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  • 2021-06-11 发布

【数学】山东省潍坊市临朐县实验中学2020届高三模拟(三)试卷

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山东省潍坊市临朐县实验中学2020届高三模拟(三)‎ 数学试卷 一、 单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.已知,函数的定义域为,,则下列结论正确 的是 ( ) ‎ A. B. C. D.‎ ‎2.过点作圆的两条切线,切点分别为,则直线的方程为 ‎ ‎( )‎ A. B. C. D.‎ ‎3.已知,则 ( )‎ A. B. C. D.‎ ‎4.现有4张卡片,正面分别标有1,2,3,4,背面完全相同.将卡片洗匀,背面向上放置,‎ 甲、乙二人轮流抽取卡片,每人每次抽取一张,抽取后不放回,甲先抽.若二人约定,先抽 到标有偶数的卡片者获胜,则甲获胜的概率是 ( ) ‎ A. B. C. D.‎ ‎5.的展开式中,的系数为 ( ) ‎ A.455 B.315 C.-455 D.-315‎ ‎6.设是平面向量,.若对任意平面向量,有 ‎,则 ( )‎ A. B. ‎ C. D.‎ ‎7.已知函数,对任意,,都有 ‎,‎ 则实数的取值范围是 ( )‎ A. B. C. D.‎ ‎8.已知是半径为的球面上的两点,过作互相垂直的两个平面,若 截该球所得的两个截面的面积之和为,则线段的长度是 ( ) ‎ A. B.2 C. D.4‎ 二、多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得3分,有选错的得0分.‎ ‎9.若,则可以是 ( )‎ A.102 B.104 C.106 D.108‎ ‎10.如图,为正方体,则 ( )‎ A.平面 B.‎ C.平面 D.异面直线与所成的角为 ‎11.下列四个命题中,假命题的是 ( )‎ A.要唯一确定抛物线,只需给出准线和抛物线上的一点 B.要唯一确定以坐标原点为中心的椭圆,只需给出一个焦点和椭圆的上一点 C.要唯一确定以坐标原点为中心的双曲线,只需给出双曲线上的两点 D.要唯一确定以坐标原点为中心的双曲线,只需给出一条渐近线方程和离心率 ‎12.水车在古代是进行灌溉引水的工具,是人类的一项古老的发明,也是人类利用自然和改 造自然的象征.如图是一个半径为的水车,一个水斗从点出发,沿圆周按逆 时针方向匀速旋转,且旋转一周用时60秒.经过秒后,水斗旋转到点,设的坐标为 ‎,其纵坐标满足 .则下列结论正确的是 ‎ ‎( )‎ A. ‎ B.当时,‎ C.当时,函数单调递减 D.当时,点到轴的距离的最大值为6‎ 一、 填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在答题卡的相应位置.‎ ‎13.曲线在点处的切线方程为 . ‎ ‎14.甲、乙、丙三位同学,其中一位是班长,一位是体育委员,一位是学习委员,已知丙的年 龄比学委大,甲与体委的年龄不同,体委比乙的年龄小.据此推断班长是______.‎ ‎15.设双曲线:的左、右焦点分别为,,过的直线与双曲线 交于,两点,其中在左支上,在右支上.若C的离心率,则实数的 取值范围为 . 若,则 . ‎ ‎16.若关于的不等式的解集为,且,则整数的最 大值是 . ‎ 四、解答题:本题共6小题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎17.(10分) ‎ 设是单调递增的等比数列,为数列的前项和.已知,且,,构成等差数列. ‎ ‎(1)求及;‎ ‎(2)是否存在常数.使得数列是等比数列?若存在,求的值;若不存在,请说明理由.‎ ‎18.(12分)‎ 如图所示,锐角中,,点在线段上,且,的面积为,延长至,使得.‎ ‎(1)求的值;‎ ‎(2)若,求的值.‎ ‎19.(12分)‎ 如图,在四棱锥中,底面是矩形,侧棱底面,,点是的中点.‎ ‎(1)求证:平面;‎ ‎(2)若直线与平面所成角为,求二面角的大小.‎ ‎20.(12分)‎ 已知椭圆 上的点到椭圆一个焦点的距离的最大值是最小值的倍,且点在椭圆上.‎ ‎(1)求椭圆的方程;‎ ‎(2)过点任作一条直线,与椭圆交于不同于点的、两点,与直线交于点,记直线、、的斜率分别为、、.试探究与的关系,并证明你的结论.‎ ‎21.(12分)‎ 甲市实行某政策以来,经济持续高速增长. 下表给出了该市 2010 年至 2019 年第一、第二产业增加值(单位:亿元).‎ 年 份 ‎2010‎ ‎2011‎ ‎2012‎ ‎2013‎ ‎2014‎ ‎2015‎ ‎2016‎ ‎2017‎ ‎2018‎ ‎2019‎ 第一产业 ‎1.74‎ ‎2.14‎ ‎2.24‎ ‎2.40‎ ‎2.86‎ ‎3.37‎ ‎3.52‎ ‎4.05‎ ‎4.75‎ ‎5.24‎ 第二产业 ‎6.24‎ ‎7.39‎ ‎8.76‎ ‎10.37‎ ‎12.58‎ ‎14.90‎ ‎15.76‎ ‎18.74‎ ‎22.04‎ ‎23.52‎ ‎(1)绘制一个反映甲市第一、第二产业增加值的变化情况的统计图; ‎ ‎(2)建立一个反映甲市第一、第二产业增加值的差异变化的统计模型.‎ 附:‎ ‎22.(12分)‎ 设函数.‎ ‎(1)试讨论函数的单调性;‎ ‎(2)如果且关于的方程有两解,(),证明.‎ 参考答案 一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1-5: B C A D C 6-8: A B D 二、多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得3分,有选错的得0分.‎ ‎9.BD 10. B C 11. ACD 12. AD 三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.‎ ‎13. 14.乙 15. (第一空2分,第三空3分) 16. 4‎ 四、解答题:本题共6小题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎17.(10分)‎ 解:(1)设等比数列的公比为,‎ 由题意得 , ……………1分 ‎ ‎∴, 解得或 (舍). ……………………3分 所以, . …………………5分 ‎ ‎(2)假设存在常数.使得数列是等比数列,‎ 因为,,,‎ 所以,解得, ………………7分 ‎ 此时 , , ‎ ‎∴存在常数.使得数列是首项为,公比为等比数列.…10分 ‎18.(12分)‎ 解:(1)在中,‎ ‎.‎ 所以. …………… ………………3分 因为,所以.‎ 由余弦定理得,‎ 得. ………… ……………… ………………6分 ‎(2)因为,所以.……8分 在中,由正弦定理得,‎ 即,所以. ………… ……………… ………………12分 ‎19.(12分)‎ 解:(1)连接交于,连接.由题意可知,,‎ 又平面,平面,‎ 平面. ………………………4分 (2) 以为坐标原点,所在直线分别为轴,轴,轴,建立空间直角坐标系,设则,,‎ ‎,,. …………6分 设平面的法向量,由得,‎ 取. ……………………………7分 直线与平面所成的角为,得,‎ 解得. ……………………………………9分 同理可得平面的法向量,‎ 二面角为锐二面角,的大小为. ……………12分 ‎20.(12分)‎ 解:(1)因为椭圆上的点到椭圆一个焦点的距离的最大值和最小值分别为,,所以依题意有:,‎ ‎∵,∴. ………… ………………2分 故可设椭圆的方程为:,‎ 因为点在椭圆上,所以将其代入椭圆的方程得.‎ ‎∴椭圆的方程为. ………………………………………5分 ‎(2)依题意,直线不可能与轴垂直,故可设直线的方程为:即,,为与椭圆的两个交点.‎ 将代入方程化简得:.‎ 所以,. ………………………………6分 ‎. …9分 又由 ,‎ 解得,, 即点的坐标为, ‎ 所以. ………………………………………11分 因此,与的关系为:. ……………………12分 ‎21.(12分)‎ 解:(1)下面给出折线图.‎ ‎ 2010-2019年第一、二产业增加值折线图 ‎2010 2011 2012 2013 2014 2015 2016 2017 2018 2019‎ ‎……………………5分 注:也可绘制柱形图,散点图等.‎ ‎(2)记表示甲市第二产业增加值与第一产业增加值的差,表示年份的代码,2010年至2019年的代码依次为1—10.根据所给数据得的数据如下表:‎ t ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ y ‎4.50‎ ‎5.25‎ ‎6.52‎ ‎7.97‎ ‎9.72‎ ‎11.53‎ ‎12.24‎ ‎14.69‎ ‎17.29‎ ‎18.28‎ ‎………………9分 由所给数据计算得 ‎,‎ ‎,‎ ‎,‎ ‎,‎ ‎,,‎ 所以回归方程 ‎ ‎ 是一个反映甲市第一、第二产业增加值的差异变化的统计模型. ……… ……12分 ‎22. (12分)‎ 解:(1)由,可知 ‎. ……… ……1分 因为函数的定义域为, ……… ……… ……2分 ‎ 所以①若,则当时,,函数单调递减,当时,,函数单调递增;‎ ‎②若,则当在内恒成立,函数单调递增;‎ ‎③若,则当时,,函数单调递减,当时,,函数单调递增. ……… … ……… ……5分 ‎(2)要证,只需证. 设,‎ 因为, 所以为单调递增函数.‎ 所以只需证,即证,‎ 只需证.(*) ……… … ……… … ……… …7分 又,,‎ 所以两式相减,并整理,得.‎ 把代入(*)式,‎ 得只需证,可化为.……… …9分 令,得只需证. 令(),‎ 则,所以在其定义域上为增函数,‎ ‎ 所以.综上得原不等式成立. ……… ……12分

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