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  • 2021-06-11 发布

高中数学选修2-3教学课件:1_3_2“杨辉三角”与二项式系数的性质(1)

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1.3.2“ 杨辉三角”与二项式系数的性质 一般地,对于 n N* 有 二项定理 : 一、新课引入 二项展开式中的二项式系数指的是那些?共有多少个? 下面我们来研究二项式系数有些什么性质?我们先通过 杨辉三角 观察 n 为特殊值时,二项式系数有什么特点? 1 . “ 杨辉三角 ” 的来历及规律 杨辉三角 展开式中的二项式系数,如下表所示: 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 …… …… …… 二项式系数的性质 展开式的二项式系数依次是: 从函数角度看, 可看成是以 r 为自变量的函数 , 其定义域是: 当 时,其图象是右图中的 7 个孤立点. 二项式系数的性质 2 .二项式系数的性质 ( 1 )对称性 与首末两端 “ 等距离 ” 的两个二项式系数相等. 这一性质可直接由公式 得到. 图象的对称轴 : 二项式系数的性质 ( 2 )增减性与最大值 由于 : 所以 相对于 的增减情况由 决定. 二项式系数的性质 ( 2 )增减性与最大值 由 : 二项式系数是逐渐增大的,由对称性可知它的后半部分是逐渐减小的,且中间项取得最大值。 可知,当 时, 二项式系数的性质 ( 2 )增减性与最大值 因此, 当 n 为偶数时 ,中间一项的二项式 系数 取得最大值; 当 n 为奇数时 ,中间两项的二项式系数 、 相等,且同时取得最大值。 ( 3 )各二项式系数的和 二项式系数的性质 在二项式定理中,令 ,则: 这就是说, 的展开式的各二项式系数的和等于 : 同时由于 ,上式还可以写成: 这是组合总数公式. 一般地, 展开式的二项式系数 有如下性质: ( 1 ) ( 2 ) ( 3 )当 时, ( 4 ) 当 时, 课堂练习: 1 )已知 ,那么 = ; 2 ) 的展开式中,二项式系数的最大值是 ; 3 )若 的展开式中的第十项和第十一项的二项式系数最大,则 n= ; 例 1 证明在 的展开式中,奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和. 4 项的二项式系数是倒数第 2 项的二项式系数的 7 倍,求展开式中 x 的一次项. 例 2 已知 的展开式中,第 例 3 : 的展开式中第 6 项与第 7 项的系数相等,求展开式中二项式系数最大的项和系数最大的项。 变式引申: 1 、 的展开式中,系数绝对值最大的项是( ) A. 第 4 项 B. 第 4 、 5 项 C. 第 5 项 D. 第 3 、 4 项 2 、若 展开式中的第 6 项的系数最大,则不含 x 的项等于 ( ) A.210 B.120 C.461 D.416 例 4 、 若 展开式中前三项系数成等差 数列,求 ( 1 )展开式中含 x 的一次幂的项; ( 2 ) 展开式中所有 x 的有理项; ( 3 )展开式中系数最大的项。 1 、已知 的展开式中 x 3 的系数 为 ,则常数 a 的值是 _______    2 、在 (1-x 3 )(1+x) 10 的展开式中 x 5 的系数是(   ) A.-297 B.-252 C. 297 D. 207 3 、 (x+y+z) 9 中含 x 4 y 2 z 3 的项的系数是 __________ 课堂练习 4. 已知 (1+   ) n 展开式中含 x-2 的项的系数为 12 ,求 n. 5. 已知( 10+x lgx ) 5 的展开式中第 4 项为 10 6 ,求 x 的值 . 二项展开式中的二项式系数都是一些特殊的组合数,它有三条性质,要理解和掌握好,同时要注意 “ 系数 ” 与 “ 二项式系数 ” 的区别,不能混淆,只有二项式系数最大的才是中间项,而系数最大的不一定是中间项,尤其要理解和掌握 “ 取特值 ” 法,它是解决有关二项展开式系数的问题的重要手段。 小结

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