【数学】山东省潍坊市临朐县实验中学2020届高三模拟（三）试卷 12页

山东省潍坊市临朐县实验中学2020届高三模拟（三）‎ 数学试卷 一、 单项选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1．已知，函数的定义域为，，则下列结论正确 的是 （ ） ‎ A． B． C. D.‎ ‎2．过点作圆的两条切线，切点分别为，则直线的方程为 ‎ ‎（ ）‎ A． B. C. D.‎ ‎3．已知，则 （ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎4．现有4张卡片，正面分别标有1，2，3，4，背面完全相同.将卡片洗匀，背面向上放置，‎ 甲、乙二人轮流抽取卡片，每人每次抽取一张，抽取后不放回，甲先抽.若二人约定，先抽 到标有偶数的卡片者获胜，则甲获胜的概率是 （ ） ‎ A． B． C． D．‎ ‎5．的展开式中，的系数为 （ ） ‎ A．455 B．315 C．-455 D．-315‎ ‎6．设是平面向量，.若对任意平面向量，有 ‎，则 （ ）‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎7．已知函数，对任意，，都有 ‎，‎ 则实数的取值范围是 （ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎8．已知是半径为的球面上的两点，过作互相垂直的两个平面，若 截该球所得的两个截面的面积之和为，则线段的长度是 （ ） ‎ A． B．2 C． D．4‎ 二、多项选择题:本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分,有选错的得0分.‎ ‎9．若，则可以是 （ ）‎ A．102 B．104 C．106 D．108‎ ‎10．如图，为正方体，则 （ ）‎ A．平面 B．‎ C．平面 D．异面直线与所成的角为 ‎11．下列四个命题中，假命题的是 （ ）‎ A．要唯一确定抛物线，只需给出准线和抛物线上的一点 B．要唯一确定以坐标原点为中心的椭圆，只需给出一个焦点和椭圆的上一点 C．要唯一确定以坐标原点为中心的双曲线，只需给出双曲线上的两点 D．要唯一确定以坐标原点为中心的双曲线，只需给出一条渐近线方程和离心率 ‎12．水车在古代是进行灌溉引水的工具，是人类的一项古老的发明，也是人类利用自然和改 造自然的象征.如图是一个半径为的水车，一个水斗从点出发，沿圆周按逆 时针方向匀速旋转，且旋转一周用时60秒.经过秒后，水斗旋转到点，设的坐标为 ‎，其纵坐标满足 .则下列结论正确的是 ‎ ‎（ ）‎ A． ‎ B．当时，‎ C．当时，函数单调递减 D．当时，点到轴的距离的最大值为6‎ 一、 填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡的相应位置.‎ ‎13．曲线在点处的切线方程为 . ‎ ‎14．甲、乙、丙三位同学，其中一位是班长，一位是体育委员，一位是学习委员，已知丙的年 龄比学委大，甲与体委的年龄不同，体委比乙的年龄小．据此推断班长是______．‎ ‎15．设双曲线：的左、右焦点分别为，，过的直线与双曲线 交于，两点，其中在左支上，在右支上.若C的离心率，则实数的 取值范围为 . 若，则 . ‎ ‎16．若关于的不等式的解集为，且，则整数的最 大值是 . ‎ 四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎17．（10分） ‎ 设是单调递增的等比数列，为数列的前项和．已知，且，，构成等差数列． ‎ ‎（1）求及；‎ ‎（2）是否存在常数．使得数列是等比数列?若存在，求的值；若不存在，请说明理由．‎ ‎18．（12分）‎ 如图所示，锐角中，，点在线段上，且，的面积为，延长至，使得.‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）若，求的值.‎ ‎19．（12分）‎ 如图，在四棱锥中，底面是矩形，侧棱底面，，点是的中点.‎ ‎（1）求证：平面；‎ ‎（2）若直线与平面所成角为，求二面角的大小.‎ ‎20．（12分）‎ 已知椭圆 上的点到椭圆一个焦点的距离的最大值是最小值的倍，且点在椭圆上.‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）过点任作一条直线，与椭圆交于不同于点的、两点，与直线交于点，记直线、、的斜率分别为、、.试探究与的关系，并证明你的结论.‎ ‎21．（12分）‎ 甲市实行某政策以来，经济持续高速增长. 下表给出了该市 2010 年至 2019 年第一、第二产业增加值（单位：亿元）.‎ 年 份 ‎2010‎ ‎2011‎ ‎2012‎ ‎2013‎ ‎2014‎ ‎2015‎ ‎2016‎ ‎2017‎ ‎2018‎ ‎2019‎ 第一产业 ‎1.74‎ ‎2.14‎ ‎2.24‎ ‎2.40‎ ‎2.86‎ ‎3.37‎ ‎3.52‎ ‎4.05‎ ‎4.75‎ ‎5.24‎ 第二产业 ‎6.24‎ ‎7.39‎ ‎8.76‎ ‎10.37‎ ‎12.58‎ ‎14.90‎ ‎15.76‎ ‎18.74‎ ‎22.04‎ ‎23.52‎ ‎（1）绘制一个反映甲市第一、第二产业增加值的变化情况的统计图； ‎ ‎（2）建立一个反映甲市第一、第二产业增加值的差异变化的统计模型.‎ 附：‎ ‎22．（12分）‎ 设函数.‎ ‎（1）试讨论函数的单调性；‎ ‎（2）如果且关于的方程有两解，（），证明.‎ 参考答案 一、单项选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1-5: B C A D C 6-8: A B D 二、多项选择题:本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分,有选错的得0分.‎ ‎9.BD 10. B C 11. ACD 12. AD 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.‎ ‎13. 14.乙 15. （第一空2分，第三空3分） 16. 4‎ 四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎17．（10分）‎ 解：（1）设等比数列的公比为，‎ 由题意得 ， ……………1分 ‎ ‎∴， 解得或 （舍）. ……………………3分 所以， . …………………5分 ‎ ‎（2）假设存在常数．使得数列是等比数列，‎ 因为，，，‎ 所以，解得， ………………7分 ‎ 此时 , ， ‎ ‎∴存在常数．使得数列是首项为，公比为等比数列.…10分 ‎18.（12分）‎ 解：（1）在中，‎ ‎.‎ 所以. …………… ………………3分 因为，所以.‎ 由余弦定理得，‎ 得. ………… ……………… ………………6分 ‎（2）因为，所以.……8分 在中，由正弦定理得，‎ 即，所以. ………… ……………… ………………12分 ‎19.（12分）‎ 解：（1）连接交于，连接.由题意可知，,‎ 又平面,平面,‎ 平面. ………………………4分 （2） 以为坐标原点，所在直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，设则,,‎ ‎,,. …………6分 设平面的法向量,由得，‎ 取. ……………………………7分 直线与平面所成的角为，得，‎ 解得. ……………………………………9分 同理可得平面的法向量，‎ 二面角为锐二面角，的大小为. ……………12分 ‎20.（12分）‎ 解：（1）因为椭圆上的点到椭圆一个焦点的距离的最大值和最小值分别为，，所以依题意有：，‎ ‎∵，∴. ………… ………………2分 故可设椭圆的方程为：，‎ 因为点在椭圆上，所以将其代入椭圆的方程得.‎ ‎∴椭圆的方程为. ………………………………………5分 ‎（2）依题意，直线不可能与轴垂直，故可设直线的方程为：即，，为与椭圆的两个交点.‎ 将代入方程化简得：.‎ 所以，. ………………………………6分 ‎. …9分 又由 ，‎ 解得，， 即点的坐标为， ‎ 所以. ………………………………………11分 因此，与的关系为：. ……………………12分 ‎21．（12分）‎ 解：（1）下面给出折线图．‎ ‎ 2010-2019年第一、二产业增加值折线图 ‎2010 2011 2012 2013 2014 2015 2016 2017 2018 2019‎ ‎……………………5分 注：也可绘制柱形图，散点图等．‎ ‎（2）记表示甲市第二产业增加值与第一产业增加值的差，表示年份的代码，2010年至2019年的代码依次为1—10．根据所给数据得的数据如下表：‎ t ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ y ‎4.50‎ ‎5.25‎ ‎6.52‎ ‎7.97‎ ‎9.72‎ ‎11.53‎ ‎12.24‎ ‎14.69‎ ‎17.29‎ ‎18.28‎ ‎………………9分 由所给数据计算得 ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，，‎ 所以回归方程 ‎ ‎ 是一个反映甲市第一、第二产业增加值的差异变化的统计模型． ……… ……12分 ‎22. （12分）‎ 解：（1）由，可知 ‎. ……… ……1分 因为函数的定义域为， ……… ……… ……2分 ‎ 所以①若，则当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增；‎ ‎②若，则当在内恒成立，函数单调递增；‎ ‎③若，则当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增. ……… … ……… ……5分 ‎（2）要证，只需证. 设，‎ 因为， 所以为单调递增函数.‎ 所以只需证，即证，‎ 只需证.（*） ……… … ……… … ……… …7分 又，，‎ 所以两式相减，并整理，得.‎ 把代入（*）式，‎ 得只需证，可化为.……… …9分 令，得只需证. 令（），‎ 则，所以在其定义域上为增函数，‎ ‎ 所以.综上得原不等式成立. ……… ……12分