数学理卷·2018届福建省厦门外国语学校高三下学期第一次（开学）考试（2018 16页

厦门外国语学校2017-2018学年第二学期高三第一次考试 数学（理科）试题 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1．在复平面内，复数对应的点位于（ ）‎ A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 ‎2．已知集合，，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎3．已知向量，，且，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎4．若直线与圆有公共点，则实数取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎5．甲、乙两人计划从、、三个景点中各选择两个游玩，则两人所选景点不全相同的选法共有（ ）‎ A． 3种 B． 6种 C． 9种 D．12种 ‎6．一个几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图相同，其上部分是半圆，下部分是边长为2的正方形；俯视图是边长为2的正方形及其外接圆．则该几何体的体积为（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎7．如果执行如图的程序框图，那么输出的值是（ ）‎ A．2010B．－1 C．D．2‎ ‎ ‎ ‎(第6题图)(第7题图)‎ ‎8．已知，则（ ）‎ A. B. C. D. -‎ ‎9.已知函数，且，则等于（ ）‎ A． ‎－2013B．－2014C．2013D．2014‎ ‎ ‎ ‎10．关于圆周率，数学发展史上出现过许多很有创意的求法，如注明的浦丰实验和查理斯实验.受其启发，我们也可以通过设计下面的实验来估计的值：先请120名同学每人随机写下一个都小于1的正实数对；再统计两数能与1构成钝角三角形三边的数对的个数；最后再根据统计数估计的值，假如统计结果是，那么可以估计的值约为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎11．已知双曲线的左,右焦点分别为,若双曲线上存在点,‎ 使,则该双曲线的离心率范围为（ ）‎ A. （1,） B. （1,） C. （1,] D. （1,]‎ ‎12．已知函数若关于的方程有且仅有一个实数解，‎ 则实数的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．‎ ‎13．锐角中角的对边分别是，若，且的面积为，‎ 则________．‎ ‎14．设是两条不同的直线,是两个不同的平面,则下列四个命题中 ‎（1）若,则; （2）若,则;‎ ‎（3）若,则; （4）若,则.‎ 其中所有真命题的序号是.‎ ‎15．学校艺术节对同一类的四项参赛作品，只评一项一等奖，在评奖揭晓前，甲、乙、丙、丁四位同学对这四项参赛作品预测如下:‎ 甲说：“作品获得一等奖”； 乙说：“ 作品获得一等奖”‎ 丙说：“两项作品未获得一等奖” 丁说：“是或作品获得一等奖”‎ 若这四位同学中只有两位说的话是对的，则获得一等奖的作品是 __________．‎ ‎16．已知平面图形为凸四边形（凸四边形即任取平面四边形一边所在的直线，其余各边均在此直线的同侧），且，则四边形面积的最大值为_______．‎ 三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．‎ ‎17.（本小题满分12分）等差数列的前n项和为，已知， 为整数，且.‎ ‎（1）求的通项公式；‎ ‎（2）设，求数列的前n项和.‎ ‎ ‎ ‎18．（本小题满分12分）如图（1）五边形中，,将沿折到的位置，得到四棱锥，如图（2），点为线段的中点，且平面.‎ ‎（1）求证：平面.‎ ‎（2）若直线与所成角的正切值为，求直线与平面所成角的正弦值.‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎19．（本小题满分12分）某石化集团获得了某地深海油田区块的开采权，集团在该地区随机初步勘探了部分几口井，取得了地质资料.进入全面勘探时期后，集团按络点来布置井位进行全面勘探，由于勘探一口井的费用很高，如果新设计的井位与原有井位重合或接近，便利用旧井的地质资料，不必打这口新井，以节约勘探费用，勘探初期数据资料见如表：‎ ‎ ‎ ‎（参考公式和计算结果：‎ ‎，，，）‎ ‎（1）1~6号旧井位置线性分布，借助前5组数据求得回归直线方程为，求的值，并估计的预报值.‎ ‎（2）现准备勘探新井，若通过1，3，5，7号并计算出的，的值（，精确到0.01）相比于（1）中的，，值之差不超过10%，则使用位置最接近的已有旧井，否则在新位置打开，请判断可否使用旧井？‎ ‎（3）设出油量与勘探深度的比值不低于20的勘探井称为优质井，那么在原有6口井中任意勘探4口井，求勘探优质井数的分布列与数学期望.‎ ‎20．（本小题满分12分）已知抛物线的焦点在抛物线上，点是抛物线上的动点．‎ ‎（1）求抛物线的方程及其准线方程；‎ ‎（2）过点作抛物线的两条切线，、分别为两个切点，求面积的最小值．‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎21．（本小题满分12分）已知函数，其中.‎ ‎（1）求函数的零点个数；‎ ‎（2）证明：是函数存在最小值的充分而不必要条件.‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎22．选修4－4：坐标系与参数方程（本小题满分10分）‎ 在平面直角坐标系中，圆的参数方程为，（t为参数），在以原点O为极点，轴的非负半轴为极轴建立的极坐标系中，直线的极坐标方程为 ‎，两点的极坐标分别为．‎ ‎（1）求圆的普通方程和直线的直角坐标方程； ‎ ‎（2）点是圆上任一点，求面积的最小值．‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎23．选修4-5：不等式选讲（本小题满分10分)‎ 已知函数，‎ ‎（1）解不等式：；‎ ‎（2）若对任意的，都有，使得成立，求实数的取值范围.‎ 厦门外国语学校2017-2018学年第二学期高三第一次考试 数学（理科）试题参考答案 ‎ 一.选择题 ‎1--11ACACB CDCDB AC 二.填空题 ‎13． 14．（1）（4） 15．C 16..‎ ‎【选择填空解析】‎ ‎1．A ‎2．C 解：由题意可知： ， ，‎ 由交集的定义可得： ，表示为区间即 .‎ ‎3．A ‎4．C 解：由题意得圆心为，半径为。圆心到直线的距离为，‎ 由直线与圆有公共点可得，即，解得。‎ ‎∴实数a取值范围是。‎ ‎5．B ‎6．C 解：由题意可知：该几何体上半部分为半球，下半部分为正方体，且正方体的面内切于半球的截面，且正方体的棱长为2，‎ ‎ ，‎ 该几何体的体积为： .‎ ‎7．D 解：当时，,时，,当时，,所以是一个周期问题，,当时，被3整除余2，所以的值是当时的值，所以，当时，输出.‎ ‎8．C 解:=,‎ ‎9.D 解:当为奇数时,‎ 当为偶数时，‎ 所以 ‎10. B 解:如图，点在以为邻边的正方形内部，正方形面积为1，能构成钝角三角形的三边，则，如图弓形内部，面积为，由题意，解得 ‎ ‎ ‎11．A 解:由题意，点不是双曲线的顶点，否则无意义，在中，由正弦定理得，又，即，在双曲线的右支上，由双曲线的定义，得，即，由双曲线的几何性质，知，即，，解得，又，所以双曲线离心率的范围是，故选A.‎ ‎ ‎ ‎11. C 解：由函数可知，在部分.当时.当时.当时恒成立.因为关于的方程有且仅有一个实数解，所以只能是只有一个解.当时有一个解.所以要使在上没解，有前面可得成立.当时要使才能成立..‎ ‎13．‎ 解：由题意得，又锐角，所以，由余弦定理得 ‎14．（1）（4）‎ 解：选项（1）中，由面面垂直的判定定理知（1）正确；选项（2）中，由线面垂直的判定定理知，（2）错；选项（3）中，依条件还可得，故（3）错；选项（4）中，由线面垂直的性质知，故（4）正确.‎ 考点：线面垂直、面面垂直的判断与性质 ‎15．C 解:若是一等奖，则甲丙丁都对，不合题意；若是一等奖，则甲乙丁都错，不合题意；若是一等奖，则乙丙正确，甲丁错，符合题意；若是一等奖，则甲乙丙错，不合题意，故一等奖是．‎ ‎16..‎ 解：设，在中，由余弦定理得，.‎ 在中，由余弦定理可得，，即有，‎ 又四边形面积，即有，又，两式两边平方可得.化简可得，，由于，即有，当即时，，解得.‎ 故的最大值为.‎ 三.解答题 ‎17. 解：（1）由，为整数知，等差数列的公差为整数．‎ 又，故…………………………………………2分 ‎ ‎ 于是，解得，…………………4分 ‎ ‎ 因此，故数列的通项公式为．…………………6分 ‎（2），…………………8分 ‎ ‎ 于是 ‎………………………………12分 ‎18.（1）证明：取的中点，连接，则，‎ 又，所以，………………………………2分 则四边形为平行四边形，所以，……………………………………3分 又因为面 所以平面……………………………………………………………………5分 ‎（2）又平面，‎ ‎∴平面，∴.‎ 由即及为的中点，可得为等边三角形，‎ ‎∴，又，∴，∴，‎ ‎∴平面平面，‎ ‎∴平面平面.………………………………………………………………6分 ‎ ‎ ‎，∴为直线与所成的角，‎ 由（1）可得，∴，∴，‎ 设，则，‎ 取的中点，连接，过作的平行线，‎ 可建立如图所示的空间直角坐标系，‎ 则，‎ ‎∴，…………………………………………………………………9分 所以，‎ 设为平面的法向量，则，即，‎ 取，则为平面的一个法向量，‎ ‎∵，‎ 则直线与平面所成角的正弦值为.………………………………12分 ‎19.（1）因为，.‎ 回归直线必过样本中心点，则.……………2分 故回归直线方程为，当时，，即的预报值为24.………………………………………………………4分 ‎（2）因为，，，，‎ 所以，……………………6分 ‎，即，，，.‎ ‎，，均不超过10%，‎ 因此使用位置最接近的已有旧井.……………………………………………8分 ‎（3）由题意，1，3，5，6这4口井是优质井，2，4这两口井是非优质井，‎ 所以勘察优质井数的可能取值为2， 3，4，‎ ‎，，‎ ‎.‎ X ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ P ‎ ‎ ‎……………………………………………………12分 ‎20.试题解析：（Ⅰ）的方程为 其准线方程为．…………4分 ‎ ‎ ‎（Ⅱ）设，，， ‎ 则切线的方程： ，即，又，‎ 所以，……………………………………………………………6分 同理切线的方程为，‎ 又和都过点，所以，‎ 所以直线的方程为. ………………………………………………8分 联立得，所以。‎ 所以．‎ 点到直线的距离． ‎ 所以的面积………………10分 所以当时， 取最小值为。即面积的最小值为2.……………12分 ‎ ‎ ‎21．解（1）由，‎ 得………………………………2分 令，得，或.‎ 所以当时，函数有且只有一个零点：；当时，函数有两个相异的零点：，.……………………………………………………5分 ‎（2）①当时，恒成立，此时函数在上单调递减，‎ 所以，函数无极值.……………………………………………………………6分 ‎②当时，，的变化情况如下表：‎ ‎ ‎ 所以，时，的极小值为.‎ 又时，，‎ 所以，当时，恒成立.‎ 所以，为的最小值.‎ 故是函数存在最小值的充分条件.………………………………10分 ‎③当时，，的变化情况如下表：‎ ‎ ‎ 因为当时，，‎ 又，‎ 所以，当时，函数也存在最小值.‎ 所以，不是函数存在最小值的必要条件.‎ 综上，是函数存在最小值的充分而不必要条件.……………………12分 ‎22．解： （1）由消去参数t，得，‎ 所以圆C的普通方程为．……………………………………2分 由，得，换成直角坐标系为，‎ 所以直线l的直角坐标方程为……………………………5分 ‎（2）化为直角坐标为在直线l上，‎ 并且，设P点的坐标为，‎ 则P点到直线l的距离为，…8分 ‎，所经面积的最小值是…………………10分 ‎23.解：试题解析：（Ⅰ）由得 ‎.……………………………………………5分 ‎（Ⅱ）∵的值域为，∴对任意的，都有，使得成立，…………………………………………………………7分 ‎∵≥‎ 所以实数的取值范围是.…………………………………………10分 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎