数学（理）卷·2018届天津市实验中学高三上学期期中（第三阶段）考试（2017 9页

天津市实验中学2018届高三上学期期中（第三阶段）考试 数学（理）试题 第Ⅰ卷（共40分）‎ 一、选择题：本大题共8个小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.设集合，集合，则（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎2.已知复数，则复数的虚部是（ ）‎ A． B． C. D． ‎ ‎3．“”是“函数在区间上为增函数”的（ ）‎ A.充分不必耍条件 C.必要不充分条件 B.充要条件 D.既不充分也不必要条件 ‎ ‎4.已知为偶函数，则可以取的一个值为（ ）‎ A． B． C. D． ‎ ‎5．设的内角所对边的长分别为，若，则角（ ）‎ A． B． C. D． ‎ ‎6.已知点，则向量在向量上的投影为（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎7.已知是等差数列的前项和，，设为数列的前项和，则（ ）‎ A．2014 B． C．2015 D． ‎ ‎8.已知为偶函数，当时，，若函数恰有4个零点，则实数的取值范围（ ）‎ A． B． C. D． ‎ 第Ⅱ卷（共110分）‎ 二、填空题（每题5分，满分30分，将答案填在答题纸上）‎ ‎9.已知复数是纯虚数，（为虚数单位)，则 ．‎ ‎10.等比数列的前项和为，且成等差败列.若，则 ．‎ ‎11. 设的内角，所对边的长分别是，且.则的值为 ．‎ ‎12.若直线与曲线相切，则 ．‎ ‎13.在平行四边形中，,为的中点，为平面内一点，若，则 ．‎ ‎14．对于函数，设，若存在，使得，则称互为“零点相邻函数”.若函数与互为“零点相邻函数”，则实数的取值范围是 ．‎ 三、解答题 （本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） ‎ ‎15.是直线与函数图像的两个相邻的交点，且.‎ ‎（1）求的值和函数的单调增区间 ‎（2）在锐角中，分别是角的对边，若，的面积为，求的值.‎ ‎16.从装有大小相同的2个红球和6个白球的袋子中，每摸出2个球为一次试验，直到摸出的球中有红球（不放回），则实验结束.‎ ‎（1）求第一次实验恰好摸到1个红球和1个白球的概率；‎ ‎（2）记实验次数为，求的分布列及数学期望.‎ ‎17. 正数数列的前项和为，且，求 ‎（1）的通项公式；‎ ‎（2）设，数列的前项和为，求的取值范围.‎ ‎18.等差数列的前项和为，且，数列满足：，数列的前项和为 ‎（1）求等筹数列的通项公式及前项和为；‎ ‎（2求数列的通项公式及前项和为 ‎（3）设集合，若的子集个数为16，求实数的取值范围.‎ ‎19. 已知椭圆的一个焦点与抛物线的焦点相同，为椭圆的左、右焦点，为椭圆上任意一点，面积的最大值为1.‎ ‎（1）求椭圆的标准方程；‎ ‎（2）设不过原点的直线：与椭圆交于两点 ‎①若直线与的斜率分别为，且，求证：直线过定点，并求出该定点的坐标；‎ ‎②若直线的斜率是直线斜率的等比中项，求面积的取值范围.‎ ‎20. 设函数 ‎（1）若在点处的切线斜率为，求的值；‎ ‎（2）当时，求的单调区间；‎ ‎（3）若，求证：在时，.‎ 试卷答案 一、选择题 ‎1-5: CCADB 6-8: ACB ‎ 二、填空题 ‎9. 10. 15 11. 12. ‎ ‎13. 6 14.‎ 三、解答题 ‎15. （1）.‎ 由函数的图象及，得函数的周期，‎ 解得.‎ 注：，或均可.‎ ‎（2）∵‎ ‎∴6 分 又∵是锐角三角形，，∴‎ 即.由，得 由余弦定理，得，‎ 即.‎ ‎16.解：（1）；‎ ‎（2）∵；；‎ ‎；.‎ ‎∴的分布列为 ‎.‎ ‎17.（1）由，当带入得，‎ 两边平方得（1），‎ 时，（2），‎ ‎（1）-（2），得，‎ ‎，‎ 由正数数列，得，‎ ‎∴数列是以1为首项，2为公差的等差数列，‎ ‎∴有；‎ ‎（2）‎ 当，‎ ‎∴.‎ ‎18.解：（1）设数列的公差为，‎ 由题意得，解得，∴.∴.‎ ‎（2）由题意得，‎ 叠乘得 ‎ 由题意得 ①‎ ‎②‎ ‎②-①得：‎ ‎∴.‎ ‎（3）由上面可得，令，‎ 则，‎ 下面研究数列的单调性，‎ ‎∵，‎ ‎∴时，，，即单调递减，‎ ‎∵集合的子集个数为16，∴中的元素个数为4，‎ ‎∴不等式解的个数为4，‎ ‎∴.‎ ‎19．（1）由拋物线的方程得其焦点为，所以椭圆中，‎ 当点为椭圆的短轴端点时，面积最大，此时.所以.‎ 为椭圆的左、右焦点，为椭圆上任意一点，面积的最大值为1，‎ 所以椭圆的方程为.‎ ‎（2）联立得，‎ ‎，得 ‎ 设，则，‎ ‎（ⅰ），由，得 ‎，‎ 所以，即，‎ 得，‎ 所以直线的方程为，因此直线恒过定点，该定点坐标为.‎ ‎（ⅱ）因为直线的斜率是斜率的等比中项，所以，即，‎ 得，得，所以，又 所以.‎ 代入，得.‎ ‎.‎ 设点到直线的距离为，则，‎ 所以 ‎ ‎.‎ 当且仅当，即时，面积取最大值.‎ 故面积的取值范围为.‎ ‎20．解：（1）若在点处的切线斜率为，‎ ‎，‎ 得.‎ ‎（2）由 当时，令解得：‎ 当变化时，随变化情况如表：‎ 由表可知：在上是单调减函数，在上是单调增函数 所以，当时，的单调减区间为.单调增区间为 ‎（3）当时，要证，即证 令，只需证 ‎∵ ‎ 由指数函数及幕函数的性质知：在上是增函数 又，∴‎ 在内存在唯一的零点，也即在上有唯一零点 设的零点为，则，即，‎ 由的单调性知：‎ 当时，，为减函数 当时，，为增函数，‎ 所以当时.‎ 又