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- 2021-06-11 发布
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华安一中、龙海二中2019-2020学年上学期第一次月考高一数学试题
一、选择题(本题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.下列元素与集合的关系表示正确的是( )
①N*;②∉Z;③∈Q;④π∈Q
A. ①② B. ②③ C. ①③ D. ③④
【答案】B
【解析】
【分析】
根据正整数集、整数集以及有理数集的含义判断数与集合关系.
【详解】①不是正整数,∴N*错误;②是无理数,∴正确;
③是有理数,∴正确;④π是无理数,∴π∈Q错误;∴表示正确的为②③.
故选B.
【点睛】本题考查正整数集、整数集、有理数集的含义以及数与集合关系判断,考查基本分析判断能力,属基础题.
2.函数的定义域为( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
利用二次根式不小于0,分母不为0,列不等式求解即可.
详解】解:由已知得,解得且.
故选D.
【点睛】本题考查定义域的求法,是基础题.
3.已知函数f(x)=,则f(f(1))等于( )
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
【答案】C
【解析】
【分析】
根据函数的解析式,先求解,进而求解的值,即可得到答案.
【详解】由题意,根据函数的解析式,则,
所以,故选C.
【点睛】本题主要考查了分段函数的应用及求值问题,其中理解分段函数的分段条件,正确作出选择是解答的关键,着重考查了推理与运算能力.
4.已知集合A={x|x>1},B={y|y=x2,x∈R},则( )
A. A=B B. BA C. AB D. A∩B=∅
【答案】C
【解析】
【分析】
先求解集合B,再根据集合的基本关系,即可作差判断.
【详解】由题意,集合,
因为,所以,故选C.
【点睛】本题主要考查了集合与集合之间的关系的判定,其中正确理解集合是解答的关键,着重考查了推理与运算能力.
5.函数的图象关于( )
A. 轴对称 B. 直线对称
C. 直线对称 D. 坐标原点对称
【答案】D
【解析】
【分析】
先判断函数为奇函数,从而得到函数图象关于原点对称.
【详解】函数的定义域为,关于原点对称,
又,
所以函数为奇函数,则图象关于原点对称.
故选:D.
【点睛】本题考查利用函数图象的对称性,考查数形结合思想的运用,属于基础题.
6.下列哪组中的两个函数是同一函数
A. 与 B. 与
C. 与 D. 与
【答案】B
【解析】
【分析】
先求函数定义域,再化简函数解析式,最后比较是否相同确定结果.
【详解】定义域为R定义域为,所以不是同一函数,
B.,定义域为R,定义域为R,所以是同一函数,
C. ,所以不是同一函数,
D. ,所以不是同一函数,
综上选B.
【点睛】本题考查函数概念与定义域,考查基本判断与分析求解能力.
7.在下列由M到N的对应中构成映射的是 ( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
选项A,集合M中的元素3没有对应的项,不符合映射的定义;选项B,集合M中的元素3,在集合N中对应了两个值,不合题意; 选项C,集合M中的元素,在集合N中都有唯一确定的象,,符合题意; 选项D,集合M中的元素a,在集合N中对应了两个值,不合题意;故选C.
8.若函数,则的解析式为( )
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
利用换元法令,再代入,从而得到关于的表达式,最后将改写成,进而得到答案.
【详解】令,则,
所以,
所以,
即.
故选:D.
【点睛】本题考查利用换元法求函数的解析式,考查基本运算求解能力,求解时注意新元取值范围的限制,才会使问题进行等价转化.
9.已知偶函数f(x)在区间[0,+∞)上单调递减,则满足f(2x﹣1)<f(5)的x的取值范围是( )
A. (﹣2,3) B. (﹣∞,﹣2)∪(3,+∞)
C. [﹣2,3] D. (﹣∞,﹣3)∪(2,+∞)
【答案】B
【解析】
【分析】
根据函数的奇偶性和单调性,建立不等式
,进一步求解绝对值不等式,即可得到答案.
【详解】已知偶函数在区间上单调递减,则,
整理得,解得或,
故不等式的解集为,故选B.
【点睛】本题主要考查了函数的奇偶性与单调性的应用,其中利用函数的奇偶性与单调性,合理转化不等式是解答的关键,着重考查了转化思想,以及分析问题和解答问题的能力,属于中档试题.
10.某学生离家去学校,由于怕迟到,一开始就跑步,等跑累了再步行走完余下的路程,若以纵轴表示离家的距离,横轴表示离家后的时间,则下列四个图形中,符合该学生走法的是( )
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
纵轴表示离家的距离,所以在出发时间为可知C,D错误,再由刚开始时速度较快,后面速度较慢,可根据直线的倾斜程度得到答案.
【详解】当时间时,,故排除C,D;
由于刚开始时速度较快,后面速度较慢,
所以前段时间的直线的倾斜角更大.
故选:A.
【点睛】本题考查根据实际问题抽象出对应问题
函数图象,考查抽象概括能力,属于容易题.
11.已知函数的定义域为,则的定义域为( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
由函数的定义域为,得,求出的取值范围作为函数的定义域.
【详解】的定义域为,即,,
所以,函数的定义域为,故选C.
【点睛】本题考查抽象函数的定义域的求解,解抽象函数的定义域要抓住以下两点:
(1)函数的定义域指的是自变量的取值范围;
(2)对于函数和的定义域的求解,和的值域相等,由此列不等式求出的取值范围作为函数的定义域.
12.定义:表示不超过的最大整数如,则函数的值域为( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
由题意可得当时,,分别求出取不同正整数时函数的值域,取并集得答案.
【详解】当时,,;
当时,,;
当时,.
取并集得:函数的值域为.
故选:A.
【点睛】本题考查函数的值域及其求法,考查逻辑推理能力,求解的关键是对取整函数的理解,是中档题.
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)
13.集合A={-1,0,1},B={a+1,2a},若A∩B={0},则实数a的值为________.
【答案】-1;
【解析】
,,
(1),则,满足题意;
(2),则,此时,舍去.
.
14.函数(,)的图象恒过定点,则点的坐标为__________.
【答案】
【解析】
因为当时,,所以函数图象恒过点,故填.
15.定义在上奇函数满足:当,则__________.
【答案】
【解析】
为上的奇函数,,
故答案为.
16.若函数在上为增函数,则取值范围为_____.
【答案】
【解析】
函数在上为增函数,则需,
解得,故填.
三、解答题(本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17.计算:
(1);
(2) 已知,求.
【答案】(1); (2)11.
【解析】
【分析】
(1)利用指数幂运算法则代入计算求值;
(2)对等式两边平方可得答案.
【详解】(1)原式.
(2)因为,
所以.
【点睛】本题考查指数幂运算法则,考查基本运算求解能力,属于基础题.
18.已知集合,或.
(1)若,求;
(2)若,求实数的取值范围.
【答案】(1);(2).
【解析】
【分析】
(1)若,则得出,然后进行交集的运算即可;
(2)根据即可得出,解出的范围即可.
【详解】(1)时,;
,即.
(2),
,解得,
实数的取值范围为.
【点睛】本题考查集合的描述法、集合间的基本关系、集合间的运算,考查运算求解能力,求解时注意端点值的取舍.
19.设且,函数在区间,上的最大值是14,求实数的值.
【答案】3或
【解析】
【分析】
直接利用换元法和函数的单调性的应用求出函数的最值,进一步利用最值的应用求出参数的结果.
【详解】令且,
则原函数化简为.
①当时,,所以,
此时在区间上为增函数,
所以.
所以(舍或.
②当时,.
此时在区间上为增函数,
所以.
所以(舍或.
综上所述,或.
【点睛】本题考查函数的性质的应用,函数的单调性和换元法的应用,考查分类讨论思想和数形结合思想的运用,考查逻辑推理能力和运算求解能力.
20.已知函数,若在区间上有最大值1.
(1)求的值;
(2)若在上单调,求数的取值范围.
【答案】(1)-1;(2).
【解析】
【分析】
(1)根据函数的开口方向和对称轴,求出函数的单调区间,从而求出函数的最大值是f(2)=1,求出a的值即可;(2)求出f(x)的解析式,求出g(x)的表达式,根据函数的单调性求出m的范围即可.
【详解】因为函数的图象是抛物线,,
所以开口向下,对称轴是直线,
所以函数在单调递减,
所以当时,,
因为,,
所以,
,
上单调,
,或.
从而,或
所以,m的取值范围是.
【点睛】本题考查了二次函数的性质,考查函数的单调性、最值问题,是一道中档题;二次函数在小区间上的单调性,需要讨论二次函数对称轴和区间的位置关系,结合函数图像的特点得到函数的单调性,进而得到最值.
21.已知函数
(1)求的值;
(2)设求g(x)的值域.
【答案】(1)3.5;(2).
【解析】
【分析】
(1)根据题意,由函数的解析式可得,再进行配凑求值;
(2)根据题意,求出的解析式,由作差法证明即可得结论.
【详解】(1)根据题意,,则,所以,
令,
则,
所以.
(2),
因为,
所以.
【点睛】本题考查利用函数解析式计算函数值、值域求解,考查基本运算求解能力.
22.已知函数有如下性质:如果常数,那么该函数在上是减函数,在是增函数,其图像如图所示.
(1)已知,,利用上述性质,求函数的单调区间和值域;
(2)对于(1)中的函数和函数,若对任意,总存在,使得成立,求实数的值.
【答案】(1)的单调递减区间为,单调递增区间为,值域为;(2)
【解析】
【分析】
(1),结合条件所给的函数的单调性即可求解;
(2)对任意,总存在,使得成立,等价于的值域是值域的子集,求出和的值域,根据包含关系即可求出实数的值
【详解】解:(1),
根据条件所给出的性质得,的单调递减区间为,单调递增区间为,
的最小值为,的最大值为,
所以值域为;
(2)由已知对于函数,,
得,
对于函数,,
得
由已知对任意,总存在,使得成立,等价于的值域是值域的子集,
,解得,即
【点睛】本题主要考查了函数恒成立问题的求解,以及转化思想的应用,对勾函数的最值以及单调性的应用.