ 三、解答题：解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤．‎ ‎17．（12分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且cos2﹣sinB•sinC=．‎ ‎（1）求A；‎ ‎（2）若a=4，求△ABC面积的最大值．‎ ‎18．（12分）国庆期间，我校高三（1）班举行了社会主义核心价值观知识竞赛，某轮比赛中，要求参赛者回答全部5道题，每一道题回答正确记1分，否则记﹣1分．据以往统计，甲同学能答对每一道题的概率均为．甲同学全部回答完这5道题后记他的得分为X ‎（1）求X=1的概率；‎ ‎（2）记随机变量Y=|X|，求Y的分布列和数学期望．‎ ‎19．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，△PAD是等边三角形，四边形ABCD是平行四边形，∠ADC=120°，AB=2AD．‎ ‎（1）求证：平面PAD⊥平面PBD；‎ ‎（2）求二面角A﹣PB﹣C的余弦值．‎ ‎20．（12分）已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的离心率为，且过点P（3，2）．‎ ‎（1）求椭圆C的标准方程；‎ ‎（2）设与直线OP（O为坐标原点）平行的直线l交椭圆C于A，B两点，求证：直线PA，PB与x轴围成一个等腰三角形．‎ ‎21．（12分）已知函数f（x）=，g（x）=ax﹣2lnx﹣a （a∈R，e为自然对数的底数）．‎ ‎（1）求f（x）的极值；‎ ‎（2）在区间（0，e]上，对于任意的x0，总存在两个不同的x1，x2，使得g（x1）=g（x2）=f（x0），求a的取值范围．‎ ‎　‎ ‎[选修4-1：几何证明选讲]‎ ‎22．（10分）如图，BC是圆O的直径，点F在弧上，点A为弧的中点，作AD⊥BC于点D，BF与AD交于点E，BF与AC交于点G．‎ ‎（1）证明：AE=BE；‎ ‎（2）若AG=9，GC=7，求圆O的半径．‎ ‎　‎ ‎[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]‎ ‎23．已知曲线C的极坐标方程为2ρsinθ+ρcosθ=10．曲线 c1：（α为参数）．‎ ‎（Ⅰ）求曲线c1的普通方程；‎ ‎（Ⅱ）若点M在曲线C1上运动，试求出M到曲线C的距离的最小值．‎ ‎　‎ ‎[选修4-5：不等式选讲]‎ ‎24．已知函数f（x）=|x﹣m|﹣|x﹣2|．‎ ‎（1）若函数f（x）的值域为[﹣4，4]，求实数m的值；‎ ‎（2）若不等式f（x）≥|x﹣4|的解集为M，且[2，4]⊆M，求实数m的取值范围．‎ 数学参考答案 一、 选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．）‎ 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5【来源：全,品…中&高*考+网】‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 选项 C D B ‎ B C D C C A ‎ B【来源：全,品…‎ A D 中&高*考+网】‎ 二、填空题： ‎ 三、解答题：解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤．‎ ‎17．解：（1）在△ABC中，∵cos2﹣sinB•sinC=，‎ ‎∴cos（B﹣C）﹣sinB•sinC=，‎ ‎∴cos（B+C）=﹣，‎ ‎∴cosA=，‎ ‎∵0＜A＜π，‎ ‎∴A=；‎ ‎（2）由余弦定理可得16=b2+c2﹣≥（2﹣）bc，当且仅当b=c时取等号，‎ ‎∴bc≤16+8，‎ ‎∴S△ABC==≤4（+1），‎ ‎∴△ABC面积的最大值为4（+1）．‎ ‎18．解：（1）由题意知X=1的概率P==．‎ ‎（2）记随机变量Y=|X|，则Y的取值为1，3，5，‎ P（Y=1）=+=，‎ P（Y=3）==，‎ P（Y=5）=，‎ Y的分布列为：‎ Y ‎1‎ ‎3‎ ‎5‎ p EY==．‎ ‎19．证明：（1）在平行四边形ABCD中，令AD=1，‎ 则BD==，‎ 在△ABD中，AD2+BD2=AB2，∴AD⊥BD，‎ 又平面PAD⊥平面ABCD，‎ ‎∴BD⊥平面PAD，BD⊂平面PBD，‎ ‎∴平面PAD⊥平面PBD．‎ 解：（2）由（1）得AD⊥BD，以D为坐标原点，DA为x轴，DC为y轴，‎ 过D作垂直于平面ABCD的直线为z轴，建立空间直角坐标系，‎ 令AD=1，则A（1，0，0），B（0，，0），C（﹣1，，0），P（，0，），‎ ‎=（﹣1，，0），=（﹣），=（﹣1，0，0），‎ 设平面PAB的法向量为=（x，y，z），‎ 则，取y=1，得=（），‎ 设平面PBC的法向量=（a，b，c），‎ ‎，取b=1，得=（0，1，2），‎ ‎∴cos＜＞===，‎ 由图形知二面角A﹣PB﹣C的平面角为钝角，‎ ‎∴二面角A﹣PB﹣C的余弦值为﹣．‎ ‎20．（1）解：由题意可得：， =1，a2=b2+c2，‎ 联立解得：a2=18，b=3．‎ ‎∴椭圆C的标准方程为：．‎ ‎（2）证明：设直线l的方程为2x﹣3y+t=0（t≠0），A（x1，y1），B（x2，y2），‎ 将直线方程代入椭圆方程得：8x2+4tx+t2﹣72=0，‎ ‎△＞0⇒0＜|t|＜12，‎ ‎∴，，‎ ‎∵kAP+kBP=+=，‎ ‎∴分子=（x2﹣3）+‎ ‎=+（x1+x2）﹣2t+12‎ ‎=+﹣2t+12‎ ‎=0，‎ ‎∴kAP+kBP=0，‎ ‎∴kAP=﹣kBP，‎ ‎∴直线PA、PB与x轴所成的锐角相等，‎ 故围成等腰三角形．‎ ‎21．解：（1）因为f（x）=，所以f′（x）=，…（2分）‎ 令f′（x）=0，得x=1． …（3分）‎ 当x∈（﹣∞，1）时，f′（x）＞0，f（x）是增函数；‎ 当x∈（1，+∞）时，f′（x）＜0，f（x）是减函数．‎ 所以f（x）在x=1时取得极大值f（1）=1，无极小值． …‎ ‎（2）由（1）知，当x∈（0，1）时，f（x）单调递增；当x∈（1，e]时，f（x）单调递减．‎ 又因为f（0）=0，f（1）=1，f（e）=e•e1﹣e＞0，‎ 所以当x∈（0，e]时，函数f（x）的值域为（0，1]．…（7分）‎ 当a=0时，g（x）=﹣2lnx在（0，e]上单调，不合题意； …（8分）‎ 当a≠0时，g′（x）=，x∈（0，e]，‎ 故必须满足0＜＜e，所以a＞． …（10分）‎ 此时，当x 变化时，g′（x），g（x）的变化情况如下：‎ x ‎（0，）‎ ‎（，e]‎ g′（x）‎ ‎﹣‎ ‎0‎ ‎+‎ g（x）‎ 单调减 最小值 单调增 所以x→0，g（x）→+∞，g（）=2﹣a﹣2ln，g（e）=a（e﹣1）﹣2，‎ 所以对任意给定的x0∈（0，e]，在区间（0，e]上总存在两个不同的x1，x2‎ 使得g（x1）=g（x2）=f（x0），‎ 当且仅当a满足下列条件，即，…（13分）‎ 令m（a）=2﹣a﹣2ln，a∈（，+∞），‎ m′（a）=﹣，由m′（a）=0，得a=2．‎ 当a∈（2，+∞）时，m′（a）＜0，函数m（a）单调递减；‎ 当a∈（，2）时，m′（a）＞0，函数m（a）单调递增．‎ 所以，对任意a∈（，+∞）有m（a）≤m（2）=0，‎ 即2﹣a﹣2ln≤0对任意a∈（，+∞）恒成立．‎ 由a（e﹣1）﹣2≥1，解得a≥，‎ 综上所述，当a∈[，+∞）时，对于任意给定的x0（0，e]，‎ 在区间（0，e]上总存在两个不同的x1，x2，使得g（x1）=g（x2）=f（x0）． …（16分）‎ ‎[选修4-1：几何证明选讲]‎ ‎22．解：（1）证明：连接AB，由点A为弧的中点，‎ 故=，‎ ‎∴∠ABF=∠ACB，‎ 又∵AD⊥BC，BC是圆O的直径，‎ ‎∴∠BAD=∠ACB，‎ ‎∴∠ABF=∠BAD，‎ ‎∴AE=BE；‎ ‎（2）由（1）可知：△ABG∽△ACB，‎ ‎∴AB2=AG•AC=9×16，‎ AB=12，‎ RT△ABC中，由勾股定理知BC==20，‎ ‎∴圆的半径为10．‎ ‎[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]‎ ‎23．解：（Ⅰ）∵，∴cosα=，sinα=，∴曲线C1的普通方程是：．‎ ‎（Ⅱ）曲线C的普通方程是：x+2y﹣10=0．‎ 点M到曲线C的距离为，（）．‎ ‎∴α﹣φ=0时，，此时．‎ ‎[选修4-5：不等式选讲]‎ ‎24．解：（1）由不等式的性质得：||x﹣m|﹣|x﹣2||≤|x﹣m﹣x+2|=|m﹣2|‎ 因为函数f（x）的值域为[﹣4，4]，‎ 所以|m﹣2|=4，‎ 即m﹣2=﹣4或m﹣2=4‎ 所以实数m=﹣2或6．…‎ ‎（2）f（x）≥|x﹣4|，即|x﹣m|﹣|x﹣2|≥|x﹣4|‎ 当2≤x≤4时，|x﹣m|≥|x﹣4|+|x﹣2|⇔|x﹣m|≥﹣x+4+x﹣2=2，|x﹣m|≥2，‎ 解得：x≤m﹣2或x≥m+2，‎ 即原不等式的解集M=（﹣∞，m﹣2]或M=[m+2，+∞），‎ ‎∵[2，4]⊆M，‎ ‎∴m+2≤2⇒m≤0或m﹣2≥4⇒m≥6‎ 所以m的取值范围是（﹣∞，0]∪[6，+∞）． …（10分）‎