安徽省金汤白泥乐槐六校2019-2020学年高二上学期联考数学（文）试题 11页

金汤白泥乐槐六校2019-2020学年高二上学期第二次联考数学（文）试题 一、选择题（本大题共12小题）‎ 1. 关于空间直角坐标系O-xyz中的一点P（1，2，3）有下列说法： ①OP的中点坐标为（，）； ②点P关于x轴对称的点的坐标为（-1，-2，-3）； ③点P关于坐标原点对称的点的坐标为（1，2，-3）； ④点P关于xOy平面对称的点的坐标为（1，2，-3）． 其中正确说法的个数是（　　）‎ A. 1 B. ‎2 ‎C. 3 D. 4‎ 2. 下列图形中不一定是平面图形的是（　　）‎ A. 三角形 B. 平行四边形 C. 梯形 D. 四边相等的四边形 3. 下面给出了四个条件：①空间三个点；②一条直线和一个点；③和直线a都相交的两条直线；④两两相交的三条直线.其中,能确定一个平面的条件有(    )‎ A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 4. 已知正方体外接球的体积是π，那么正方体的棱长等于( )‎ A. B. C. D. ‎ 5. 若集合A={1，m2}，B={3，4}，则“m=2”是“A∩B={4}”的（　　）‎ A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 直线2ax+y-2=0与直线x-（a+1）y+2=0互相垂直，则这两条直线的交点坐标为（　　）‎ A. B. C. D. ‎ 7. 下列说法中，不正确的是（　　）‎ A. “若p则q”与“若q则p”是互逆命题 B. “若则”与“若q则p”是互否命题 C. “若则”与“若p 则q”是互否命题 D. “若则”与“若q则p”互为逆否命题 8. 动点A在圆x2+y2=1上移动时，它与定点B（3，0）连线的中点的轨迹方程是（　　）‎ A. B. C. D. ‎ 9. 已知定点P（-2，0）和直线l：（1+3λ）x+（1+2λ）y-（2+5λ）=0，λ∈R，则点P到直线l的距离d的最大值为（　　）‎ A. B. C. D. ‎ 10. 已知圆的方程为，过点的该圆的所有弦中，最短弦的长为（      ）‎ A. B. ‎1 ‎C. 2 D. 4‎ 11. 过点作圆的切线,则切线方程为(    )‎ A. B. C. D. ‎ 12. 在下列四个正方体中，A、B为正方体的两个顶点，M、N、Q为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB与平面MNQ不平行的是（　　）‎ A. B. C. D. ‎ 二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）‎ 1. 命题“∃x0∈R，2x0-3＞‎1”‎的否定是______．‎ 2. ‎△ABC中，已知A（2，1），B（-2，3），C（0，1），则BC边上的中线所在的直线的一般式方程为______．‎ 3. 已知直线l与直线4x-3y+5=0关于y轴对称，则直线l的方程为______．‎ 4. 已知α，β，γ是三个平面，m，n是两条直线，有下列四个命题： ①如果m⊥α，m⊂β，那么α⊥β； ②如果m⊥n，m⊥α，那么n∥α； ③如果α⊥β，m∥α，那么m⊥β； ④如果α∥β，α∩γ=m，β∩γ=n，那么m∥n． 其中正确的命题有______．（写出所有正确命题的序号）‎ 三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）‎ 5. 已知三角形ABC的顶点坐标为A（-1，5）、B（-2，-1）、C（4，3），M是BC边上的中点. （1）求AB边所在的直线方程； ​（2）求中线AM的长. ‎ 6. 已知两直线l1：ax-by+4=0和l2：（a-1）x+y+b=0，求满足下列条件的a，b的值． ①l1⊥l2且直线l1过点（-3，-1）； ②l1∥l2且坐标原点到这两条直线距离相等． ‎ 7. 如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，点E在线段AD上，且CE∥AB． （1‎ ‎）求证：CE⊥平面PAD； ​（2）若PA＝AB＝1，AD＝3，​，∠CDA＝45°，求四棱锥P-ABCD的体积． ‎ 1. 如图所示，在RtABC中，已知A（-2，0），直角顶点，点C在x轴上． （1）求RtABC外接圆的方程； （2）求过点（0，3）且与Rt​ABC外接圆相切的直线的方程． ‎ ‎ ‎ 2. 如图所示，四棱锥P-ABCD的底面是边长为1的正方形，侧棱PA⊥底面ABCD，且PA=，E是侧棱PA上的动点． （1）求四棱锥P-ABCD的体积； （2）如果E是PA的中点，求证：PC∥平面BDE； （3）不论点E在侧棱PA的任何位置，是否都有BD⊥CE？证明你的结论． ‎ ‎ ‎ 1. 已知圆M过两点A（1，-1），B（-1，1），且圆心M在直线x+y-2=0上． （1）求圆M的方程． （2）设P是直线3x+4y+8=0上的动点，PC、PD是圆M的两条切线，C、D为切点，求四边形PCMD面积的最小值． ‎ 答案和解析 ‎1.【答案】B ‎ ‎【解析】解：空间直角坐标系O-xyz中，点P（1，2，3），则： 对于①，OP的中点坐标为（，），正确； 对于②，点P关于x轴对称的点的坐标为（1，-2，-3），②错误； 对于③，点P关于坐标原点对称的点的坐标为（-1，-2，-3），③错误； 对于④，点P关于xOy平面对称的点的坐标为（1，2，-3），正确． 综上，正确的说法序号是①④． 故选：B． 类比平面直角坐标系中点的性质，对空间直角坐标系O-xyz中点的坐标与对称性说法，判断正误即可． 本题考查了空间中点的坐标与对称性问题的应用问题，是基础题． 2.【答案】D ‎ ‎【解析】解：利用公理2可知：三角形、平行四边形、梯形一定是平面图形， 而四边相等的四边形不一定是平面图形． 故选：D． 利用公理2可知：三角形、平行四边形、梯形一定是平面图形，即可判断出． 本题考查了公理2，考查了推理能力，属于基础题． 3.【答案】A ‎ ‎【解析】【分析】 本题考查平面的确定，是基础题，解题时要认真审题，注意公理三及其推论的合理运用.利用公理三及其推论直接求解. 【解答】 解：在①中，空间共线的三个点能确定无数个平面，故①不成立； 在②中，一条直线和直线上的一个点能确定无数个平面，故②不成立； 在③中，和直线a都相交的两条直线能确定一个或三个平面，故③不成立； 在④中，两两相交的三条直线能确定一个或三个平面（相交于一点），故④不成立. 故选A. 4.【答案】D ‎ ‎【解析】解：正方体外接球的体积是，则外接球的半径R=2，正方体的对角线的长为4，棱长等于， 故选：D． 先求球的半径，直径就是正方体的对角线，然后求出正方体的棱长． 本题考查球的内接正方体问题，是基础题． 5.【答案】A ‎ ‎【解析】解：若m=2，则A={1，4}，B={2，4}，A∩B={4}，“m=2”是“A∩B={4}”的充分条件； 若A∩B={4}，则m2=4，m=±2，所以“m=2”不是“A∩B={4}”的必要条件． 则“m=2”是“A∩B={4}”的充分不必要条件． 故选：A． 当m=2时，可直接求A∩B；反之A∩B={4}时，可求m ‎，再根据必要条件、充分条件与充要条件的定义进行判断即可． 本题考查必要条件、充分条件与充要条件的判断，属基础题． 6.【答案】B ‎ ‎【解析】解：a=-1时，直线分别化为：2x-y+2=0，x+2=0，此时两条直线不垂直． a≠-1时，由两条直线垂直可得：‎-2a×=-1，解得a=1． 综上可得：a=1． 联立，解得x=，y=． ∴这两条直线的交点坐标为． 故选：B． a=-1时，直线分别化为：2x-y+2=0，x+2=0，此时两条直线不垂直．a≠-1时，利用两条直线垂直可得：‎-2a×=-1，解得a．联立方程解出即可得出． 本题考查了直线相互垂直、分类讨论方法、方程的解法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 7.【答案】B ‎ ‎【解析】解：“若p则q”与“若q则p”是互逆命题，满足逆命题的定义，所以A正确； “若￢p则￢q”与“若q则p”是逆否命题，不是互否命题，所以B不正确； “若￢p则￢q”与“若p 则q”是互否命题，所以C正确； “若￢p则￢q”与“若q则p”，满足逆否命题的定义，所以D正确； 故选：B． 利用四种命题的逆否关系判断真假即可． 本题考查四种命题的真假关系，是基本知识的考查． 8.【答案】C ‎ ‎【解析】解：设中点M（x，y），则动点A（2x-3，2y），∵A在圆x2+y2=1上， ∴（2x-3）2+（2y）2=1， 即（2x-3）2+4y2=1． 故选：C． 根据已知，设出AB中点M的坐标（x，y），根据中点坐标公式求出点A的坐标，根据点A在圆x2+y2=1上，代入圆的方程即可求得中点M的轨迹方程． 此题是个基础题．考查代入法求轨迹方程和中点坐标公式，体现了数形结合的思想以及分析解决问题的能力． 9.【答案】B ‎ ‎【解析】【分析】 本题考查了直线系、两点之间的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 直线l：（1+3λ）x+（1+2λ）y-（2+5λ）=0，化为：x+y-2+λ（3x+2y-5）=0，令，可得直线l经过定点Q（1，1），可得点P到直线l的距离d的最大值为|PQ|． 【解答】 解：直线l：（1+3λ）x+（1+2λ）y-（2+5λ）=0，化为：x+y-2+λ（3x+2y-5）=0， 令，解得x=y=1． 因此直线l经过定点Q（1，1）， ∴点P到直线l的距离d的最大值为|PQ|==． 故选：B． ‎ ‎10.【答案】C ‎ ‎【解析】【分析】 本题考查直线与圆的位置关系，考查垂径定理的应用，解题时要注意圆的性质的合理运用，属基础题. 化圆的一般方程为标准方程，求出圆心坐标与半径，利用垂径定理求得答案． 【解答】 解：由x2+y2-6x=0，得（x-3）2+y2=9， ​ ​∴圆心坐标为（3，0），半径为3， 如图：当过点P（1，2）的直线与连接P与圆心的直线垂直时，弦AB最短， 则最短弦长为． 故选C． 11.【答案】C ‎ ‎【解析】【分析】 本题主要考查直线和圆的位置关系的应用，根据切线的定义和关系求出对应的斜率是解决本题的关键． 判断点P在圆上，根据切线和直线PC的关系求出对应的斜率，进行求解即可． 【解答】‎ 解：因为点P（2，4）在圆C上，圆心C坐标为（1，2）， ​所以切线与直线PC垂直，设切线斜率为k， 则， 所以切线方程为，即x+2y-10=0， 故选C.‎ ‎ 12.【答案】A ‎ ‎【解析】解：对于选项B，由于AB∥MQ，结合线面平行判定定理可知B不满足题意； 对于选项C，由于AB∥MQ，结合线面平行判定定理可知C不满足题意； 对于选项D，由于AB∥NQ，结合线面平行判定定理可知D不满足题意； 所以选项A满足题意， 故选：A． 利用线面平行判定定理可知B、C、D均不满足题意，从而可得答案． 本题考查空间中线面平行的判定定理，利用三角形中位线定理是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题． 13.【答案】∀x∈R，2x-3≤1 ‎ ‎【解析】解：特称命题的否定是全称命题， 则命题的否定为：“∀x∈R，2x-3≤‎1”‎ 故答案为：∀x∈R，2x-3≤1 ‎ 根据特称命题的否定是全称命题进行求解即可． 本题主要考查含有量词的命题的否定，结合特称命题的否定是全称命题是解决本题的关键．比较基础． 14.【答案】x+3y-5=0 ‎ ‎【解析】解：线段BC的中点D（-1，2）． 可得：BC边上的中线所在的直线的方程：y-1=（x-2）， 一般式方程为x+3y-5=0． 故答案为：x+3y-5=0． 利用中点坐标公式可得：线段BC的中点D（-1，2）．可得：BC边上的中线所在的直线的点斜式方程，即可化为一般式方程． 本题考查了中点坐标公式、点斜式与一般式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 15.【答案】4x+3y-5=0 ‎ ‎【解析】解：设直线l上的一点为（x，y），则关于y轴对称点的坐标为（-x，y）， ∵直线l与直线4x-3y+5=0关于y轴对称， ∴-4x-3y+5=0 即4x+3y-5=0 ∴直线l的方程为4x+3y-5=0 故答案为：4x+3y-5=0 直线l上任取一点，求出关于y轴对称点的坐标，代入直线4x-3y+5=0，即可得到直线l的方程． 本题重点考查线关于线的对称问题，解题的关键是直线l上任取一点，求出关于y轴对称点的坐标． 16.【答案】①④ ‎ ‎【解析】解：对于①，由面面垂直的判定定理可知①正确； 对于②，若n⊂α，显然结论不成立，故②错误； 对于③，若m⊂β，显然结论不成立，故③错误； 对于④，由面面平行的性质定理可知④正确； 故答案为：①④． 根据空间线面位置关系的性质与判定定理判定或举反例说明． 本题考查了空间线面位置关系的判定与性质，属于中档题． 17.【答案】解：（1）由两点式写方程得， 即6x-y+11=0. 或直线AB的斜率为, 直线AB的方程为y-5=6（x+1）, 即6x-y+11=0. （2）设M的坐标为（x0，y0），则由中点坐标公式得, 故M（1，1）. . ‎ ‎【解析】考查学生会根据条件写出直线的一般式方程，以及会利用中点坐标公式求线段中点坐标，会用两点间的距离公式求两点间的距离,属于基础题． （1）已知A（-1，5）、B（-2，-1），根据两点式写直线的方法化简得到AB所在的直线方程； （2）根据中点坐标公式求出M的坐标，然后利用两点间的距离公式求出AM即可． 18.【答案】解：（1）由题意知，， ‎ ‎∴a=2，b=2． （2）由题意知，， ∴或． ‎ ‎【解析】（1）利用相互垂直的直线斜率之间的关系、点与直线方程的关系即可得出． （2）利用相互平行直线斜率之间的关系、点到直线的距离公式即可得出． 本题考查了相互垂直与平行的直线斜率之间的关系、点与直线方程的关系、点到直线的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 19.【答案】解：（1）证明：因为PA⊥平面ABCD， CE⊂平面ABCD，所以PA⊥CE， 因为AB⊥AD，CE∥AB，所以CE⊥AD， 又PA∩AD=A，PA⊂平面PAD， ​AD⊂平面PAD， 所以CE⊥平面PAD． （2）由（1）可知CE⊥AD，PA＝AB＝1，AD＝3, 在Rt△ECD中，DE=CDcos45°=1， CE=CDsin45°=1，所以AE=AD-ED=2, 又因为AB=CE=1，AB∥CE， 所以四边形ABCE为矩形， 所以 =， 又PA⊥平面ABCD，PA=1， 所以. ‎ ‎【解析】本题主要考查直线与直线、直线与平面的位置关系，几何体的体积等基础知识；考查空间想象能力、推理论证能力，运算求解的能力；考查数形结合思想，化归与转化的思想,属于中档题． （1）由已知容易证PA⊥CE，CE⊥AD，由直线与平面垂直的判定定理可得； （2）由（1）可知CE⊥AD，从而有四边形ABCE为矩形，且可得P到平面ABCD的距离PA=1，代入锥体体积公式可求. 20.【答案】解：（1）由题意可知点C在x轴的正半轴上，可设其坐标为（a，0）， 又AB⊥BC，则kAB•kBC=-1， 即，解得a=4． 则所求圆的圆心为（1，0），半径为3，故所求圆的方程为（x-1）2+y2=9． （2）由题意知直线的斜率存在， 故设所求直线方程为y=kx+3，即kx-y+3=0． 当圆与直线相切时，有，解得k=0，或， 故所求直线方程为y=3或，即y-3=0或3x-4y+12=0． ‎ ‎【解析】本题考查圆的方程，考查直线与圆的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题． ​（1）求出圆心为（1，0），半径为3，即可求RtABC外接圆的方程； （2）设所求直线方程为y=kx+3，即kx-y+3=0，当圆与直线相切时，有，即可求过点（0，3）且与Rt​ABC外接圆相切的直线的方程． 21.【答案】（1）解：∵PA⊥平面ABCD，正方形ABCD的边长为1，PA=， ∴VP-ABCD==×1×=， 即四棱锥P-ABCD的体积为； （2）证明：连结AC交BD于O，连结OE． ‎ ‎∵四边形ABCD是正方形，∴O是AC的中点． 又∵E是PA的中点，∴PC∥OE． ∵PC⊄平面BDE，OE⊂平面BDE， ∴PC∥平面BDE； （3）解：不论点E在何位置，都有BD⊥CE． 证明如下：∵四边形ABCD是正方形，∴BD⊥AC． ∵PA⊥底面ABCD，且BD⊂平面ABCD， ∴BD⊥PA． 又∵AC∩PA=A， ∴BD⊥平面PAC． ∵不论点E在何位置，都有CE⊂平面PAC． ∴不论点E在何位置，都有BD⊥CE． ‎ ‎【解析】（1）根据棱锥的体积公式即可求四棱锥P-ABCD的体积； （2）根据线面平行的判断定理即可证明PC∥平面BDE； （3）根据线面垂直的性质定理即可证明BD⊥CE． 本题考查空间直线和平面平行以及线面垂直的判断和性质，考查多面体体积的求法，是中档题． 22.【答案】解：（1）设圆心M（a，b），则a+b-2=0①， 又A（1，-1），B（-1，1）， ∴kAB==-1， ∴AB的垂直平分线l的斜率k=1，又AB的中点为O（0，0）， ∴l的方程为y=x，而直线l与直线x+y-2=0的交点就是圆心M（a，b）， 由解得：，又r=|MA|=2， ∴圆M的方程为（x-1）2+（y-1）2=4． （2）如图： SPCMD=|MC|•|PC|=2=2， 又点M（1，1）到3x+4y+8=0的距离d=|MN|==3， 所以|PM|min=d=3， 所以（SPCMD）min=2=2． ‎ ‎【解析】（1）设圆心M（a，b），依题意，可求得AB的垂直平分线l的方程，利用方程组可求得直线l与直线x+y-2=0的交点，即圆心M（a，b），再求得r=|MA|=2，即可求得 圆M的方程； （2）作出图形，易得SPCMD=|MC|•|PC|=2=2，利用点到直线间的距离公式可求得 ‎|PM|min=d=3，从而可得（SPCMD）min=2． 本题考查直线和圆的方程的应用，着重考查圆的标准方程及点到直线间的距离公式的应用，考查转化思想与作图、运算及求解能力，属于中档题． ‎