数学理卷·2018届江西省南城县第一中学高三上学期期中联考（2017 9页

‎2017-2018学年第一学期期中联考 高三数学（理科）试卷 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.集合，则中子集的个数为（ ）‎ A．个 B．个 C．个 D．个 ‎2.设，，则“或”是“”的（ ）‎ A．充分不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎3.若是等差数列的前项和，且，则的值为（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎4.若为的内角，且，则等于（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎5.我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有金箠，长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺，重二斤，问次一尺各重几何？”意思是：“现有一根金箠，长五尺，一头粗，一头细，在粗的一端截下尺，重斤；在细的一端截下尺，重斤；问依次每一尺各重多少斤？”根据上题的已知条件，若金箠由粗到细是均匀变化的，问第二尺与第四尺的重量之和为（ ） ‎ A．斤 B．斤 C.斤 D．斤 ‎6.如图所示，点从点处出发，按逆时针方向沿边长为的正三角形运动一周，为的中心，设点走过的路程为，的面积为（当、、三点共线时，记面积为），则函数的图象大致为（ ） ‎ A． B．‎ C. D．‎ ‎7.已知函数是上的偶函数，当，时，都有，设，，，则（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎8.已知函数与，则它们所有交点的横坐标之和为（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎9.在中，内角，，的对边分别为，，，若，则这个三角形必含有（ ）‎ A．的内角 B．的内角 C.的内角 D．的内角 ‎10.已知函数在上单调，且函数的图象关于对称，若数列是公差不为的等差数列，且，则的前项的和为（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎11.已知点是圆上的动点，点，，是以坐标原点为圆心的单位圆上的动点，且，则的最小值为（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎12.函数（），若的解集为，且中只有一个整数，则实数的取值范围为（ ）‎ A． B． ‎ C. D．‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.‎ ‎13.已知向量，，，且，则等于 ．‎ ‎14.满足（，），是前项和，，则 ．‎ ‎15.在中，角，，的对边分别为，，，且满足，若，则的最小值为 ．‎ ‎16.已知函数在上单调递增，则实数的取值范围 ．‎ 三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） ‎ ‎17. 在中，角，，的对边分别为，，，且，已知，，，求：‎ ‎（1）和的值；‎ ‎（2）的值.‎ ‎18. 已知（）的最小值为.‎ ‎（1）求函数的单调递增区间；‎ ‎（2）在中，内角，，的对边分别为，，，且，求的取值范围.‎ ‎19. 等差数列中，，其前项和为，等比数列的各项均为正数，，公比为（），且，.‎ ‎（1）求与；‎ ‎（2）求数列的前项和.‎ ‎20. 已知等差数列的前项和为，若，，（，且）.‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）若数列满足（），求数列的前项和.‎ ‎21. 设，函数.‎ ‎（1）若，求曲线在处的切线方程；‎ ‎（2）若无零点，求实数的取值范围；‎ ‎（3）若有两个相异零点，，求证：‎ ‎22. 已知函数.‎ ‎（1）当时，求在区间上的最值；‎ ‎（2）讨论函数的单调性；‎ ‎（3）当时，有恒成立，求的取值范围.‎ ‎2017-2018学年第一学期期中联考 高三数学（理科）参考答案 一、选择题 ‎1-5:DBCAA 6-10:ACCBD 11、12：BA 二、填空题 ‎13. 14. 15. 16.‎ 三、解答题 ‎17.（1）由，得，又，所以.‎ 由余弦定理，得，又，所以.‎ 解得，或，.因，所以，.‎ ‎（2）在中，.‎ 由正弦定理，得.‎ 因，所以为锐角，因此.‎ 于是.‎ ‎18.解：（Ⅰ）∵‎ ‎，其中，‎ ‎∴由其最小值为，可得：，解得：，‎ ‎∵，可得：，，，‎ ‎∴，令，，解得：，.‎ ‎∴函数的单调递增区间为：，‎ ‎（Ⅱ）∵，即，‎ ‎∴由正弦定理可得，可得：，‎ ‎∵为三角形内角，，‎ ‎∴，可得，‎ ‎∴，可得，‎ ‎∴，‎ ‎∴.‎ ‎19.【解答】解：（1）等差数列的公差为，‎ ‎，，∴，∴.‎ 整理得：，解得：或（舍去），‎ ‎∴，，∴‎ ‎（2）数列前项和为，，‎ ‎，‎ 数列的前项和 数列的前项和 ‎20.解：（Ⅰ）由已知得，且，‎ 设数列的公差为，则有，∴‎ 由，得，即，‎ ‎∴∴.‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，∴‎ ‎∴，得.∴.‎ 设数列的前项和为 ‎∴①‎ ‎②‎ ‎①②，得 ‎∴（）‎ ‎21.（1）函数的定义域为，，‎ 当时，，则切线方程为，‎ 即.‎ ‎（2）①若时，则，是区间上的增函数，‎ ‎∵，，‎ ‎∴，函数在区间有唯一零点；‎ ‎②若，有唯一零点；‎ ‎③若，令，得，‎ 在区间上，，函数是增函数；‎ 在区间上，，函数是减函数；‎ 故在区间上，的极大值为，‎ 由于无零点，须使，解得，‎ 故所求实数的取值范围是.‎ ‎（3）要证，两边同时取自然对数得.‎ 由得，得.‎ 所以原命题等价于证明.‎ 因为，故只需证，即.‎ 令，则，设（），只需证.‎ 而，故在单调递增，所以.‎ 综上得.‎ ‎22.解：（Ⅰ）当时，，∴.‎ ‎∵的定义域为，∴由得.‎ ‎∴在区间上的最值只可能在，，取到，而，，，‎ ‎∴，‎ ‎（Ⅱ），.‎ ‎①当，即时，，∴在上单调递减；‎ ‎②当时，，∴在上单调递增；‎ ‎③当时，由得，∴或（舍去）‎ ‎∴在单调递增，在上单调递减；‎ 综上，当，在上单调递增；‎ 当时，在单调递增，在上单调递减；当时，在上单调递减；‎ ‎（Ⅲ）由（Ⅱ）知，当时，‎ 即原不等式等价于即整理得 ‎∴，又∵，∴的取值范围为.‎