2018-2019学年湖南省五市十校高二下学期期末联考 数学（理） word版 10页

姓名 准考证号 ‎(在此卷上答题无效)‎ 绝密★启用前 湖南省五市十校2019年上学期高二年级期末考试试题 理科数学 命题单位:宁乡一中 ‎ 本试卷共4页。全卷满分150分，考试时间120分钟。‎ 注意事项：‎ ‎1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。‎ ‎2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。‎ ‎3.考试结束后.将本试卷和答题卡一并交回。‎ 一、选择题:本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。‎ ‎1.已知集合M={} ,N= {}，则M∪N =‎ A. {} B. {} C. { } D. R ‎2.已知复数，则下列结论正确的是 A. 的虚部为 B. C. 为纯虚数 D. ‎ ‎3.等比数列{}的各项均为正数，且,则 A. 12 B. 10 C.9 D.2+log35‎ ‎4.函数的部分图像如图所示，为了得到函数的图像，只需将的图像 A.向左平移个单位长度 B.向右平移个单位长度 ‎ C.向左平移个单位长度 ‎ D.向右平移个单位长度 ‎5.已知函数 ,设 ,则 A. << B. <<‎ C. << D.<<‎ ‎6.设，则的展开式中的常数项为 A，20 B. -20‎ C. 120 D. -120‎ ‎7.公元263年左右，我国数学家刘徽发现当岡内接正多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，并创立了“割圆术”，利 用“割圆术”刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值3.14, 这就是著名的“徽率”如图是利用刘徽的“割圆术”思想设计的一个程序框图，则输出的值为（参考数据：sin15°= 0.2588，sin7.5° = 0. 1305)‎ A. 12 B. 24‎ C. 48 D.96‎ ‎8.函数在的图像大致为 ‎9.设正项等差数列{}的前项和为，若,则的最小值为 A.1 B. C. D.4‎ ‎10.如图，正方体ABCD-A1B1C1D,的棱长为4,动点E，F在棱A1B1上，动点P，Q分别在棱AD,CD上。若EF=2,A1E=m,DQ=n.DP=p（m,n,p大于零）,则四面体PEFQ的体积 A.与m,n,p都有关 ‎ B.与m有关，与n,p无关 C.与p有关，与m,n无关 ‎ D.与n有关，与m,p无关 ‎11.过抛物线的焦点F的直线与抛物线交于A、B两点，且|AF|=3,0为坐标原点，则△AOF的面积与△BOF的面积之比为 A. B. C. D.2‎ ‎12.已知点P在直径为2的球面上，过点P作球的两两相互垂直的三条弦PA，PB，PC,若PA =PB，则PA + PB + PC的最大值为 A. B.4 C. D.3‎ 二、填空题：本题共4小题,每小题分，共20分。‎ ‎13.已知非零向量满足，且，则与的夹角为 . ‎ ‎14.精准扶贫期间，5名扶贫干部被安排到三个贫困村进行扶贫工作，每个贫困村至少安排一人，则不同的分配方法共有 种.‎ ‎15.已知函数，则过原点且与曲线相切的直线方程为 ‎16.在古代三国时期吴国的数学家赵爽创制了一幅“赵爽弦图”，由四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间空出一个小正方形（如图阴影部分)。若直角三角形中较小的锐角为，现向大正方形区域内随机投掷一枚飞镖，要使飞镖落在小正方形内的概率为，则 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、解荅过程或演算步骤。第17〜21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22〜23题为选考题，考生根据要求作答。‎ ‎(―)必考题：共60分。‎ ‎17.（12分）‎ ‎ 已知△ABC内角A，B，C的对边，向量，且m⊥n.‎ ‎(1)求角C；‎ ‎(2)若c=2, △ABC的面积为，求△ABC内切圆的半径.‎ ‎18. (12 分）‎ ‎ 如图，四棱锥P-ABCD中，底面 ABCD为矩形，侧面为正三角形，且平面 ABCD，E 为 PD 中点，AD=2.‎ ‎(1)证明平面AEC丄平面PCD;‎ ‎(2)若二面角A-PC-E的平面角满足，求四棱锥P-ABCD 的体积.‎ ‎19.(12 分） ‎ ‎ 为了了解甲、乙两校学生自主招生通过情况，从甲校抽取60人，从乙校抽取50人进行分析。‎ ‎(1)根据题目条件完成上面2×2列联表，并据此判断是否有99%的把握认为自主招生通过情况与学生所在学校有关；‎ ‎(2)现已知甲校A,B，C三人在某大学自主招生中通过的概率分别为，‎ ‎，，用随机变量X表示A ,B,C三人在该大学自主招生中通过的人数，求X的分布列及期望E(X).‎ 参考公式：‎ ‎.‎ 参考数据：‎ ‎20.(12 分）‎ ‎ 已知动圆P经过点N(1,0)且与圆M：‎ 相切，设圆心P的轨迹为曲线C.‎ ‎(1)求曲线C的方程；‎ ‎ (2)设G(m,0)为曲线C内的一个动点，过点G且斜率为直线交曲线C于A，B两点.若是与无关的定值，求此时的值，并求出该定值. ‎ ‎21.(12 分)‎ ‎ 已知函数.‎ ‎(1)若在[0，]上有唯一极大值点，求实数的取值范围；‎ ‎(2)若且，证明<0.‎ ‎（二）选考题10分。请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第—题计分。‎ ‎22.[选修4-4:坐标系与参数方程](10分）‎ ‎ 在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系。已知点A的极坐标为()，直线的极坐标方程为.‎ ‎(1)若点A在直线上，求直线的直角坐标方程；‎ ‎(2)若曲线C的参数方程为为参数)，直线与曲线C的相交弦长为，求的值.‎ ‎23. [选修4-5:不等式选讲](10分)‎ ‎ 已知函数，不等式的解集是.‎ ‎(1)求的值；‎ ‎(2) 若关于的不等式的解集非空，求实数的取值范围.‎ 高二理科数学参考答案 一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）‎ 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 答案 D C C A D B B C D C D A ‎ ‎ 二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）‎ ‎13. 14. 150 15. 16.‎ 三、解答题：本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 ‎（一）必考题 ‎17. 解：（1）由得，……………………………………………………2分 由正弦定理，，…………………4分 在中，，，，，.………………………6分 ‎(2)由等积法：得 ………………9分 由余弦定理，，，从而…………………11分……………………………………………………………………… 12分 ‎18.（1）取中点为， 中点为F，‎ 由侧面为正三角形，且平面平面知平面，故，‎ 又，则平面，所以，‎ 又，则，又是中点，则，‎ 由线面垂直的判定定理知平面，‎ 又平面，故平面平面.……… 5分 ‎（2）如图所示，建立空间直角坐标系，‎ 令，则.‎ 由（1）知为平面的法向量，‎ 令为平面的法向量，‎ 由于均与垂直，故即解得 故，由 ，解得. ……… 10分 故四棱锥的体积. ……… 12分 19. 解：（1）2×2列联表如下 通过 未通过 总计 甲校 ‎40‎ ‎20‎ ‎60‎ 乙校 ‎20‎ ‎30‎ ‎50‎ 总计 ‎60‎ ‎50‎ ‎110‎ 由算得，，‎ 所以有99%的把握认为学生的自主招生通过情况与所在学校有关 …5分 ‎（2）设A，B，C自主招生通过分别记为事件M，N，R，则 ‎∴随机变量X的可能取值为0，1，2，3. …6分 ‎， …10分 所以随机变量X的分布列为：‎ X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P E（X）=0×+1×+2×+3×= …12分．‎ ‎20.解：（1）由题设得： ，所以点的轨迹是以为焦点的椭圆，‎ 曲线C的方程为. ……… 4分 ‎（2）设，直线，‎ 由得，‎ ‎ ……… 6分 ‎ ‎.‎ ‎.‎ ‎ ……… 10分 ‎ ‎ 的值与无关， ，解得.此时 ‎. …… 12分 ‎21.解：（1）易知.‎ 当时，，在上单调递增，此时在上，不存在极大值点；‎ 当时，，在上单调递减，又，，故存在唯一使得，‎ ‎.此时，是函数的唯一极大值点.‎ 综上可得 …………………………………………5分 ‎（2）依题.‎ 在上单调递增，……………………………………7分 欲证，等价证，等价证，等价证……………9分 令，，，‎ 故时，，‎ ‎,，得证……………………… 12分 ‎（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。‎ ‎22.解：（1）由点在直线上，可得=‎ 所以直线的方程可化为 从而直线的直角坐标方程为。 ------------------- 4分 ‎（2）由已知得圆C的直角坐标方程为，所以圆C的圆心为，半径， ‎ 而直线的直角坐标方程为，‎ 因为直线与圆C相交的弦长为，则圆心到直线的距离为，所以 求得或 -------------------------- 10分 ‎23解：（）由，得，即，‎ 当时，，因为不等式的解集是，所以，解得， ‎ 当时，，因为不等式的解集是，所以，该式无解，‎ 所以………………….5分 ‎（）因为，‎ 所以要使存在实数解，只需，即实数的取值范围是． ……………10分