2020年高中数学 第一章 数列 4页

‎1.2.2‎‎ 第2课时 等差数列习题课 ‎ [A　基础达标]‎ ‎1．在数列{an}中，a1＝15，3an＋1＝3an－2，则该数列中相邻两项的乘积为负值的项是(　　)‎ A．a21和a22　　　　　　　 B．a22和a23‎ C．a23和a24 D．a24和a25‎ 解析：选C.因为an＋1＝an－，所以数列{an}是等差数列，且公差为－，‎ 所以an＝15＋(n－1)·.因为a23＝，a24＝－，所以a‎23a24<0.‎ ‎2．已知等差数列{an}中，|a5|＝|a9|，公差d>0，则使Sn取得最小值的正整数n的值是(　　)‎ A．4或5 B．5或6‎ C．6或7 D．7或8‎ 解析：选C.依题意得a5<0，a9>0，且a5＋a9＝0⇒‎2a1＋12d＝0⇒a1＋6d＝0，即a7＝0，故前6项与前7项的和相等，且最小．‎ ‎3．已知数列{an}的通项公式an＝26－2n，则使其前n项和Sn最大的n的值为(　　)‎ A．11或12 B．12‎ C．13 D．12或13‎ 解析：选D.因为an＝26－2n，所以an－an－1＝－2，所以数列{an}为等差数列．又a1＝24，d＝－2，所以Sn＝24n＋×(－2)＝－n2＋25n＝－＋.又n∈N＋，所以当n＝12或13时，Sn最大．‎ ‎4．数列{an}满足：a1＝0，an＋1＝(n∈N＋)，则a2 018＝(　　)‎ A．0 B．－ C. D． 解析：选B.由a1＝0，an＋1＝，令n＝1，得a2＝＝－；令n＝2，得a3＝＝；令n＝3，得a4＝＝0＝a1，所以数列{an}是周期为3的数列，所以a2 018＝a3×672＋2＝a2＝－，故选B.‎ ‎5．已知数列{an}：1，1，2，3，5，8，13，…，其中从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和，若把该数列的每一项除以4所得的余数按相对应的顺序组成新数列{bn}，则b2 018＝(　　)‎ A．0 B．1‎ C．2 D．3‎ 4‎ 解析：选B.将数列1，1，2，3，5，8，13，…的每一项除以4所得的余数分别为1，1，2，3，1，0，1，1，2，3，1，0，…，即新数列{bn}是周期为6的周期数列，所以b2 018＝b336×6＋2＝b2＝1.故选B.‎ ‎6．已知数列{an}满足an＋1＝an－，且a1＝5，设{an}的前n项和为Sn，则使得Sn取得最大值的序号n的值为________．‎ 解析：由题意可知数列{an}的首项为5，公差为－的等差数列，所以an＝5－(n－1)＝，该数列前7项是正数项，第8项是0，从第9项开始是负数项，所以Sn取最大值时，n＝7或8.‎ 答案：7或8‎ ‎7．等差数列{an}前9项的和等于前4项的和．若a1＝1，ak＋a4＝0，则k＝________．‎ 解析：法一：S9＝S4，即＝，‎ 所以‎9a5＝2(a1＋a4)，‎ 即9(1＋4d)＝2(2＋3d)，‎ 所以d＝－，‎ 由1－(k－1)＋1＋3·＝0，得k＝10.‎ 法二：S9＝S4，所以a5＋a6＋a7＋a8＋a9＝0，所以a7＝0，从而a4＋a10＝‎2a7＝0，所以k＝10.‎ 答案：10‎ ‎8．已知{an}为等差数列，a1＋a3＋a5＝105，a2＋a4＋a6＝99.以Sn表示{an}的前n项和，则使得Sn达到最大值的n＝________．‎ 解析：由a1＋a3＋a5＝105，得‎3a3＝105，即a3＝35.‎ 由a2＋a4＋a6＝99，得‎3a4＝99，即a4＝33.‎ 所以d＝－2，an＝a4＋(n－4)×(－2)＝41－2n，则a1＝39.‎ 所以Sn＝＝＝－n2＋40n＝－(n－20)2＋400.‎ 所以当n＝20时，Sn取最大值．‎ 答案：20‎ ‎9．在等差数列{an}中，a3＝2，‎3a2＋‎2a7＝0，其前n项和为Sn.求：‎ ‎(1)等差数列{an}的通项公式；‎ ‎(2)Sn，n为何值时，Sn最大．‎ 解：(1)设等差数列{an}的公差为d，‎ 4‎ 根据题意，得a1＋2d＝2，‎5a1＋15d＝0，‎ 解得a1＝6，d＝－2.‎ 所以数列{an}的通项公式为an＝－2n＋8.‎ ‎(2)由第一问可知Sn＝6n＋·(－2)＝－n2＋7n＝－＋.‎ 因为S3＝－9＋21＝12，S4＝－16＋28＝12，‎ 所以当n＝3或n＝4时，Sn最大．‎ ‎10．已知数列{an}的通项公式an＝31－3n，求数列{|an|}的前n项和Hn.‎ 解：设{an}的前n项和为Sn.‎ 由an＝31－3n可得Sn＝－n2＋n.‎ 由an≥0，解出n≤≈10.3.‎ 当n≤10时，Hn＝Sn＝－n2＋n；‎ 当n≥11时，Hn＝2S10－Sn＝n2－n＋290.‎ 所以Hn＝ ‎[B　能力提升]‎ ‎11．设等差数列{an}满足‎3a8＝‎5a13，且a1>0，则前n项和Sn中最大的是(　　)‎ A．S10 B．S11‎ C．S20 D．S21‎ 解析：选C.设等差数列{an}的公差为d，由‎3a8＝‎5a13，即3(a1＋7d)＝5(a1＋12d)，得a1＝－d>0，所以d<0，则an＝a1＋(n－1)d＝－d＋(n－1)d.由an<0，得n>＝20.5，即从第21项开始为负数，故S20最大．‎ ‎12．“等和数列”的定义：在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和都等于同一个常数，那么这个数列叫做等和数列，这个常数叫做该数列的公和．已知数列{an}是等和数列，且a1＝2，公和为5，那么a18的值为________．‎ 解析：由题意可得an＋an＋1＝5，所以an＋1＋an＋2＝5.所以an＋2－an＝0.因为a1＝2，所以a2＝5－a1＝3.所以当n为偶数时，an＝3；当n为奇数时，an＝2.所以a18＝3.‎ 答案：3‎ ‎13．设等差数列{an}的前n项和为Sn，已知a3＝12，且S12>0，S13<0.‎ ‎(1)求公差d的取值范围；‎ 4‎ ‎(2)问前几项的和最大，并说明理由．‎ 解：(1)因为a3＝12，所以a1＝12－2d，‎ 因为S12>0，S13<0，‎ 所以即 所以－0，S13<0，‎ 所以所以所以a6>0，‎ 又由第一问知d<0.‎ 所以数列前6项为正，从第7项起为负．‎ 所以数列前6项和最大．‎ ‎14．(选做题)在等差数列{an}中，a16＋a17＋a18＝a9＝－18，其前n项和为Sn，‎ ‎(1)求Sn的最小值，并求出Sn取最小值时n的值；‎ ‎(2)求Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|.‎ 解：(1)因为a16＋a17＋a18＝a9＝－18，‎ 所以a17＝－6.又a9＝－18，所以d＝＝.‎ 首项a1＝a9－8d＝－30.所以an＝n－.‎ 若前n项和Sn最小，则 即所以n＝20或21.‎ 这表明：当n＝20或21时，Sn取最小值．最小值为S20＝S21＝－315.‎ ‎(2)由an＝n－≤0⇒n≤21.‎ 所以当n≤21时，Tn＝－Sn＝(41n－n2)，‎ 当n>21时，Tn＝－a1－a2－…－a21＋a22＋…＋an ‎＝Sn－2S21＝(n2－41n)＋630.‎ 故Tn＝ 4‎