高中数学选修2-3教学课件：1_3_2“杨辉三角”与二项式系数的性质（1） 16页

1.3.2“ 杨辉三角”与二项式系数的性质 一般地，对于 n N* 有 二项定理 : 一、新课引入 二项展开式中的二项式系数指的是那些？共有多少个？ 下面我们来研究二项式系数有些什么性质？我们先通过 杨辉三角 观察 n 为特殊值时，二项式系数有什么特点？ 1 ． “ 杨辉三角 ” 的来历及规律 杨辉三角 展开式中的二项式系数，如下表所示： 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 …… …… …… 二项式系数的性质 展开式的二项式系数依次是： 从函数角度看， 可看成是以 r 为自变量的函数 , 其定义域是： 当 时，其图象是右图中的 7 个孤立点． 二项式系数的性质 2 ．二项式系数的性质 （ 1 ）对称性 与首末两端 “ 等距离 ” 的两个二项式系数相等． 这一性质可直接由公式 得到． 图象的对称轴 ： 二项式系数的性质 （ 2 ）增减性与最大值 由于 ： 所以 相对于 的增减情况由 决定． 二项式系数的性质 （ 2 ）增减性与最大值 由 ： 二项式系数是逐渐增大的，由对称性可知它的后半部分是逐渐减小的，且中间项取得最大值。 可知，当 时， 二项式系数的性质 （ 2 ）增减性与最大值 因此， 当 n 为偶数时 ，中间一项的二项式 系数 取得最大值； 当 n 为奇数时 ，中间两项的二项式系数 、 相等，且同时取得最大值。 （ 3 ）各二项式系数的和 二项式系数的性质 在二项式定理中，令 ，则： 这就是说， 的展开式的各二项式系数的和等于 ： 同时由于 ，上式还可以写成： 这是组合总数公式． 一般地， 展开式的二项式系数 有如下性质： （ 1 ） （ 2 ） （ 3 ）当 时， （ 4 ） 当 时， 课堂练习： 1 ）已知 ，那么 = ； 2 ） 的展开式中，二项式系数的最大值是 ； 3 ）若 的展开式中的第十项和第十一项的二项式系数最大，则 n= ； 例 1 证明在 的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和． 4 项的二项式系数是倒数第 2 项的二项式系数的 7 倍，求展开式中 x 的一次项． 例 2 已知 的展开式中，第 例 3 ： 的展开式中第 6 项与第 7 项的系数相等，求展开式中二项式系数最大的项和系数最大的项。 变式引申： 1 、 的展开式中，系数绝对值最大的项是（ ） A. 第 4 项 B. 第 4 、 5 项 C. 第 5 项 D. 第 3 、 4 项 2 、若 展开式中的第 6 项的系数最大，则不含 x 的项等于 ( ) A.210 B.120 C.461 D.416 例 4 、 若 展开式中前三项系数成等差 数列，求 （ 1 ）展开式中含 x 的一次幂的项； （ 2 ） 展开式中所有 x 的有理项； （ 3 ）展开式中系数最大的项。 1 、已知 的展开式中 x 3 的系数 为 ，则常数 a 的值是 _______ 　　 2 、在 (1-x 3 )(1+x) 10 的展开式中 x 5 的系数是（　　　） A.-297 B.-252 C. 297 D. 207 3 、 (x+y+z) 9 中含 x 4 y 2 z 3 的项的系数是 __________ 课堂练习 4. 已知 (1+ 　 ) n 展开式中含 x-2 的项的系数为 12 ，求 n. 5. 已知（ 10+x lgx ） 5 的展开式中第 4 项为 10 6 ，求 x 的值 . 二项展开式中的二项式系数都是一些特殊的组合数，它有三条性质，要理解和掌握好，同时要注意 “ 系数 ” 与 “ 二项式系数 ” 的区别，不能混淆，只有二项式系数最大的才是中间项，而系数最大的不一定是中间项，尤其要理解和掌握 “ 取特值 ” 法，它是解决有关二项展开式系数的问题的重要手段。 小结