数学理卷·2017届云南省昆明一中高三第四次一轮复习检测（2016 14页

云南省昆明市第一中学2017届新课标高三月考卷（四） ‎ 数学（理）试题 第Ⅰ卷 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.已知集合，集合，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎2.已知复数，则的虚部为（ ）‎ A． B． C． 2 D．3‎ ‎3.向量，，则向量在向量方向上的投影为（ ）‎ A． B． C．1 D．‎ ‎4.在中，三边与面积的关系式为，则角等于（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎5.将一颗骰子掷两次，则第二次出现的点数是第一次出现的点数的3倍的概率为（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎6.执行如图所示的程序框图，如果输入，则输出的（ ）‎ A． 30 B． 120 C. 360 D．720‎ ‎7.若一个圆柱的正视图与其侧面展开图是相似矩形，则这个圆柱的全面积与侧面积之比为（ ） ‎ A． B． C. D．‎ ‎8.设曲线与过原点的直线相交于点，若直线的倾斜角为，则线段与曲线围成的封闭图形的面积的图象大致是（ ） ‎ ‎9.已知抛物线的焦点为，过点且倾斜角为的直线与抛物线相交于两点，则弦的长为（ ）‎ A． 3 B． 4 C. 5 D．‎ ‎10.设实数满足约束条件，则当取得最小值2时，则的最小值是（ ）‎ A． B． C. D．2‎ ‎11.一个三棱锥的底面是等比三角形，各侧棱长均为，那么该三棱锥的体积最大时，它的高为（ ）‎ A． B． C. 1 D．‎ ‎12.曲线上任意一点的切线为，曲线上总有一条切线与平行，则的取值范围是（ ）‎ A． B． C. D．‎ 第Ⅱ卷 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13.已知定义在上的奇函数，当时，，若，则 ．‎ ‎14.函数的最小值为 ．‎ ‎15.已知，则 ．‎ ‎16.三角形中，且，则三角形面积的最大值为 ．‎ 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） ‎ ‎17. （本小题满分12分）‎ 已知数列满足．‎ ‎（1）求证：数列是等比数列；‎ ‎（2）若恒成立，求实数的取值范围．‎ ‎18. （本小题满分12分）‎ 如图，四边形是矩形，平面，，为线段上一点，且平面，交于点．‎ ‎（1）证明：平面；‎ ‎（2）求直线与平面所成角的大小．‎ ‎19. （本小题满分12分）‎ 某商场每天以每件100元的价格购入商品若干件，并以每件200元的价格出售，若所购进的商品前8小时没有售完，那么商场对没卖出的商品以每件60元的低价当天处理完毕（假定商品当天能够处理完），该商场统计了100天商品在每天的前8小时的销售量，制成如下表格．‎ ‎（1）某天该商品共购入8件商品，在前8小时内售出6件，若这些产品被8位不同的顾客购买，现从这8位顾客中随机选4人进行回访，求恰有三人是以每件200元的价格购买的概率；‎ ‎（2）将频率视为概率，如果商场每天最多购入8件商品，要使商场每天销售商品所获得的平均利润最大，则每天应购进多少件商品，并说明理由．‎ ‎20. （本小题满分12分）‎ 已知椭圆的左、右焦点分别是，点到直线的距离为，若点在椭圆上，的周长为6．‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）若过的直线与椭圆交于不同的两点，求的内切圆的半径的最大值．‎ ‎21. （本小题满分12分）‎ 已知函数．‎ ‎（1）若函数在处取得极值，求的单调区间；‎ ‎（2）当时，，求的取值范围．‎ 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.‎ ‎22. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系中，以原点为极点，以轴正半轴为极轴建立极坐标系，点的极坐标为，已知曲线，直线过点，其参数方程为：（为参数），直线与曲线分别交于．‎ ‎（1）写出曲线的直角坐标方程和直线的普通方程；‎ ‎（2）若，求的值．‎ ‎23. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知均为正数．‎ ‎（1）若，求的最小值；‎ ‎（2）若，求证：．‎ 试卷答案 一、选择题 ‎ 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3[‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 答案 B C A D A B D C D D C C 1. 解析：集合，集合，所以，选B．‎ 2. ‎ 解析：，的虚部为，选C．‎ 3. ‎ 解析：由定义，向量在向量上的投影为．所以，选A．‎ 4. 解析：依题意得，所以，故角为，选D． ‎ 5. ‎ 解析：一颗骰子掷两次，共有种情况．满足条件的情况有，，共种，所求的概率，选A．‎ 6. 解析:由框图知，，选B．‎ 7. 解析：设圆柱的底面半径为，高为，则，即，所以，，则，选D． ‎ 8. 解析：当倾斜角从时，阴影部分的面积从，而从时，阴影部分的面积从，选C．‎ 9. 解析：直线的方程是，把代入抛物线消得，设（，），（，），则，‎ 所以，或者直接用公式，选D． ‎ 10. 解析：画出可行域如图，可知在处取得最小值，故，，的最小值是2，选D ．‎ 1. 解析：如图，三棱锥中，设底面边长为，则高．所以它的体积，设，令则，，所以函数在上单调递增，在上单调递减，所以当时最大，也最大，此时，选C．‎ 2. 解析：设，分别是曲线上的点，所以过的切线的斜率为，，由已知可得，即对有解．而，所以最小值，即所以，选C． ‎ 二、填空题 3. 解析：因为是奇函数，由时，，当时，，所以时，所以． ‎ 4. 解析：由 ‎， 得函数的最小值为．‎ 1. 解析：，由二项式定理，故，所以．‎ 2. 解析：设，，，则由得，‎ 化简得，所以点轨迹为以为圆心，以为半径的圆，所以最大值为，所以三角形面积的最大值为．‎ 三、解答题 3. ‎（Ⅰ）证明：因为， ‎ 所以， ‎ 故数列是以为首项，公比为的等比数列． ………5分 ‎（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知，所以， ‎ 令，‎ 则，‎ 所以当时，，‎ 故为减函数；‎ 而, ‎ 因为恒成立, 所以.‎ 所以实数的取值范围为． ………12分 1. 解：（Ⅰ）证明：连接，因为平面，平面，所以． ‎ 又因为，所以为的中点，而矩形中，为的中点，所以，‎ 又因为平面，平面，所以平面． ………5分 ‎（Ⅱ）因为平面，，所以平面，所以．‎ 又因为平面，平面，所以．‎ 而，所以平面，所以．‎ 又因为，所以．以为原点建立如图所示的空间直角坐标系，由题意得，，，，所以，‎ 设平面的一个法向量为，‎ 由得 令，得，‎ 又因为，设直线与平面所成的角为，‎ 则，所以，‎ 故直线与平面所成的角为． ………12分 1. 解析：（Ⅰ）记“恰有三人是以每件元的价格购买”为事件，‎ 则． ………5分 ‎（Ⅱ）设商场销售商品获得的平均利润为（单位：元）‎ 依题意，将频率视为概率，要使每天购进商品时所获得的平均利润最大，则每天应购进的件数可能为件或件或件． ………6分 当购进商品件时，（元） ………7分 当购进商品件时， （元） ………9分 当购进商品 件时，‎ ‎（元） ………11分 所以商场每天购进件商品时所获得的平均利润最大． ………12分 2. 解：（Ⅰ）由题设知 ①‎ 又 ②‎ 由①、②得，，所以，所以椭圆的方程是 ‎ ……… 4分 ‎（Ⅱ）设，，，，不妨设， ，设的半径为，则的周长是，，因此最大，就最大，而 ， ………7分 由题设知直线的斜率不为，可设直线的方程为，代入椭圆方程消得到，由韦达定理知，，‎ 所以，因此，令，则，，设，因为，所以在上单调递增，所以，所以，当，即时，所以．………12分 1. 解: (Ⅰ) 因为，由已知得，即:，‎ 所以， ………1分 所以，函数的定义域为， ， ………2分 由于 在上为减函数，而，所以当时，； ‎ 当时，，所以的单调递增区间为，单调递减区间为．5分 ‎(Ⅱ) 由于，所以，所以， ………6分 令（），则，所以，当时，，当时，，所以在增函数，在上为减函数，所以（时取“”），即: ………8分 令，则，所以，当时，，当时，，所以在上为减函数，在上为增函数，所以（时取“”），即： ………10分 所以，对任意，，因此，当时，对任意，，所以的取值范围为 ………12分 第22、23题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分．‎ ‎22．解：(Ⅰ) ，得，‎ 因为，即，‎ 的直角坐标为 所以：． ………5分 ‎（Ⅱ）将直线的参数方程代入，‎ 得，即，‎ 所以由一元二次方程根与系数的关系得：，，‎ 解得，此时，且． ………10分 ‎23．解：．‎ 当且仅当时，等号成立，‎ 即当且仅当，时，有最小值； ………5分 ‎（Ⅱ）证法一：‎ 证明：因为、、为正实数，且，‎ 由柯西不等式得，‎ 化简可得．‎ 即，当且仅当时取等号． ………10分 证法二：‎ 证明：因为、、为正实数，且，‎ 所以，‎ ‎≥，‎ 所以，‎ 当且仅当时取等号． ………10分