【数学】2019届一轮复习人教B版　曲线与方程学案 13页

第53讲　曲线与方程 考纲要求 考情分析 命题趋势 ‎　　了解方程的曲线与曲线的方程的对应关系.‎ ‎2017·全国卷Ⅱ，20‎ ‎2016·全国卷Ⅰ，20(1)‎ ‎2016·全国卷Ⅲ，20(2)‎ 求满足条件的动点轨迹及轨迹方程，用直接法和定义法较为普遍.‎ 分值：3～5分 ‎1．曲线与方程 一般地，在直角坐标系中，如果某曲线C上的点与一个二元方程f(x，y)＝0的实数解建立了如下关系：‎ ‎(1)曲线上点的坐标都是__这个方程__的解；‎ ‎(2)以这个方程的解为坐标的点都是__曲线上__的点．‎ 那么，这个方程叫做曲线的方程，这条曲线叫做方程的曲线．‎ 曲线可以看作是符合某条件的点的集合，也可看作是适合某种条件的点的轨迹，因此，此类问题也叫轨迹问题．‎ ‎2．求曲线方程的基本步骤 ‎1．思维辨析(在括号内打“√”或“×”)．‎ ‎(1)f(x0，y0)＝0是点P(x0，y0)在曲线f(x，y)＝0上的充要条件．(　√　)‎ ‎(2)方程x2＋xy＝x表示的曲线是一个点和一条直线．(　×　)‎ ‎(3)到两条互相垂直的直线距离相等的点的轨迹方程是x2＝y2.(　 ×　)‎ ‎(4)方程y＝与x＝y2表示同一曲线．(　×　)‎ 解析 (1)正确．由f(x0，y0)＝0可知点P(x0，y0)在曲线f(x，y)＝0上，又P(x0，y0)在曲线f(x，y)＝0上时，有f(x0，y0)＝0.所以f(x0，y0)＝0是P(x0，y0)在曲线f(x，y)＝0上的充要条件．‎ ‎(2)错误．方程变为x(x＋y－1)＝0，所以x＝0或x＋y－1＝0，故方程表示直线x＝0或直线x＋y－1＝0.‎ ‎(3)错误．当以两条互相垂直的直线为x轴，y轴时，是x2＝y2，否则不正确．‎ ‎(4)错误．因为方程y＝表示的曲线只是方程x＝y2表示曲线的一部分，故其不正确．‎ ‎2．和点O(0,0)，A(c,0)距离的平方和为常数c(c≠0)的点的轨迹方程为__2x2＋2y2－2cx＋c2－c＝0__.‎ 解析 设点的坐标为(x，y)，由题意知 ‎()2＋()2＝c，‎ 即x2＋y2＋(x－c)2＋y2＝c，即2x2＋2y2－2cx＋c2－c＝0.‎ ‎3．MA和MB分别是动点M(x，y)与两定点A(－1,0)和B(1,0)的连线，则使∠AMB为直角的动点M的轨迹方程是__x2＋y2＝1(x≠±1)__.‎ 解析 点M在以A，B为直径的圆上，但不能是A，B两点．‎ ‎4．平面内有三个点A(－2，y)，B，C(x，y)，若⊥，则动点C的轨迹方程为__y2＝8x(x≠0)__．‎ 解析 ＝，＝，由⊥，得·＝0.‎ 即2x＋·＝0.∴动点C的轨迹方程为y2＝8x(x≠0)．‎ ‎5．圆的方程为x2＋y2＝4，抛物线过点A(－1,0)，B(1,0)且以圆的切线为准线，则抛物线焦点的轨迹方程是__＋＝1(y≠0) __.‎ 解析 设抛物线焦点为F，过A，B，O作准线的垂线AA1，BB1，OO1，则＋＝2＝4，由抛物线定义得＋＝＋，∴＋＝4，故F点的轨迹是以A，B为焦点，长轴长为4的椭圆(去掉长轴两端点)．‎ 一　定义法求轨迹方程 应用定义法求曲线方程的关键在于由已知条件推出关于动点的等量关系式，由等量关系结合曲线定义判断是何种曲线，再设出标准方程，用待定系数法求解．‎ ‎【例1】 已知圆M：(x＋1)2＋y2＝1，圆N：(x－1)2＋y2＝9，动圆P与圆M外切并且与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线C，求C的方程．‎ 解析 由已知得圆M的圆心为M(－1,0)，半径r1＝1；圆N的圆心为N(1,0)，半径r2＝‎ ‎3.设圆P的圆心为P(x，y)，半径为R.因为圆P与圆M外切并且与圆N内切，所以＋＝(R＋r1)＋(r2－R)＝r1＋r2＝4＞2＝.由椭圆的定义可知，曲线C是以M，N为左、右焦点，长半轴长为2，短半轴长为的椭圆(左顶点除外)，其方程为＋＝1(x≠－2)．‎ 二　直接法求轨迹方程 直接法求轨迹方程的常见类型及解题策略 ‎(1)题中给出等量关系，求轨迹方程．直接代入即可得出方程．‎ ‎(2)题中未明确给出等量关系，求轨迹方程．可利用已知条件寻找等量关系，得出方程．‎ ‎【例2】 (2016·全国卷Ⅲ)已知抛物线C：y2＝2x的焦点为F，平行于x轴的两条直线l1，l2分别交C于A，B两点，交C的准线于P，Q两点．‎ ‎(1)若F在线段AB上，R是PQ的中点，证明AR∥FQ；‎ ‎(2)若△PQF的面积是△ABF的面积的两倍，求AB中点的轨迹方程．‎ 解析 由题知F.设l1：y＝a，l2：y＝b，则ab≠0，且 A，B，P，Q，‎ R.‎ 记过A，B两点的直线为l，则l的方程为2x－(a＋b)y＋ab＝0.‎ ‎(1)由于F在线段AB上，故1＋ab＝0.‎ 记AR的斜率为k1，FQ的斜率为k2，则 k1＝＝＝＝＝－b＝k2.‎ 所以AR∥FQ.‎ ‎(2)设l与x轴的交点为D(x1,0)，‎ 则S△ABF＝|b－a||FD|＝|b－a|，‎ S△PQF＝.‎ 由题设可得|b－a|＝，解得x1＝1.‎ 设满足条件的AB的中点为E(x，y)．‎ 当AB与x轴不垂直时，由kAB＝kDE可得＝(x≠1)．‎ 而＝y，所以y2＝x－1(x≠1)．‎ 当AB与x轴垂直时，E与D重合，故所求轨迹方程为y2＝x－1.‎ 三　相关点法求轨迹方程 相关点法求轨迹方程的基本步骤 ‎(1)设点：设被动点坐标为(x，y)，主动点坐标为(x1，y1)，‎ ‎(2)求关系式：求出两个动点坐标之间的关系式 ‎(3)代换：将上述关系式代入已知曲线方程，便可得到所求动点的轨迹方程．‎ ‎【例3】 (2018·安徽合肥高三调研)已知M为椭圆C：＋＝1上的动点，过点M作x轴的垂线，垂足为D，点P满足＝.‎ ‎(1)求动点P的轨迹E的方程；‎ ‎(2)若A，B两点分别为椭圆C的左、右顶点，F为椭圆C的左焦点，直线PB与椭圆C交于点Q，直线QF，PA的斜率分别为kQF，kPA，求的取值范围．‎ 解析 (1)设P(x，y)，M(m，n)，依题意知D(m,0)，且y≠0.‎ 由＝M，得(m－x，－y)＝(0，－n)，‎ 则有⇒ 又M(m，n)为椭圆C：＋＝1上的点，‎ ‎∴＋＝1，即x2＋y2＝25，‎ 故动点P的轨迹E的方程为x2＋y2＝25(y≠0)．‎ ‎(2)依题意知A(－5,0)，B(5,0)，F(－4,0)，设Q(x0，y0)，‎ ‎∵线段AB为圆E的直径，∴AP⊥BP，设直线PB的斜率为kPB，则kPA＝－，‎ ＝＝－kQFkPB＝－kQFkQB＝－·＝‎ ‎－＝－＝＝＝，‎ ‎∵点P不同于A，B两点且直线QF的斜率存在，‎ ‎∴－50，所以动点P的轨迹是圆．‎ ‎2．(2017·全国卷Ⅲ)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线方程为y＝x，且与椭圆＋＝1有公共焦点，则C的方程为(　B　)‎ A．－＝1 B．－＝1‎ C．－＝1 D．－＝1‎ 解析 根据双曲线C的渐近线方程为y＝x，可知＝，　①又椭圆＋＝1的焦点坐标为(3,0)和(－3,0)，所以a2＋b2＝9，　②根据①②可知a2＝4，b2＝5，故选B．‎ ‎3．已知点P是直线2x－y＋3＝0上的一个动点，定点M(－1,2)，Q是线段PM延长线上的一点，且|PM|＝|MQ|，则Q点的轨迹方程是(　D　)‎ A．2x＋y＋1＝0　　 B．2x－y－5＝0‎ C．2x－y－1＝0　　 D．2x－y＋5＝0‎ 解析 设Q(x，y)，则P为(－2－x,4－y)，代入2x－y＋3＝0得Q点的轨迹方程为2x－y＋5＝0.‎ ‎4．设圆(x＋1)2＋y2＝25的圆心为C，A(1,0)是圆内一定点，Q为圆周上任一点，线段AQ的垂直平分线与 CQ的连线交于点M，则M的轨迹方程为(　D　)‎ A．－＝1　　 B．＋＝1‎ C．－＝1　　 D．＋＝1‎ 解析 ∵M为AQ垂直平分线上一点，则|AM|＝|MQ|，‎ ‎∴|MC|＋|MA|＝|MC|＋|MQ|＝|CQ|＝5，‎ 故M的轨迹是以定点C，A为焦点的椭圆，‎ ‎∴a＝，c＝1，则b2＝a2－c2＝，‎ ‎∴椭圆的标准方程为＋＝1.‎ ‎5．设过点P(x，y)的直线分别与x轴的正半轴和y轴的正半轴交于A，B两点，点Q与点P关于y轴对称，O为坐标原点，若＝2，且·＝1，则点P的轨迹方程是(　A　)‎ A．x2＋3y2＝1(x>0，y>0) B．x2－3y2＝1(x>0，y>0)‎ C．3x2－y2＝1(x>0，y>0) D．3x2＋y2＝1(x>0，y>0)‎ 解析 设A(a,0)，B(0，b)，a>0，b>0.由＝2，‎ 得(x，y－b)＝2(a－x，－y)，即a＝x>0，b＝3y>0，点Q(－x，y)，故由·＝1，得(－x，y)·(－a，b)＝1，即ax＋by＝1.将a，b代入ax＋by＝1得所求的轨迹方程为x2＋3y2＝1(x>0，y>0)．‎ ‎6．已知圆锥曲线mx2＋4y2＝‎4m的离心率e为方程2x2－5x＋2＝0的根，则满足条件的圆锥曲线的个数为(　B　)‎ A．4　　 B．‎3　‎　‎ C．2　　 D．1‎ 解析 ∵e是方程2x2－5x＋2＝0的根，∴e＝2或e＝，mx2＋4y2＝‎4m可化为＋＝1，当它表示焦点在x轴上的椭圆时，有＝，∴m＝3；当它表示焦点在y轴上的椭圆时，有＝，∴m＝；当它表示焦点在x轴上的双曲线时，可化为－＝1，有＝2，∴m＝－12，∴满足条件的圆锥曲线有3个，故选B．‎ 二、填空题 ‎7．已知△ABC的顶点 A(－5,0)，B(5,0)，△ABC的内切圆圆心在直线x＝3上，则顶点C的轨迹方程是__－＝1(x>3)__.‎ 解析 如图，|AD|＝|AE|＝8，|BF|＝|BE|＝2，|CD|＝|CF|，‎ 所以|CA|－|CB|＝8－2＝6.‎ 根据双曲线定义，所求轨迹是以A，B为焦点，实轴长为6的双曲线的右支，方程为－＝1(x>3)．‎ ‎8．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，A(1,0)，B(2,2)，若点C满足O＝O＋t(O－O)，其中t∈R，则点C的轨迹方程是__2x－y－2＝0__.‎ 解析 设 C(x，y)，则＝(x，y)，＋t(－)＝(1＋t,2t)，所以消去参数t得点C的轨迹方程为y＝2x－2.‎ ‎9．P是椭圆＋＝1上的任意一点，F1，F2是它的两个焦点，O为坐标原点，有一动点Q满足O＝＋，则动点Q的轨迹方程是　＋＝1　.‎ 解析 作P关于O的对称点M，连接F‎1M，F‎2M，‎ 则四边形F1PF‎2M为平行四边形，‎ 所以＋＝＝2＝－2.‎ 又＝＋，所以＝－，‎ 设Q(x，y)，则＝，‎ 即点P坐标为，又P在椭圆上，‎ 则有＋＝1，即＋＝1.‎ 三、解答题 ‎10．已知圆C1的圆心在坐标原点O，且恰好与直线l1：x－y－2＝0相切．‎ ‎(1)求圆的标准方程；‎ ‎(2)设点A为圆上一动点，AN⊥x轴于点N，若动点Q满足＝m＋(1－m)(其中m为非零常数)，试求动点Q的轨迹方程C2.‎ 解析 (1)依题意圆的半径为圆心(0,0)到直线l1的距离＝2，故圆C1的方程为x2＋y2＝4.‎ ‎(2)设动点Q(x，y)，A(x0，y0)．‎ ‎∵AN⊥x轴交于点N，∴N(x0,0)，‎ 由题意，得(x，y)＝m(x0，y0)＋(1－m)·(x0,0)，‎ ‎∴即将A，代入x2＋y2＝4，‎ 得＋＝1.即动点Q的轨迹方程为＋＝1.‎ ‎11．(2018·河北唐山统考)已知动点P到直线l：x＝－1的距离等于它到圆C：x2＋y2－4x＋1＝0的切线长(P到切点的距离)．记动点P的轨迹为曲线E.‎ ‎(1)求曲线E的方程；‎ ‎(2)过圆心C作直线AB：x＝my＋2交曲线E于A，B两点，设线段AB的中点为D，‎ 过圆心C作直线CQ垂直于直线AB交直线l于点Q，求的取值范围．‎ 解析 (1)由已知得圆的方程为(x－2)2＋y2＝3，‎ 则圆心为C(2,0)，半径r＝.‎ 设P(x，y)，依题意可得|x＋1|＝，‎ 整理得y2＝6x.故曲线E的方程为y2＝6x.‎ ‎(2)又直线AB的方程为my＝x－2，‎ 则直线CQ的方程为y＝－m(x－2)，可得Q(－1,‎3m)．‎ 将my＝x－2代入y2＝6x并整理可得y2－6my－12＝0，‎ 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2＝‎6m，y1y2＝－12，‎ AB的中点D的坐标为，‎ 即D(‎3m2‎＋2,‎3m)，|QD|＝‎3m2‎＋3.‎ ‎|AB|＝·＝2，‎ 所以2＝＝∈，‎ 故的取值范围是.‎ ‎12．(2017·全国卷Ⅱ)设O为坐标原点，动点M在椭圆C：＋y2＝1上，过M作x轴的垂线，垂足为N，点P满足＝ .　‎ ‎(1)求点P的轨迹方程；‎ ‎(2)设点Q在直线x＝－3上，且·＝1.证明：过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F.‎ 解析 (1)设P(x，y)，M(x0，y0)，则N(x0,0)，‎ ＝(x－x0，y)，＝(0，y0)．由＝ 得x0＝x，y0＝y.‎ 因为M(x0，y0)在椭圆C上，所以＋＝1.‎ 因此点P的轨迹方程为x2＋y2＝2.‎ ‎(2)由题意知F(－1,0)．设Q(－3，t)，P(m，n)，则 ＝(－3，t)，＝(－1－m，－n)，·＝3＋‎3m－tn，‎ ＝(m，n)，＝(－3－m，t－n)．‎ 由·＝1得－‎3m－m2＋tn－n2＝1，‎ 又由(1)知m2＋n2＝2，‎ 故3＋‎3m－tn＝0.‎ 所以·＝0，即⊥.又过点F存在唯一直线垂直于OQ，所以过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F.‎