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- 2021-06-11 发布
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课时分层训练(四十七) 双曲线
(对应学生用书第276页)
A组 基础达标
(建议用时:30分钟)
一、选择题
1.下列双曲线中,焦点在y轴上且渐近线方程为y=±2x的是( )
【导学号:00090300】
A.x2-=1 B.-y2=1
C.-x2=1 D.y2-=1
C [由于焦点在y轴上,且渐近线方程为y=±2x.
∴=2,则a=2B.C中a=2,b=1满足.]
2.(2015·湖南高考)若双曲线-=1的一条渐近线经过点(3,-4),则此双曲线的离心率为( )
A. B.
C. D.
D [由双曲线的渐近线过点(3,-4)知=,∴=.
又b2=c2-a2,∴=,
即e2-1=,∴e2=,∴e=.]
3.(2017·全国卷Ⅱ)若a>1,则双曲线-y2=1的离心率的取值范围是( )
A.(,+∞) B.(,2)
C.(1,) D.(1,2)
C [由题意得双曲线的离心率e=.
∴e2==1+.
∵a>1,∴0<<1,∴1<1+<2,
∴1<e<.
故选C.]
4.已知F为双曲线C:x2-my2=3m(m>0)的一个焦点,则点F到C的一条渐近线的距离为( )
A. B.3
C.m D.3m
A [由双曲线方程知a2=3m,b2=3,
∴c==.
不妨设点F为右焦点,则F(,0).
又双曲线的一条渐近线为x-y=0,
∴d==.]
5.(2017·成都调研)过双曲线x2-=1的右焦点且与x轴垂直的直线,交该双曲线的两条渐近线于A,B两点,则|AB|=( )
A. B.2
C.6 D.4
D [由题意知,双曲线x2-=1的渐近线方程为y=±x,将x=c=2代入得y=±2,即A,B两点的坐标分别为(2,2),(2,-2),所以|AB|=4.]
二、填空题
6.已知双曲线-y2=1(a>0)的一条渐近线为x+y=0,则a=__________.
[双曲线-y2=1的渐近线为y=±,已知一条渐近线为x+y=0,即y=-x,因为a>0,所以=,所以a=.]
7.(2016·山东高考)已知双曲线E:-=1(a>0,b>0),若矩形ABCD的四个顶点在E上,AB,CD的中点为E的两个焦点,且2|AB|=3|BC|,则E的离心率是________. 【导学号:00090301】
2 [如图,由题意知|AB|=,|BC|=2C.
又2|AB|=3|BC|,
∴2×=3×2c,即2b2=3ac,
∴2(c2-a2)=3ac,两边同除以a2,并整理得2e2-3e-2=0,解得e=2(负值舍去).]
8.(2018·黄山模拟)若圆(x-3)2+y2=1上只有一点到双曲线-=1(a>0,b>0)的一条渐近线的距离为1,则该双曲线的离心率为________.
【导学号:00090302】
[不妨取渐近线为bx+ay=0,由题意得圆心到渐近线bx+ay=0的距离等于2,即=2,所以=.
所以e2=1+=,即e=.]
三、解答题
9.已知椭圆D:+=1与圆M:x2+(y-5)2=9,双曲线G与椭圆D有相同焦点,它的两条渐近线恰好与圆M相切,求双曲线G的方程.
[解] 椭圆D的两个焦点为F1(-5,0),F2(5,0),因而双曲线中心在原点,焦点在x轴上,且c=5. 3分
设双曲线G的方程为-=1(a>0,b>0),
∴渐近线方程为bx±ay=0且a2+b2=25, 8分
又圆心M(0,5)到两条渐近线的距离为r=3.
∴=3,得a=3,b=4, 10分
∴双曲线G的方程为-=1. 12分
10.已知双曲线的中心在原点,焦点F1,F2在坐标轴上,离心率为,且过点(4,-),点M(3,m)在双曲线上.
(1)求双曲线的方程;
(2)求证:·=0;
(3)求△F1MF2的面积.
[解] (1)∵e=,则双曲线的实轴、虚轴相等.
∴设双曲线方程为x2-y2=λ. 2分
∵过点(4,-),∴16-10=λ,即λ=6.
∴双曲线方程为x2-y2=6. 4分
(2)证明:∵=(-3-2,-m),
=(2-3,-m).
∴·=(3+2)×(3-2)+m2=-3+m2. 6分
∵M点在双曲线上,∴9-m2=6,即m2-3=0,
∴·=0. 8分
(3)△F1MF2的底|F1F2|=4.
由(2)知m=±. 10分
∴△F1MF2的高h=|m|=,
∴S△F1MF2=×4×=6. 12分
B组 能力提升
(建议用时:15分钟)
1.(2017·河南中原名校联考)过双曲线-=1(a>0,b>0)的右焦点与对称轴垂直的直线与渐近线交于A,B两点,若△OAB的面积为,则双曲线的离心率为( )
A. B.
C. D.
D [由题意可求得|AB|=,所以S△OAB=××c=,整理得=.因此e=.]
2.(2017·天津河西区质检)已知双曲线-=1(a>0,b>0)的一个焦点为F(2,0),且双曲线的渐近线与圆(x-2)2+y2=3相切,则双曲线的方程为__________.
【导学号:00090303】
x2-=1 [由双曲线的渐近线y=±x,即bx±ay=0与圆(x-2)2+y2=3相切,
∴=,则b2=3a2. ①
又双曲线的一个焦点为F(2,0),
∴a2+b2=4, ②
联立①②,解得a2=1,b2=3.
故所求双曲线的方程为x2-=1.]
3.已知椭圆C1的方程为+y2=1,双曲线C2的左、右焦点分别是C1的左、右顶点,而C2的左、右顶点分别是C1的左、右焦点.
(1)求双曲线C2的方程;
(2)若直线l:y=kx+与双曲线C2恒有两个不同的交点A和B,且·>2(其中O为原点),求k的取值范围.
[解] (1)设双曲线C2的方程为-=1(a>0,b>0),则a2=3,c2=4,再由a2+b2=c2,得b2=1. 4分
故C2的方程为-y2=1. 5分
(2)将y=kx+代入-y2=1,
得(1-3k2)x2-6kx-9=0.
由直线l与双曲线C2交于不同的两点,得
∴k2≠且k2<1. ①
设A(x1,y1),B(x2,y2),
则x1+x2=,x1x2=-. 8分
∴x1x2+y1y2=x1x2+(kx1+)(kx2+)
=(k2+1)x1x2+k(x1+x2)+2=.
又·>2,得x1x2+y1y2>2,
∴>2,即>0,
解得