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- 2021-06-11 发布
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第三章 导数应用
1.1
导数与函数的单调性
复习引入
：
问题
1
：
怎样利用函数单调性的定义
来讨论其在定义域的单调性
1.
一般地，对于给定区间上的函数
f(x)
，如果对于属于这个区间的任意两个自变量的值
x
1
，
x
2
，当
x
1
f (x
2
)
，那么
f(x)
在这个区间
上是
减函数
此时
x
1
-x
2
与
f(x
1
)-f(x
2
)
异号
,
即
(2)
作差
f(x
1
)
－
f(x
2
)
，并
变形
.
2
．由定义证明函数的单调性的一般步骤：
(1)
设
x
1
、
x
2
是给定区间的任意两个
值，且
x
1
< x
2
.
(3)
判断
差的符号
(
与０比较
)
，从而得函数的单调性
.
例
1
：
讨论函数
y=x
2
－
4x
＋
3
的单调性
.
解：取
x
1
f(x
2
)
，
那么
y=f(x)
单调递减。
当
20
，
f(x
1
)0
,
注意
:
如果在
某个区间内
恒有
f′(x)=0,
则
f(x)
为常数函数
.
如果
f′(x)<0
,
则
f(x)
为
增
函数
;
则
f(x)
为
减
函数
.
例
2
：
求函数
f(x)=2x
3
-6x
2
+7
的单调区间
.
解
:
函数的定义域为
R,
f′(x)=6
x
2
-12x
令
6
x
2
-12x>0,
解得
x<0
或
x>2
，
则
f(x)
的单增区间为（－∞，
0
）和
（
2
，＋∞）
.
再令
6
x
2
-12x<0,
解得
00
时
,
解得
x>0.
则函数的单增区间为
(0,+∞).
当
e
x
-1<0
时
,
解得
x<0.
即函数的单减区间为
(-∞,0).
总结：
根据导数确定函数的单调性
1.
确定函数
f(x)
的定义域
.
2.
求出函数的导数
.
3.
解不等式
f ′(x)>0,
得函数单增区间
;
解不等式
f′(x)<0,
得函数单减区间
.
变
1
：
求函数 的单调区间。
求函数 的单调区间。
知识应用
一、应用导数求函数的单调区间
变
2
：
求函数 的单调区间。
已知导函数的下列信息：
试画出函数 图象的大致形状。
A
B
x
y
o
2
3
二、应用导数信息确定函数大致图象
知识应用
设
是函数
的导函数，
的图象如
右图所示
,
则 的图象最有可能的是
(
)
x
y
o
1
2
x
y
o
1
2
x
y
o
1
2
x
y
o
1
2
x
y
o
2
(A)
(B)
(C)
(D)
C
高
考
尝
试
1
、函数
f(x)=x
3
-3x+1
的减区间为
( )
(-1,1)
（
B)(1,2)
(C) (-∞,-1) (D) (-∞,-1)
，
(1, +∞)
课 堂 练 习
A
2
、函数
y=a(x
3
-x)
的减区间为
a
的取值范围为
( )
(A)a>0 (B)
–
11 (D) 0
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