四川省宜宾市叙州区第一中学校2019-2020学年高二下学期第一次在线月考数学（理）试题 10页

‎2020年春四川省叙州区第一中学高二第一学月考试 理科数学试题 注意事项：‎ ‎1．答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上。‎ ‎2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。‎ 第I卷 选择题（60分）‎ 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。‎ ‎1．直线的倾斜角为 A． B． C． D．与a取值有关 ‎2．某协会有200名会员，现要从中抽取40名会员作样本，采用系统抽样法等间距抽取样本，将全体会员随机按1~200编号，并按编号顺序平均分为40组（1－5号，6－10号，…，196－200号）.若第5组抽出的号码为22，则第1组至第3组抽出的号码依次是 A．3，8，13 B．2，7，‎12 ‎C．3，9，15 D．2，6，12‎ ‎3．甲、乙两名同学在5次数学考试中，成绩统计用茎叶图表示如图所示，若甲、乙两人的平均成绩分别用、表示，则下列结论正确的是 A．，且甲比乙成绩稳定 B．，且乙比甲成绩稳定 C．，且甲比乙成绩稳定 D．，且乙比甲成绩稳定 ‎4．若方程表示一个圆，则的取值范围是 A． B． C． D．‎ ‎5．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 A． ‎ B． ‎ B． C． D．‎ ‎6．平面∥平面的一个充分条件是 A．存在一条直线，∥，∥‎ B．存在一条直线，⊂，∥‎ C．存在两条平行直线，，⊂，⊂，∥，∥‎ D．存在两条异面直线，，⊂，⊂，∥，∥‎ ‎7．已知直线：与：平行，则的值是 ‎ A．或 B．或 C．或 D．或 ‎8．若圆：关于直线对称，，则与间的距离是 A． B． C． D．‎ ‎9．已知，作直线，使得点到直线的距离均为，且这样的直线恰有条，则的取值范围是 A． B． C． D．‎ ‎10．三棱锥P﹣ABC中，△ABC为等边三角形，PA＝PB＝PC＝3，PA⊥PB，三棱锥P﹣ABC的外接球的体积为 A． B．π C．27 D．27π ‎11．抛物线的焦点为，点为抛物线上的动点，点为其准线上的动点，当为等边三角形时，其面积为 A． B． C．2 D．‎ ‎12．已知双曲线的左、右焦点分别是，，过的直线交双曲线的右支于，两点，若，且，则该双曲线的离心率为 A． B． C． D．‎ 第II卷 非选择题（90分）‎ 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。‎ ‎13．命题“”的否定形式是______．‎ ‎14．已知x､y满足约束条件,则的最小值为_____________.‎ ‎15．已知点，点F是直线l:上的一个动点，当最大时，过点M，N，F的圆的方程是__________.‎ ‎16．已知，若点在直线上，则的最小值为___________.‎ 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。‎ ‎17．（10分）命题：方程有实数解，命题：方程表示焦点 在轴上的椭圆．‎ ‎(I) 若命题为真，求的取值范围； (II) 若命题为真，求的取值范围．‎ ‎18．（12分）已知圆经过两点，，且圆心在直线：上．‎ ‎(I) 求圆的方程；‎ ‎（Ⅱ）设圆与轴相交于、两点，点为圆上不同于、的任意一点，直线、交轴于、点．当点变化时，以为直径的圆是否经过圆内一定点？请证明你的结论．‎ ‎19．（12分）某校100名学生期中考试语文成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是：[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]．‎ ‎(I) 求图中a的值；（Ⅱ）根据频率分布直方图，估计这100名学生语文成绩的平均分；‎ ‎(III)若这100名学生语文成绩某些分数段的人数(x)与数学成绩相应分数段的人数(y)之比如下表所示，求数学成绩在[50,90)之外的人数.‎ 分数段 ‎[50,60)‎ ‎[60,70)‎ ‎[70,80)‎ ‎[80,90)‎ x∶y ‎1∶1‎ ‎2∶1‎ ‎3∶4‎ ‎4∶5‎ 20． ‎（12分）如图，已知平面是正三角 形，.‎ ‎(I) 求证：平面平面；‎ ‎（Ⅱ）求二面角的正切值.‎ ‎21．（12分）随着智能手机的普及，使用手机上网成为了人们日常生活的一部分，很多消费者对手机流量的需求越来越大.长沙某通信公司为了更好地满足消费者对流量的需求，准备推出一款流量包.该通信公司选了5个城市（总人数、经济发展情况、消费能力等方面比较接近）采用不同的定价方案作为试点，经过一个月的统计，发现该流量包的定价:(单位：元/月）和购买人数(单位：万人）的关系如表:‎ 流量包的定价（元/月）‎ ‎30‎ ‎35‎ ‎40‎ ‎45‎ ‎50‎ 购买人数（万人）‎ ‎18‎ ‎14‎ ‎10‎ ‎8‎ ‎5‎ ‎(I) 根据表中的数据，运用相关系数进行分析说明，是否可以用线性回归模型拟合与的关系？并指出是正相关还是负相关；（Ⅱ）①求出关于的回归方程；‎ ‎②若该通信公司在一个类似于试点的城市中将这款流量包的价格定位25元/ 月，请用所求回归方程预测长沙市一个月内购买该流量包的人数能否超过20 万人.参考数据：‎ ‎，，.参考公式：相关系数，回归直线方程，其中，.‎ ‎22．（12分）如图已知椭圆，是长轴的一个端点，弦过椭圆的中心，且，.‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的方程：‎ ‎（Ⅱ）设为椭圆上异于且不重合的两点，且的平分线总是垂直于轴，是否存在实数，使得，若存在，请求出的最大值，若不存在，请说明理由.‎ ‎2020年春四川省叙州区第一中学高二第一学月考试 理科数学试题参考答案 ‎1．B 2．B 3．A 4．C 5．D 6．D 7．C 8．D 9．B 10．B 11．A 12．A ‎13．． 14．-6 15． 16．‎ ‎16.在上，‎ ‎，，‎ ‎，‎ 设，则，‎ ‎，‎ 当，即时，“=”成立，‎ ‎，‎ 即的最小值为，故答案为.‎ ‎17．（1）∵有实数解，∴ ‎ ‎（2）∵椭椭圆焦点在轴上,所以，∴‎ ‎∵为真，，.‎ ‎18．（1）设圆圆心为，‎ 由得，，解得，∴， ‎ 半径为，所以圆：‎ ‎（2）设（），则．‎ 又，，‎ 所以：，，：，．‎ 圆的方程为．‎ 化简得，‎ 由动点关于轴的对称性可知，定点必在轴上，‎ 令，得．又点在圆内，‎ 所以当点变化时，以为直径的圆经过定点．‎ ‎19．解(1)由频率分布直方图知(‎2a＋0.02＋0.03＋0.04)×10＝1，解得a＝0.005.‎ ‎(2)由频率分布直方图知这100名学生语文成绩的平均分为55×0.005×10＋65×0.04×10＋75×0.03×10＋85×0.02×10＋95×0.005×10＝73(分)．‎ ‎(3)由频率分布直方图知语文成绩在[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)各分数段的人数依次为 ‎0.005×10×100＝5,0.04×10×100＝40,0.03×10×100＝30,0.02×10×100＝20.‎ 由题中给出的比例关系知数学成绩在上述各分数段的人数依次为 ‎.‎ 故数学成绩在[50,90)之外的人数为100－(5＋20＋40＋25)＝10.‎ ‎20．解：（1）取BE的中点F. AE的中点G，连接GD，CF ‎∴,GF∥AB又∵,CD∥AB ‎∴CD∥GF，CD=GF,∴CFGD是平行四边形,‎ ‎∴CF∥GD,又∵CF⊥BF，CF⊥AB∴CF⊥平面ABE ‎∵CF∥DG∴DG⊥平面ABE，‎ ‎∵DG⊂平面ABE∴平面ABE⊥平面ADE；‎ ‎（2）∵AB=BE，∴AE⊥BG，∴BG⊥平面ADE，‎ 过G作GM⊥DE，连接BM，则BM⊥DE，则∠BMG为二面角A−DE−B的平面角，‎ 设AB=BC=2CD=2，则, ‎ 在Rt△DCE中，CD=1，CE=2,∴, ‎ 又, 由DE⋅GM=DG⋅EG得, ‎ 所以， 故面角的正切值为：.‎ ‎21．（1）根据题意，得，.‎ 可列表如下 根据表格和参考数据，得，‎ ‎.‎ 因而相关系数.‎ 由于很接近1，因而可以用线性回归方程模型拟合与的关系. ‎ 由于，故其关系为负相关.‎ ‎（2）①，，‎ 因而关于的回归方程为.‎ ‎②由①知，若，则，故若将流量包的价格定为25元/月，可预测长沙市一个月内购买该流量包的人数会超过20万人.‎ ‎22．（Ⅰ）∵， ∴‎ 又，即，2∴是等腰直角三角形 ‎ ‎∵， ∴因为点在椭圆上，∴∴‎ ‎∴所求椭圆方程为 ‎ ‎（Ⅱ）对于椭圆上两点、，∵的平分线总是垂直于轴 ‎∴与所在直线关于对称，设且，则， ‎ 则的直线方程 ①‎ 的直线方 ②‎ 将①代入得 ③‎ ‎∵在椭圆上，∴是方程③的一个根，∴ ‎ 以替换，得到. ‎ ‎ ‎ 因为,所以∴ ∴，∴存在实数，使得 ‎ 当时即时取等号，又，‎