数学理卷·2017届辽宁省大连市第二十高级中学高三12月月考（2016 8页

‎2016—2017学年度上学期月考试题 高三数学（理）‎ 考试时间：120分钟 试卷分数：150分 ‎ 卷Ⅰ 一、选择题：（本大题共12小题，每题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的）‎ ‎1．已知集合，，则 （ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎2. 下列函数为奇函数的是 ( )‎ A． B． C． D． ‎ ‎3. 若，满足，则的最大值为 （ ）‎ A.0 B‎.3 C.4 D.5‎ ‎4. 在二项式的展开式中，常数项是 （ ）‎ A、20 B、‎-160 C、160 D、-20‎ ‎5. 已知几何体的三视图（如右图），则该几何体的体积为（ ）‎ A． B． ‎ ‎ C． D．‎ ‎6．设是等差数列{}的前n项和，且＝3，＝2，则＝ （ ）‎ ‎ A．11 B．‎12 C．22 D．28‎ ‎7．将函数的图像向左平移个长度单位后，所得到的图像关于轴对称，则的最小值是 （ ） ‎ A. B. C. D. ‎ ‎8．函数，若的定义域都为 ，且值域相同，则 （ ）‎ ‎ A． B． C． D．‎ ‎9. 设，则“”是“直线与直线平行”的 （ ）‎ A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 ‎10.如图所示，正方体的底面与正四面体的底面在同一平面α上，且AB∥CD，正方体的六个面所在的平面与直线CE，EF相交的平面个数分别记为m，n，那么m＋n＝(　　)‎ A．11 B．‎10 C．8 D．6‎ ‎11．已知函数在处取得极值，若，则的最小值是 （ ）‎ A．-11 B．‎-13 ‎‎ ‎‎ C．-4 D．0‎ ‎12. 在直三棱柱A1BlC1—ABC中，∠BAC=，AB=AC=AA1=1．已知G与E分别为A1B1和CC1的中点，D与F分别为线段AC和AB上的动点(不包括端点)．若GD⊥EF，则线段DF的长度的取值范围为 ‎ A. B. C. D. ‎ 第Ⅱ卷(非选择题，共90分)‎ 二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上）．．‎ ‎13．现有10个数，它们能构成一个以1为首项，为公比的等比数列，若从这10个数中随机抽取一个数，则它小于8的概率是 ‎ ‎14．将A，B，C，D，E，F六个字母排成一排，且A，B均在C的同侧，则不同的排法共有__________种(用数字作答)．‎ ‎15.设是三个不同的平面，是两条不同的直线，有下列三个条件：①∥，b⊂β；②∥，b∥β；③b∥β，.如果命题“，，且 ，则∥b”为真命题，则可以在横线处填入的所有条件是 ．(填序号)‎ ‎16. 已知定义在上的函数满足，且的导数在上恒有，则不等式的解集为 ‎ 三、解答题（17题10,其余每题12分）‎ ‎17．已知直线.‎ ‎(1)求证：不论为何值，直线总经过第一象限；‎ ‎(2)为使直线不经过第二象限，求的取值范围．‎ ‎18．已知函数.‎ （1） 若，且，求的值；‎ （2） 求函数的最小正周期及单调递增区间.‎ ‎19. 设数列的各项均为正数，若对任意的正整数，都有成等差数列，且成等比数列． ‎ ‎ （Ⅰ）求证：数列是等差数列；‎ ‎ （Ⅱ）如果，求数列的前项和。‎ ‎20. 某地区对12岁儿童瞬时记忆能力进行调查．瞬时记忆能力包括听觉记忆能力与视觉记忆能力.某班学生共有40人，下表为该班学生瞬时记忆能力的调查结果．例如表中听觉记忆能力为中等，且视觉记忆能力偏高的学生为3人．‎ 视觉 视觉记忆能力 偏低 中等 偏高 超常 听觉 记忆 能力 偏低 ‎0‎ ‎7‎ ‎5‎ ‎1‎ 中等 ‎1‎ ‎8‎ ‎3‎ 偏高 ‎2‎ ‎0‎ ‎1‎ 超常 ‎0‎ ‎2‎ ‎1‎ ‎1‎ 由于部分数据丢失，只知道从这40位学生中随机抽取一个，视觉记忆能力恰为中等，且听觉记忆能力为中等或中等以上的概率为．‎ ‎（Ⅰ）试确定、的值；‎ ‎（Ⅱ）从40人中任意抽取3人，设具有听觉记忆能力或视觉记忆能力偏高或超常的学生人数为，求随机变量的分布列及数学期望．‎ ‎21．如图，正方形ABCD的中心为O，四边形OBEF为矩形，平面OBEF⊥平面ABCD，点G为AB的中点，AB=BE=2.‎ ‎（I）求证：EG∥平面ADF；‎ ‎（II）求二面角O-EF-C的正弦值；‎ ‎（III）设H为线段AF上的点，且AH=HF，求直线BH和平面CEF所成角的正弦值.‎ ‎22. 设函数 ‎（1）当时，求的最大值；‎ ‎（2）令，（0≤3），其图象上任意一点处切线的斜率≤恒成立，求实数的取值范围；‎ ‎（3）当，，方程有唯一实数解，求正数的值.‎ 一、DDCBC, BCAAC,BD ‎ 二、13. 14. 480 15. ①③ 16. ‎ 三． ‎ ‎17.解：解：(1)证明：将直线l的方程整理为 y－＝a，∴直线l的斜率为a，且过定点A，‎ 而点A在第一象限内，故不论a为何值，l恒过第一象限．...5分 ‎ (2)直线OA的斜率为k＝＝3.‎ 如图所示，要使l不经过第二象限，需斜率a≥kOA＝3，∴a≥3....10分 ‎18‎ ‎ 19.解：（Ⅰ）由题意，得， ①………2分 因为 ， ②………4分 从而当时，代入式①得，，数列是等差数列． ……6分 ‎ （II）由及式①、②易得 因此公差，从而，…8分 得， 所以。③‎ 又也适合式③， ． ‎ ‎…12分 ‎20.解：（Ⅰ ‎）由表格数据可知，视觉记忆能力恰为中等，且听觉记忆能力为中等或中等以上的学生共有人．记“视觉记忆能力恰为中等，且听觉记忆能力为中等或中等以上”为事件，‎ 则，解得．所以．答：的值为6，的值为2．...4分 ‎（Ⅱ）由于从40位学生中任意抽取3位的结果数为，其中具有听觉记忆能力或视觉记忆能力偏高或超常的学生共24人，从40位学生中任意抽取3位，其中恰有位具有听觉记忆能力或视觉记忆能力偏高或超常的结果数为，所以从40位学生中任意抽取3位，其中恰有位具有听觉记忆能力或视觉记忆能力偏高或超常的概率为，的可能取值为0，1，2，3，‎ 因为，，‎ ‎，，‎ 所以的分布列为:‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ 所以．‎ ‎ （或服从参数为N=40，M=3，n=24的超几何分布，）‎ 答：随机变量的数学期望为．...12分 ‎20. 【解析】（Ⅰ）证明：找到中点，连结，‎ ‎∵矩形,∴‎ ‎∵、是中点，∴是的中位线 ‎∴且 ‎∵是正方形中心 ‎∴‎ ‎∴且 ‎∴四边形是平行四边形 ‎∴‎ ‎∵面 ‎∴面 ‎（Ⅱ）正弦值 解：如图所示建立空间直角坐标系 ‎，，，‎ 设面的法向量 得：∴∵面，∴面的法向量 ‎（Ⅲ）∵‎ ‎∴‎ 设 ‎∴‎ 得：‎ ‎22．解：（1）依题意，知的定义域为（0，+∞），当时，‎ ‎，‎ ‎（2′）令=0，解得.（∵）‎ 因为有唯一解，所以，当时，，此时单调递增；‎ 当时，，此时单调递减。‎ 所以的极大值为，此即为最大值………3分 ‎（2），，则有≤，在上恒成立，‎ 所以≥，（8′）当时，取得最大值，‎ 所以≥………6分 ‎（3）因为方程有唯一实数解，所以有唯一实数解，‎ 设，则.令，.因为，，所以（舍去），，‎ ‎ 当时，，在（0，）上单调递减，‎ ‎ 当时，，在（，+∞）单调递增 ‎ 当时，=0，取最小值.‎ ‎ 则既 所以，因为，所以（*）‎ 设函数，因为当时，是增函数，所以至多有一解.‎ 因为，所以方程（*）的解为，即，解得.…12分