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  • 2021-06-11 发布

安徽省金汤白泥乐槐六校2019-2020学年高二上学期联考数学(文)试题

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金汤白泥乐槐六校2019-2020学年高二上学期第二次联考数学(文)试题 一、选择题(本大题共12小题)‎ 1. 关于空间直角坐标系O-xyz中的一点P(1,2,3)有下列说法: ①OP的中点坐标为(,); ②点P关于x轴对称的点的坐标为(-1,-2,-3); ③点P关于坐标原点对称的点的坐标为(1,2,-3); ④点P关于xOy平面对称的点的坐标为(1,2,-3). 其中正确说法的个数是(  )‎ A. 1 B. ‎2 ‎C. 3 D. 4‎ 2. 下列图形中不一定是平面图形的是(  )‎ A. 三角形 B. 平行四边形 C. 梯形 D. 四边相等的四边形 3. 下面给出了四个条件:①空间三个点;②一条直线和一个点;③和直线a都相交的两条直线;④两两相交的三条直线.其中,能确定一个平面的条件有(    )‎ A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 4. 已知正方体外接球的体积是π,那么正方体的棱长等于( )‎ A. B. C. D. ‎ 5. 若集合A={1,m2},B={3,4},则“m=2”是“A∩B={4}”的(  )‎ A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 直线2ax+y-2=0与直线x-(a+1)y+2=0互相垂直,则这两条直线的交点坐标为(  )‎ A. B. C. D. ‎ 7. 下列说法中,不正确的是(  )‎ A. “若p则q”与“若q则p”是互逆命题 B. “若则”与“若q则p”是互否命题 C. “若则”与“若p 则q”是互否命题 D. “若则”与“若q则p”互为逆否命题 8. 动点A在圆x2+y2=1上移动时,它与定点B(3,0)连线的中点的轨迹方程是(  )‎ A. B. C. D. ‎ 9. 已知定点P(-2,0)和直线l:(1+3λ)x+(1+2λ)y-(2+5λ)=0,λ∈R,则点P到直线l的距离d的最大值为(  )‎ A. B. C. D. ‎ 10. 已知圆的方程为,过点的该圆的所有弦中,最短弦的长为(      )‎ A. B. ‎1 ‎C. 2 D. 4‎ 11. 过点作圆的切线,则切线方程为(    )‎ A. B. C. D. ‎ 12. 在下列四个正方体中,A、B为正方体的两个顶点,M、N、Q为所在棱的中点,则在这四个正方体中,直线AB与平面MNQ不平行的是(  )‎ A. B. C. D. ‎ 二、填空题(本大题共4小题,共20.0分)‎ 1. 命题“∃x0∈R,2x0-3>‎1”‎的否定是______.‎ 2. ‎△ABC中,已知A(2,1),B(-2,3),C(0,1),则BC边上的中线所在的直线的一般式方程为______.‎ 3. 已知直线l与直线4x-3y+5=0关于y轴对称,则直线l的方程为______.‎ 4. 已知α,β,γ是三个平面,m,n是两条直线,有下列四个命题: ①如果m⊥α,m⊂β,那么α⊥β; ②如果m⊥n,m⊥α,那么n∥α; ③如果α⊥β,m∥α,那么m⊥β; ④如果α∥β,α∩γ=m,β∩γ=n,那么m∥n. 其中正确的命题有______.(写出所有正确命题的序号)‎ 三、解答题(本大题共6小题,共70.0分)‎ 5. 已知三角形ABC的顶点坐标为A(-1,5)、B(-2,-1)、C(4,3),M是BC边上的中点. (1)求AB边所在的直线方程; ​(2)求中线AM的长. ‎ 6. 已知两直线l1:ax-by+4=0和l2:(a-1)x+y+b=0,求满足下列条件的a,b的值. ①l1⊥l2且直线l1过点(-3,-1); ②l1∥l2且坐标原点到这两条直线距离相等. ‎ 7. 如图,四棱锥P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,AB⊥AD,点E在线段AD上,且CE∥AB. (1‎ ‎)求证:CE⊥平面PAD; ​(2)若PA=AB=1,AD=3,​,∠CDA=45°,求四棱锥P-ABCD的体积. ‎ 1. 如图所示,在RtABC中,已知A(-2,0),直角顶点,点C在x轴上. (1)求RtABC外接圆的方程; (2)求过点(0,3)且与Rt​ABC外接圆相切的直线的方程. ‎ ‎ ‎ 2. 如图所示,四棱锥P-ABCD的底面是边长为1的正方形,侧棱PA⊥底面ABCD,且PA=,E是侧棱PA上的动点. (1)求四棱锥P-ABCD的体积; (2)如果E是PA的中点,求证:PC∥平面BDE; (3)不论点E在侧棱PA的任何位置,是否都有BD⊥CE?证明你的结论. ‎ ‎ ‎ 1. 已知圆M过两点A(1,-1),B(-1,1),且圆心M在直线x+y-2=0上. (1)求圆M的方程. (2)设P是直线3x+4y+8=0上的动点,PC、PD是圆M的两条切线,C、D为切点,求四边形PCMD面积的最小值. ‎ 答案和解析 ‎1.【答案】B ‎ ‎【解析】解:空间直角坐标系O-xyz中,点P(1,2,3),则: 对于①,OP的中点坐标为(,),正确; 对于②,点P关于x轴对称的点的坐标为(1,-2,-3),②错误; 对于③,点P关于坐标原点对称的点的坐标为(-1,-2,-3),③错误; 对于④,点P关于xOy平面对称的点的坐标为(1,2,-3),正确. 综上,正确的说法序号是①④. 故选:B. 类比平面直角坐标系中点的性质,对空间直角坐标系O-xyz中点的坐标与对称性说法,判断正误即可. 本题考查了空间中点的坐标与对称性问题的应用问题,是基础题. 2.【答案】D ‎ ‎【解析】解:利用公理2可知:三角形、平行四边形、梯形一定是平面图形, 而四边相等的四边形不一定是平面图形. 故选:D. 利用公理2可知:三角形、平行四边形、梯形一定是平面图形,即可判断出. 本题考查了公理2,考查了推理能力,属于基础题. 3.【答案】A ‎ ‎【解析】【分析】 本题考查平面的确定,是基础题,解题时要认真审题,注意公理三及其推论的合理运用.利用公理三及其推论直接求解. 【解答】 解:在①中,空间共线的三个点能确定无数个平面,故①不成立; 在②中,一条直线和直线上的一个点能确定无数个平面,故②不成立; 在③中,和直线a都相交的两条直线能确定一个或三个平面,故③不成立; 在④中,两两相交的三条直线能确定一个或三个平面(相交于一点),故④不成立. 故选A. 4.【答案】D ‎ ‎【解析】解:正方体外接球的体积是,则外接球的半径R=2,正方体的对角线的长为4,棱长等于, 故选:D. 先求球的半径,直径就是正方体的对角线,然后求出正方体的棱长. 本题考查球的内接正方体问题,是基础题. 5.【答案】A ‎ ‎【解析】解:若m=2,则A={1,4},B={2,4},A∩B={4},“m=2”是“A∩B={4}”的充分条件; 若A∩B={4},则m2=4,m=±2,所以“m=2”不是“A∩B={4}”的必要条件. 则“m=2”是“A∩B={4}”的充分不必要条件. 故选:A. 当m=2时,可直接求A∩B;反之A∩B={4}时,可求m ‎,再根据必要条件、充分条件与充要条件的定义进行判断即可. 本题考查必要条件、充分条件与充要条件的判断,属基础题. 6.【答案】B ‎ ‎【解析】解:a=-1时,直线分别化为:2x-y+2=0,x+2=0,此时两条直线不垂直. a≠-1时,由两条直线垂直可得:‎-2a×=-1,解得a=1. 综上可得:a=1. 联立,解得x=,y=. ∴这两条直线的交点坐标为. 故选:B. a=-1时,直线分别化为:2x-y+2=0,x+2=0,此时两条直线不垂直.a≠-1时,利用两条直线垂直可得:‎-2a×=-1,解得a.联立方程解出即可得出. 本题考查了直线相互垂直、分类讨论方法、方程的解法,考查了推理能力与计算能力,属于基础题. 7.【答案】B ‎ ‎【解析】解:“若p则q”与“若q则p”是互逆命题,满足逆命题的定义,所以A正确; “若¬p则¬q”与“若q则p”是逆否命题,不是互否命题,所以B不正确; “若¬p则¬q”与“若p 则q”是互否命题,所以C正确; “若¬p则¬q”与“若q则p”,满足逆否命题的定义,所以D正确; 故选:B. 利用四种命题的逆否关系判断真假即可. 本题考查四种命题的真假关系,是基本知识的考查. 8.【答案】C ‎ ‎【解析】解:设中点M(x,y),则动点A(2x-3,2y),∵A在圆x2+y2=1上, ∴(2x-3)2+(2y)2=1, 即(2x-3)2+4y2=1. 故选:C. 根据已知,设出AB中点M的坐标(x,y),根据中点坐标公式求出点A的坐标,根据点A在圆x2+y2=1上,代入圆的方程即可求得中点M的轨迹方程. 此题是个基础题.考查代入法求轨迹方程和中点坐标公式,体现了数形结合的思想以及分析解决问题的能力. 9.【答案】B ‎ ‎【解析】【分析】 本题考查了直线系、两点之间的距离公式,考查了推理能力与计算能力,属于中档题. 直线l:(1+3λ)x+(1+2λ)y-(2+5λ)=0,化为:x+y-2+λ(3x+2y-5)=0,令,可得直线l经过定点Q(1,1),可得点P到直线l的距离d的最大值为|PQ|. 【解答】 解:直线l:(1+3λ)x+(1+2λ)y-(2+5λ)=0,化为:x+y-2+λ(3x+2y-5)=0, 令,解得x=y=1. 因此直线l经过定点Q(1,1), ∴点P到直线l的距离d的最大值为|PQ|==. 故选:B. ‎ ‎10.【答案】C ‎ ‎【解析】【分析】 本题考查直线与圆的位置关系,考查垂径定理的应用,解题时要注意圆的性质的合理运用,属基础题. 化圆的一般方程为标准方程,求出圆心坐标与半径,利用垂径定理求得答案. 【解答】 解:由x2+y2-6x=0,得(x-3)2+y2=9, ​ ​∴圆心坐标为(3,0),半径为3, 如图:当过点P(1,2)的直线与连接P与圆心的直线垂直时,弦AB最短, 则最短弦长为. 故选C. 11.【答案】C ‎ ‎【解析】【分析】 本题主要考查直线和圆的位置关系的应用,根据切线的定义和关系求出对应的斜率是解决本题的关键. 判断点P在圆上,根据切线和直线PC的关系求出对应的斜率,进行求解即可. 【解答】‎ 解:因为点P(2,4)在圆C上,圆心C坐标为(1,2), ​所以切线与直线PC垂直,设切线斜率为k, 则, 所以切线方程为,即x+2y-10=0, 故选C.‎ ‎ 12.【答案】A ‎ ‎【解析】解:对于选项B,由于AB∥MQ,结合线面平行判定定理可知B不满足题意; 对于选项C,由于AB∥MQ,结合线面平行判定定理可知C不满足题意; 对于选项D,由于AB∥NQ,结合线面平行判定定理可知D不满足题意; 所以选项A满足题意, 故选:A. 利用线面平行判定定理可知B、C、D均不满足题意,从而可得答案. 本题考查空间中线面平行的判定定理,利用三角形中位线定理是解决本题的关键,注意解题方法的积累,属于中档题. 13.【答案】∀x∈R,2x-3≤1 ‎ ‎【解析】解:特称命题的否定是全称命题, 则命题的否定为:“∀x∈R,2x-3≤‎1”‎ 故答案为:∀x∈R,2x-3≤1 ‎ 根据特称命题的否定是全称命题进行求解即可. 本题主要考查含有量词的命题的否定,结合特称命题的否定是全称命题是解决本题的关键.比较基础. 14.【答案】x+3y-5=0 ‎ ‎【解析】解:线段BC的中点D(-1,2). 可得:BC边上的中线所在的直线的方程:y-1=(x-2), 一般式方程为x+3y-5=0. 故答案为:x+3y-5=0. 利用中点坐标公式可得:线段BC的中点D(-1,2).可得:BC边上的中线所在的直线的点斜式方程,即可化为一般式方程. 本题考查了中点坐标公式、点斜式与一般式,考查了推理能力与计算能力,属于基础题. 15.【答案】4x+3y-5=0 ‎ ‎【解析】解:设直线l上的一点为(x,y),则关于y轴对称点的坐标为(-x,y), ∵直线l与直线4x-3y+5=0关于y轴对称, ∴-4x-3y+5=0 即4x+3y-5=0 ∴直线l的方程为4x+3y-5=0 故答案为:4x+3y-5=0 直线l上任取一点,求出关于y轴对称点的坐标,代入直线4x-3y+5=0,即可得到直线l的方程. 本题重点考查线关于线的对称问题,解题的关键是直线l上任取一点,求出关于y轴对称点的坐标. 16.【答案】①④ ‎ ‎【解析】解:对于①,由面面垂直的判定定理可知①正确; 对于②,若n⊂α,显然结论不成立,故②错误; 对于③,若m⊂β,显然结论不成立,故③错误; 对于④,由面面平行的性质定理可知④正确; 故答案为:①④. 根据空间线面位置关系的性质与判定定理判定或举反例说明. 本题考查了空间线面位置关系的判定与性质,属于中档题. 17.【答案】解:(1)由两点式写方程得, 即6x-y+11=0. 或直线AB的斜率为, 直线AB的方程为y-5=6(x+1), 即6x-y+11=0. (2)设M的坐标为(x0,y0),则由中点坐标公式得, 故M(1,1). . ‎ ‎【解析】考查学生会根据条件写出直线的一般式方程,以及会利用中点坐标公式求线段中点坐标,会用两点间的距离公式求两点间的距离,属于基础题. (1)已知A(-1,5)、B(-2,-1),根据两点式写直线的方法化简得到AB所在的直线方程; (2)根据中点坐标公式求出M的坐标,然后利用两点间的距离公式求出AM即可. 18.【答案】解:(1)由题意知,, ‎ ‎∴a=2,b=2. (2)由题意知,, ∴或. ‎ ‎【解析】(1)利用相互垂直的直线斜率之间的关系、点与直线方程的关系即可得出. (2)利用相互平行直线斜率之间的关系、点到直线的距离公式即可得出. 本题考查了相互垂直与平行的直线斜率之间的关系、点与直线方程的关系、点到直线的距离公式,考查了推理能力与计算能力,属于中档题. 19.【答案】解:(1)证明:因为PA⊥平面ABCD, CE⊂平面ABCD,所以PA⊥CE, 因为AB⊥AD,CE∥AB,所以CE⊥AD, 又PA∩AD=A,PA⊂平面PAD, ​AD⊂平面PAD, 所以CE⊥平面PAD. (2)由(1)可知CE⊥AD,PA=AB=1,AD=3, 在Rt△ECD中,DE=CDcos45°=1, CE=CDsin45°=1,所以AE=AD-ED=2, 又因为AB=CE=1,AB∥CE, 所以四边形ABCE为矩形, 所以 =, 又PA⊥平面ABCD,PA=1, 所以. ‎ ‎【解析】本题主要考查直线与直线、直线与平面的位置关系,几何体的体积等基础知识;考查空间想象能力、推理论证能力,运算求解的能力;考查数形结合思想,化归与转化的思想,属于中档题. (1)由已知容易证PA⊥CE,CE⊥AD,由直线与平面垂直的判定定理可得; (2)由(1)可知CE⊥AD,从而有四边形ABCE为矩形,且可得P到平面ABCD的距离PA=1,代入锥体体积公式可求. 20.【答案】解:(1)由题意可知点C在x轴的正半轴上,可设其坐标为(a,0), 又AB⊥BC,则kAB•kBC=-1, 即,解得a=4. 则所求圆的圆心为(1,0),半径为3,故所求圆的方程为(x-1)2+y2=9. (2)由题意知直线的斜率存在, 故设所求直线方程为y=kx+3,即kx-y+3=0. 当圆与直线相切时,有,解得k=0,或, 故所求直线方程为y=3或,即y-3=0或3x-4y+12=0. ‎ ‎【解析】本题考查圆的方程,考查直线与圆的位置关系,考查学生的计算能力,属于中档题. ​(1)求出圆心为(1,0),半径为3,即可求RtABC外接圆的方程; (2)设所求直线方程为y=kx+3,即kx-y+3=0,当圆与直线相切时,有,即可求过点(0,3)且与Rt​ABC外接圆相切的直线的方程. 21.【答案】(1)解:∵PA⊥平面ABCD,正方形ABCD的边长为1,PA=, ∴VP-ABCD==×1×=, 即四棱锥P-ABCD的体积为; (2)证明:连结AC交BD于O,连结OE. ‎ ‎∵四边形ABCD是正方形,∴O是AC的中点. 又∵E是PA的中点,∴PC∥OE. ∵PC⊄平面BDE,OE⊂平面BDE, ∴PC∥平面BDE; (3)解:不论点E在何位置,都有BD⊥CE. 证明如下:∵四边形ABCD是正方形,∴BD⊥AC. ∵PA⊥底面ABCD,且BD⊂平面ABCD, ∴BD⊥PA. 又∵AC∩PA=A, ∴BD⊥平面PAC. ∵不论点E在何位置,都有CE⊂平面PAC. ∴不论点E在何位置,都有BD⊥CE. ‎ ‎【解析】(1)根据棱锥的体积公式即可求四棱锥P-ABCD的体积; (2)根据线面平行的判断定理即可证明PC∥平面BDE; (3)根据线面垂直的性质定理即可证明BD⊥CE. 本题考查空间直线和平面平行以及线面垂直的判断和性质,考查多面体体积的求法,是中档题. 22.【答案】解:(1)设圆心M(a,b),则a+b-2=0①, 又A(1,-1),B(-1,1), ∴kAB==-1, ∴AB的垂直平分线l的斜率k=1,又AB的中点为O(0,0), ∴l的方程为y=x,而直线l与直线x+y-2=0的交点就是圆心M(a,b), 由解得:,又r=|MA|=2, ∴圆M的方程为(x-1)2+(y-1)2=4. (2)如图: SPCMD=|MC|•|PC|=2=2, 又点M(1,1)到3x+4y+8=0的距离d=|MN|==3, 所以|PM|min=d=3, 所以(SPCMD)min=2=2. ‎ ‎【解析】(1)设圆心M(a,b),依题意,可求得AB的垂直平分线l的方程,利用方程组可求得直线l与直线x+y-2=0的交点,即圆心M(a,b),再求得r=|MA|=2,即可求得 圆M的方程; (2)作出图形,易得SPCMD=|MC|•|PC|=2=2,利用点到直线间的距离公式可求得 ‎|PM|min=d=3,从而可得(SPCMD)min=2. 本题考查直线和圆的方程的应用,着重考查圆的标准方程及点到直线间的距离公式的应用,考查转化思想与作图、运算及求解能力,属于中档题. ‎

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