高考理科数学专题复习练习8.1空间几何体的结构及其三视图和直观图 14页

第八章立体几何 ‎8.1空间几何体的结构及其三视图和直观图 专题2‎ 三视图与直观图 ‎■(2015辽宁丹东二模,三视图与直观图,选择题,理7)一个四面体的顶点在空间直角坐标系O-xyz中的坐标分别是(0,0,2),(2,2,0),(1,2,1),(2,2,2),画该四面体三视图中的正视图时,以平面zOy为投影面,则得到正视图可以为(　　)‎ 解析:由题意,画出直角坐标系,在坐标系中各点对应位置如图所示.‎ 以平面zOy为投影面,得到的正视图为 答案:D ‎■(2015辽宁葫芦岛二模,三视图与直观图,选择题,理7)某四棱锥的三视图如图所示,则最长的一条侧棱长度是(　　)‎ A. B.2 C.5 D.‎ 答案:D ‎8.2空间几何体的表面积与体积 专题1‎ 空间几何体的表面积 ‎■(2015江西宜春奉新一中高考模拟,空间几何体的表面积,选择题,理11)某几何体的三视图如图所示,则该几何体中,面积最大的侧面的面积为(　　)‎ A. B. C. D.3‎ 解析:‎ 由三视图可知,几何体的直观图如图所示,平面AED⊥平面BCDE,四棱锥A-BCDE的高为1,四边形BCDE是边长为1的正方形,则S△AED=×1×1=,S△ABC=S△ABE=×1×,S△ACD=×1×.故侧面面积最大为.‎ 答案:B ‎■(2015江西宜春奉新一中高考模拟,空间几何体的表面积,填空题,理15)‎ 已知矩形ABCD的周长为18,把它沿图中的虚线折成正六棱柱,当这个正六棱柱的体积最大时,它的外接球的表面积为　　　　. ‎ 解析:设正六棱柱的底面边长为x,高为y,则6x+y=9,0|=,‎ 则直线B1D与平面ACC1A1所成角的正弦值是.‎ 专题2‎ 利用空间向量解决探索性问题 ‎■(2015辽宁锦州一模,利用空间向量解决探索性问题,解答题,理18)‎ 如图,已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直,AB=,AF=1.‎ ‎(1)求直线DF与平面ACEF所成角的正弦值;‎ ‎(2)在线段AC上找一点P,使所成的角为60°,试确定点P的位置.‎ 解:(1)以为x,y,z轴,建立如图空间直角坐标系,则E(0,0,1),D(,0,0),B(0,,0),A(,0),F(,1),‎ 因为AC⊥BD,AF⊥BD,‎ 所以是平面ACEF的法向量.‎ 又因为=(-,0),=(0,,1),‎ 所以cos<>=.‎ 故直线DF与平面ACEF所成角正弦值为.‎ ‎(2)设P(a,a,0)(0≤a≤),则=(-a,-a,1),=(0,,0).‎ 因为<>=60°,‎ 所以cos60°=.‎ 解得a=,故存在满足条件的点P为AC的中点.‎ 专题3‎ 利用空间向量求空间角 ‎■(2015江西宜春奉新一中高考模拟,利用空间向量求空间角,解答题,理19)‎ 如图,在四棱锥P-ABCD中,侧棱PA⊥底面ABCD,AD∥BC,∠ABC=90°,PA=AB=BC=2,AD=1,M是棱PB中点.‎ ‎(1)求证:AM∥平面PCD;‎ ‎(2)设点N是线段CD上一动点,且DN=λDC,当直线MN与平面PAB所成的角最大时,求λ的值.‎ ‎(1)证明:以点A为原点建立如图所示的空间直角坐标系,则A(0,0,0),B(0,2,0),C(2,2,0),D(1,0,0),P(0,0,2),M(0,1,1).‎ ‎∴=(0,1,1),=(1,0,-2),=(-1,-2,0).‎ 设平面PCD的法向量是n=(x,y,z),则 令z=1,则x=2,y=-1,于是n=(2,-1,1).‎ ‎∵·n=0,∴⊥n.‎ ‎∴AM∥平面PCD.‎ ‎(2)解:由点N是线段CD上的一点,可设=λ=λ(1,2,0).‎ ‎=(1,0,0)+λ(1,2,0)=(1+λ,2λ,0),=(1+λ,2λ,0)-(0,1,1)=(1+λ,2λ-1,-1).‎ 又面PAB的法向量为m=(1,0,0),‎ 设MN与平面PAB所成的角为θ,‎ 则sinθ=.‎ ‎∴当时,即5=3+3λ,λ=时,sinθ最大,‎ ‎∴MN与平面PAB所成的角最大时,λ=.‎ ‎■(2015江西南昌三模,利用空间向量求空间角,解答题,理19)‎ 如图,四边形ABCD是正方形,PD⊥面ABCD,PD∥AQ,且AQ=AB=PD,M为PC中点.‎ ‎(1)求证:PD⊥QM;‎ ‎(2)求二面角B-PQ-A大小的余弦值.‎ 解法一:‎ ‎(1)取PD中点N,连接MN,QN,‎ 则MN∥CD,QN∥AD.又PD⊥平面ABCD,‎ 所以PD⊥AD,PD⊥CD,于是PD⊥MN,PD⊥QN,‎ 又MN∩QN=N,MN⊂面MNQ,QN⊂面MNQ,‎ 所以PD⊥面MNQ,由QM⊂面MNQ,得PD⊥QM.‎ ‎(2)延长PQ,DA交于E,过A作AF⊥EQ交EQ于F,‎ 连接BF,则易证∠AFB为二面角B-PQ-A的平面角,不妨取AD=1,则由已知可得AF=,于是BF=,‎ 所以cos∠AFB=.‎ 解法二:(1)过M作MN∥PD交CD于N,‎ 则易得四边形ANMQ为平行四边形,∴AN∥QM.‎ 又面ABCD,AN⊂面ABCD,PD⊥AN,‎ ‎∴PD⊥QM.‎ ‎(2)同法一 解法三:(1)由题意可知,DA,DP,DC两两互相垂直,‎ 以点D为原点,DA,DP,DC分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系,不妨取AD=1,‎ 则A(1,0,0),B(1,0,1),C(0,0,1),D(0,0,0),P(0,2,0),Q(1,1,0),‎ ‎∴M,得=(0,-2,0),‎ 由=-1×0+0×(-2)+×0=0,‎ ‎∴PD⊥QM.‎ ‎(2)由(1)知=(1,-2,1),=(1,-1,0),‎ 设面PQB的法向量为n=(x,y,z),‎ 由取n=(1,1,1),‎ 又面PAQ的法向量为=(0,0,1),‎ 设二面角B-PQ-A的大小为α,则cosα=.‎ ‎■(2015河北保定二模,利用空间向量求空间角,解答题,理19)‎ 如图,在四棱锥P-ABCD中,AD=CD=2AB=2,PA⊥AD,AB∥CD,CD⊥AD,E为PC的中点,且DE=EC.‎ ‎(1)求证:PA⊥面ABCD;‎ ‎(2)设PA=a,若平面EBD与平面ABCD所成锐二面角θ∈,求a的取值范围.‎ ‎(1)证明:∵E为PC的中点,DE=EC=PE,‎ ‎∴PD⊥DC.‎ ‎∵CD⊥AD,PD∩AD=D,‎ ‎∴CD⊥平面PAD.‎ ‎∵PA⊂平面PAD,‎ ‎∴CD⊥PA.‎ ‎∵PA⊥AD,AD∩CD=D,‎ ‎∴PA⊥面ABCD.‎ ‎(2)解:‎ 以AB所在直线为x轴,AD所在直线为y轴,AP所在直线为z轴建立空间坐标系,如图所示.B(1,0,0),D(0,2,0),P(0,0,a),C(2,2,0),E.‎ 可得平面BCD法向量n1=(0,0,1),平面EBD法向量n2=(2a,a,-2).‎ cosθ=,可得a∈.‎ ‎■(2015河北邯郸二模,利用空间向量求空间角,解答题,理19)如图,在等腰梯形CDFE中,A,B分别为底边DF,CE的中点.AD=2AB=2BC=2.沿AE将△AEF折起,使二面角F-AE-C为直二面角,连接CF,DF.‎ ‎(1)证明:平面ACF⊥平面AEF;‎ ‎(2)求平面AEF与平面CDF所成二面角的余弦值.‎ ‎(1)证明:在等腰梯形CDFE中,由已知条件可得,CD=AC=AE=EF=,AF=AD=2,‎ 所以AE2+EF2=AF2,∴EF⊥EA.同理可证,EF⊥AC.‎ 在四棱锥F-AECD中,‎ ‎∵二面角F-AE-C为直二面角,∴平面AEF⊥平面AECD.又EF⊥EA,‎ ‎∴EF⊥平面AECD.‎ ‎∵AC⊂平面AECD,∴AC⊥EF.‎ 又∵AC⊥AE,∴AC⊥平面AEF.‎ ‎∴平面ACF⊥平面AEF.‎ ‎(2)解:以E为原点,EC所在直线为x轴,EF所在直线为z轴建立如图所示的坐标系,则A(1,1,0),C(2,0,0),D(3,1,0),F(0,0,).‎ ‎=(1,-1,0),=(1,1,0),=(-2,0,).‎ 显然,=(1,-1,0)为平面AEF的法向量,‎ 设平面FCD的法向量n=(x,y,z),‎ 则 所以n的一个取值为(1,-1,).‎ 故平面AEF与平面CDF所成锐二面角的余弦值为.‎ ‎■(2015河北衡水中学高三一调,利用空间向量求空间角,解答题,理19)如图,四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是平行四边形,且AB=1,BC=2,∠ABC=60°,E为BC的中点,AA1⊥平面ABCD.‎ ‎(1)证明:平面A1AE⊥平面A1DE;‎ ‎(2)若DE=A1E,试求异面直线AE与A1D所成角的余弦值;‎ ‎(3)在(2)的条件下,试求二面角C-A1D-E的余弦值.‎ 解:(1)依题意,BE=EC=BC=AB=CD,‎ ‎∴△ABE是正三角形,∠AEB=60°.‎ 又∵△CDE中,∠CED=∠CDE=(180°-∠ECD)=30°,‎ ‎∴∠AED=180°-∠CED-∠AEB=90°,即DE⊥AE.‎ ‎∵AA1⊥平面ABCD,DE⊂平面ABCD,‎ ‎∴DE⊥AA1.‎ ‎∵AA1∩AE=A,∴DE⊥平面A1AE.‎ ‎∵DE⊂平面A1DE,∴平面A1AE⊥平面A1DE.‎ ‎(2)如图1,取BB1的中点M,连接EM,AM,B1C.‎ 图1‎ ‎∵△BB1C中,EM是中位线,∴EM∥B1C.‎ ‎∵A1B1∥AB∥CD,A1B1=AB=CD,‎ ‎∴四边形ABCD是平行四边形,可得B1C∥A1D.‎ ‎∴EM∥A1D.‎ 可得∠AEM(或其补角)是异面直线AE与A1D所成的角.‎ ‎∵△CDE中,DE=CD==A1E=,AE=AB=1,‎ ‎∴A1A=.由此可得BM=,AM=EM=.‎ ‎∴cos∠AEM=,即异面直线AE与A1D所成角的余弦值为.‎ ‎(3)如图2,取BE的中点F,以A为原点,AF所在直线为x轴,AD所在直线为y轴,AA1所在直线为z轴建立空间直角坐标系,AA1=,‎ 则A(0,0,0),D(0,2,0),C,A1(0,0,).‎ 又=(0,2,-).‎ 图2‎ 设平面CA1D的法向量n1=(x,y,z),‎ 则得n1=(1,).‎ 同理可得平面A1DE的一个法向量为n2=(,1,).‎ 设二面角C-A1D-E的平面角为θ,且θ为锐角,‎ 则cosθ=|cos|=.‎ 所以二面角C-A1D-E的余弦值为.‎ ‎■(2015辽宁丹东二模,利用空间向量求空间角,选择题,理10)如图,正方形A1BCD折成直二面角A-BD-C,则二面角A-CD-B的余弦值是(　　)‎ ‎　　　　　　　　　　　　　　　　‎ A. B. ‎ C. D.‎ 解析:∵正方形A1BCD的对角线BD为棱折成直二面角,‎ ‎∴平面ABD⊥平面BCD.‎ 连接A1C,与BD相交于O,连接AO,‎ 则AO⊥BD.‎ ‎∵平面ABD∩平面BCD=BD,AO⊂平面ABD,‎ ‎∴AO⊥平面BCD,则OC,OA,OD两两互相垂直.‎ 如图,以O为原点,建立空间直角坐标系O-xyz.‎ 设正方形的棱长为1,‎ 则O(0,0,0),A,C,B,D是平面BCD的一个法向量.‎ ‎.‎ 设平面ABC的法向量n=(x,y,z),‎ 则 即令x=1,则y=-1,z=1,‎ 解得n=(1,-1,1).‎ 从而|cos|=.‎ 二面角A-BC-D的余弦值为.‎ 答案:B ‎■(2015辽宁丹东一模,利用空间向量求空间角,解答题,理18)‎ 如图,正三棱柱ABC-A1B1C1中,底面边长为2,侧棱长为,D为A1C1中点.‎ ‎(1)求证:BC1∥平面AB1D;‎ ‎(2)求二面角A1-AB1-D的大小.‎ 解:‎ ‎(1)连接A1B,与AB1交于E,则E为A1B的中点.‎ ‎∵D为A1C1的中点,‎ ‎∴DE为△A1BC1的中位线.‎ ‎∴BC1∥DE.‎ 又DE⊂平面AB1D,BC1⊄平面AB1D,‎ ‎∴BC1∥平面AB1D.‎ ‎(2)过D作DF⊥A1B1于F,由正三棱柱的性质可知,DF⊥平面AB1.‎ 连接EF,DE,在正△A1B1C1中,‎ 可知,B1D=A1B1=.‎ 在直角三角形AA1D中,‎ ‎∵AD=,‎ ‎∴AD=B1D.‎ ‎∴DE⊥AB1.‎ 又DF⊥AB1,∴AB1⊥平面DEF,∴EF⊥AB1.‎ 则∠DEF为二面角A1-AB1-D的平面角,可得DF=.‎ ‎∵△B1FE∽△B1AA1,‎ ‎∴,则EF=.‎ ‎∴∠DEF=.‎ 故所求二面角A1-AB1-D的大小为.‎ ‎■(2015辽宁葫芦岛二模,利用空间向量求空间角,解答题,理18)‎ 如图,在多面体ABCDEF中,BA⊥BE,BA⊥BC,BE⊥BC,AB∥EF,CD∥BE,AB=BE=2,BC=CD=EF=1,G在线段AB上,且BG=3GA.‎ ‎(1)求证:CG∥平面ADF;‎ ‎(2)求直线DE与平面ADF所成的角的正弦值;‎ ‎(3)求锐二面角B-DF-A的余弦值.‎ ‎(1)证明:分别取AB,AF中点M,H,连接FM,GH,DH,则有AG=GM,MF∥BE.‎ ‎∵AH=HF,∴GH