2017-2018学年湖南省长沙市雅礼中学高二下学期期末考试数学文试题（Word版） 9页

‎2017-2018学年湖南省长沙市雅礼中学高二下学期期末考试数学文试题 第Ⅰ卷（共60分）‎ 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.下列集合中，是集合的真子集的是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎2.复数（为虚数单位）的虚部是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎3.在正项等比数列中，若，是方程的两根，则的值是（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎4.若，且为第三象限角，则等于（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎5.已知，，，则，，的大小关系为（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎6.已知圆上任意一点关于直线的对称点也在圆上，则的值为（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎7.设，是两个不同的平面，是直线且，则“”是“”的（ ）‎ A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 ‎ C.充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎8.已知，若将它的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，则函 数的图象的一条对称轴的方程为（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎9.某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎10.函数的最大值与最小值分别为（ ）‎ A．， B．， C.， D．，‎ ‎11.某市国庆节天假期的楼房认购量(单位：套)与成交量(单位：套)的折线图如图所示，小明同学根据折线图对这天的认购量与成交量作出如下判断：①日成交量的中位数是;②日成交量超过日平均成交量的有天；③认购量与日期正相关；④月日认购量的增量大于月日成交量的增量．上述判断中错误的个数为（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎12.已知，为双曲线的左，右焦点，点为双曲线右支上一点，直线与圆相切，且，则双曲线的离心率为（ ）‎ A． B． C. D．‎ 第Ⅱ卷（共90分）‎ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13.向量，，若，则 ．‎ ‎14.在集合中随机取一个元素，在集合中随机取一个元素，得到点，则事件“点在直线上”的概率为 ．‎ ‎15.若椭圆的离心率与等轴双曲线的离心率之积为，则 ．‎ ‎16.已知，函数若对任意，恒成立，则的取值范围是 ．‎ 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） ‎ ‎17. 已知等差数列满足，前项和.‎ ‎（Ⅰ）求的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）设等比数列满足，，求的前项和.‎ ‎18. 在中，角，，所对的边分别是，，，已知且.‎ ‎（Ⅰ）求角的大小；‎ ‎（Ⅱ）若，延长至，使，且，求的面积.‎ ‎19. 市积极倡导学生参与绿色环保活动，其中代号为“环保卫士－”的绿色环保活动小组对年月－年月(一月)内空气质量指数进行监测，如表是在这一年随机抽取的天的统计结果：‎ 指数 空气质量 优 良 轻微污染 轻微污染 中度污染 中重度污染 重度污染 天数 ‎4‎ ‎13‎ ‎18‎ ‎30‎ ‎9‎ ‎11‎ ‎15‎ ‎（Ⅰ）若市某企业每天由空气污染造成的经济损失(单位：元)与空气质量指数(记为)的关系为：，在这一年内随机抽取一天，估计该天经济损失元的概率；‎ ‎（Ⅱ）若本次抽取的样本数据有天是在供暖季节，其中有天为重度污染，完成列联表，并判断是否有的把握认为市本年度空气重度污染与供暖有关？‎ 非重度污染 重度污染 合计 供暖季 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 非供暖季 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 合计 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎100‎ 下面临界值表供参考.‎ ‎0.15‎ ‎0.10‎ ‎0.05‎ ‎0.010‎ ‎0.005‎ ‎0.001‎ ‎2.072‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎6.635‎ ‎7.879‎ ‎10.828‎ 参考公式：.‎ ‎20. 如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，和均为等边三角形，且平面平面，点为中点.‎ ‎（Ⅰ）求证：平面；‎ ‎（Ⅱ）若的面积为,求三棱锥的体积.‎ ‎21. 如图所示，在直角坐标系中，点到抛物线 的准线的距离为.点是上的定点，，是上的两动点，且线段的中点在直线上.‎ ‎（Ⅰ）求曲线的方程及的值；‎ ‎（Ⅱ）记，求的最大值.‎ ‎22. 已知函数.‎ ‎（Ⅰ）若曲线上点处的切线过点，求函数的单调减区间；‎ ‎（Ⅱ）若函数在上无零点，求的最小值．‎ 试卷答案 一、选择题 ‎1-5:DACAD 6-10:BABCD 11、12：CC 二、填空题 ‎13. 14. 15. 16.‎ 三、解答题 ‎17. 【解析】（Ⅰ）设的公差为，则由已知条件得，，‎ 化简得，，解得，，‎ 故的通项公式，即.‎ ‎（Ⅱ）由（1）得，.设的公比为，则，从而，‎ 故的前项和.‎ ‎18.【解析】（Ⅰ）由正弦定理得，，‎ ‎∵，∴，又，∴.‎ ‎（Ⅱ）设，则，在中，由余弦定理得 ‎，‎ 求得，即，‎ 在中，的面积.‎ ‎19.【解析】（Ⅰ）设“在本年内随机抽取一天，该天经济损失元”为事件 ‎.‎ 由，得，频数为，‎ ‎∴.‎ ‎（Ⅱ）根据以上数据得到如表：‎ 非重度污染 重度污染 合计 供暖季 ‎22‎ ‎8‎ ‎30‎ 非供暖季 ‎63‎ ‎7‎ ‎70‎ 合计 ‎85‎ ‎15‎ ‎100‎ 的观测值 所以有的把握认为市本年度空气重度污染与供暖有关．‎ ‎20.【解析】（1）取的中点，连接，；取的中点,连接，‎ 因为是正三角形，所以.‎ 因为，所以四边形为矩形，‎ 从而，.‎ 因为为的中位线,‎ 所以，，即，，‎ 所以四边形是平行四边形，从而，‎ 又面，所以面.‎ ‎（2）取的中点，连接，则.‎ 过点作交于.‎ 因为，面面，面面 所以面.又因为面，所以.‎ 又因为，，面，.‎ 所以面，又因为面，所以.‎ 由于为中点,易知.‎ 设，则的面积为，‎ 解得，从而，.‎ ‎.‎ ‎21.【解析】（1）的准线为，∴，∴，‎ ‎∴抛物线的方程为.又点在曲线上，∴.‎ ‎（2）由（1）知，点，从而，即点，‎ 依题意，直线的斜率存在，且不为，‎ 设直线的斜率为.且，，‎ 由得，故，‎ 所以直线的方程为，即. 由消去，整理得，‎ 所以，，.‎ 从而.‎ ‎∴，‎ 当且仅当，即时，上式等号成立，‎ 又满足.∴的最大值为.‎ ‎22.【解析】（Ⅰ）∵，‎ ‎∴，∴，‎ 又，∴，解得：，‎ 由，解得：，∴函数在递减；‎ ‎（Ⅱ）∵在恒成立不可能，‎ 故要使在无零点，只需任意，恒成立，‎ 即对，恒成立，‎ 令，，则，‎ 再令，，则，‎ 故在递减，于是，‎ 从而，于是在递增，∴，‎ 故要使恒成立，只要，‎ 综上，若函数在上无零点，则的最小值是.‎