2021高考数学一轮复习课时作业25平面向量基本定理及坐标表示文 6页

- 1 - 课时作业 25 平面向量基本定理及坐标表示 [基础达标] 一、选择题 1．[2020·湖南重点中学联考]已知 m＝(5,12)，则与 m 方向相同的单位向量的坐标是 ( ) A.( 5 13 ，12 13 ) B. (3 5 ，4 5 ) C. ( 3 2 ，1 2 ) D．(－ 3 2 ，1 2 ) 解析：设所求向量为 n＝λm(λ>0)，∵m＝(5,12)，∴n＝(5λ，12λ)．∵|n|＝1，∴25λ2 ＋144λ2＝1，得λ＝ 1 13 ，∴n＝( 5 13 ，12 13 ).故选 A 项． 答案：A 2．已知点 A(－1,5)和向量 a＝(2,3)，若AB → ＝3a，则点 B 的坐标为( ) A．(7,4) B．(7,14) C．(5,4) D．(5,14) 解析：设点 B 的坐标为(x，y)，则AB → ＝(x＋1，y－5)． 由AB → ＝3a，得 x＋1＝6， y－5＝9， 解得 x＝5， y＝14. 答案：D 3．[2020·衡水中学调研卷]设向量 a，b 满足|a|＝2 5，b＝(2,1)，则“a＝(4,2)”是 “a∥b”成立的是( ) A．充要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：若 a＝(4,2)，则|a|＝2 5，且 a∥b 都成立； 因 a∥b，设 a＝λb＝(2λ，λ)，由|a|＝2 5，得 4λ2＋λ2＝20. ∴λ2＝4，∴λ＝±2. ∴a＝(4,2)或 a＝(－4，－2)． 因此“a＝(4,2)”是“a∥b”成立的充分不必要条件． 答案：C - 2 - 4．[2020·四川绵阳联考]如图，在△ABC 中，D 为 BC 边上的一点，且 BD＝2DC.若AC → ＝ mAB → ＋nAD → (m，n∈R)，则 m－n＝( ) A．2 B．1 C．－2 D．3 解析：∵BD → ＝2DC → ，∴AD → －AB → ＝2(AC → －AD → )，∴AC → ＝－1 2 AB → ＋3 2 AD → ，∴m＝－1 2 ，n＝3 2 ，∴m －n＝－2.故选 C 项． 答案：C 5．[2019·福建三明期末]在△ABC 中，3CD → ＝BD → ，AD 为 BC 边上的高，O 为 AD 的中点， 若AO → ＝λAB → ＋μAC → ，则λ·μ＝( ) A．－3 4 B．－ 3 16 C.3 4 D. 3 16 解析：如图，∵3CD → ＝BD → ，O 为 AD 的中点，∴AO → ＝1 2 AD → ＝1 2 AB → ＋1 2 BD → ＝1 2 AB → ＋1 2 ×3 2 BC → ＝1 2 AB → ＋ 3 4 (AC → －AB → )＝－1 4 AB → ＋3 4 AC → ＝λAB → ＋μAC → ，∴λ＝－1 4 ，μ＝3 4 ，∴λ·μ＝－ 3 16 .故选 B 项． 答案：B 二、填空题 6．[2020·广州市高中综合测试]已知向量 a＝(m,2)，b＝(1,1)，若|a＋b|＝|a|＋|b|， 则实数 m＝________. 解析：解法一 a＋b＝(m＋1,3)，|a＋b|＝ m＋1 2＋9，|a|＝ m2＋4，|b|＝ 2， 由|a＋b|＝|a|＋|b|，得 m＋1 2＋9＝ m2＋4＋ 2，两边分别平方得 m2＋2m＋10＝m2＋6 - 3 - ＋2 2× m2＋4，即 m＋2＝ 2× m2＋4，两边分别平方得 m2＋4m＋4＝2m2＋8，解得 m＝2. 解法二 a·b＝(m,2)·(1,1)＝m＋2，|a|＝ m2＋4，|b|＝ 1＋1＝ 2，由|a＋b|＝|a| ＋|b|，得 a2＋b2＋2a·b＝a2＋b2＋2|a||b|，即 a·b＝|a||b|，故 m＋2＝ 2× m2＋4，两边 分别平方得 m2＋4m＋4＝2m2＋8，解得 m＝2. 答案：2 7．[2020·天津二十四中月考]已知向量 p＝(2，－3)，q＝(x,6)，且 p∥q，则|p＋q| 的值为________． 解析：∵p∥q，∴x＝－4，∴q＝(－4,6)，∴p＋q＝(－2,3)，∴|p＋q|＝ 13. 答案： 13 8．[2020·石家庄检测]平行四边形 ABCD 中，M 为 BC 的中点，若AB → ＝λAM → ＋μDB → ，则 λμ＝________. 解析：∵DB → ＝AB → －AD → ＝AB → －BC → ＝AB → －2BM → ＝3AB → －2AM → ，∴AB → ＝λAM → ＋3μAB → －2μAM → ，∴(1 －3μ)AB → ＝(λ－2μ)AM → ，∵AB → 和AM → 是不共线向量， ∴ 1－3μ＝0， λ－2μ＝0， 解得 μ＝1 3 ， λ＝2 3 ， ∴λμ＝2 9 . 答案：2 9 三、解答题 9．如图，在梯形 ABCD 中，AD∥BC，且 AD＝1 3 BC，E，F 分别为线段 AD 与 BC 的中点．设 BA → ＝a，BC → ＝b，试用 a，b 为基底表示向量EF → ，DF → ，CD → . 解析：EF → ＝EA → ＋AB → ＋BF → ＝－1 6 b－a＋1 2 b＝1 3 b－a， DF → ＝DE → ＋EF → ＝－1 6 b＋(1 3 b－a)＝1 6 b－a， - 4 - CD → ＝CF → ＋FD → ＝－1 2 b－(1 6 b－a)＝a－2 3 b. 10．已知 a＝(1,0)，b＝(2,1)， (1)当 k 为何值时，ka－b 与 a＋2b 共线？ (2)若AB → ＝2a＋3b，BC → ＝a＋mb 且 A、B、C 三点共线，求 m 的值． 解析：(1)ka－b＝k(1,0)－(2,1)＝(k－2，－1)， a＋2b＝(1,0)＋2(2,1)＝(5,2)． ∵ka－b 与 a＋2b 共线， ∴2(k－2)－(－1)×5＝0， 即 2k－4＋5＝0，得 k＝－1 2 . (2)解法一 ∵A、B、C 三点共线， ∴可设AB → ＝λBC → . 即 2a＋3b＝λ(a＋mb)， ∴ 2＝λ， 3＝mλ， 解得 m＝3 2 . 解法二 AB → ＝2a＋3b＝2(1,0)＋3(2,1)＝(8,3)， BC → ＝a＋mb＝(1,0)＋m(2,1)＝(2m＋1，m)， ∵A、B、C 三点共线， ∴AB → ∥BC → ， ∴8m－3(2m＋1)＝0， 即 2m－3＝0， ∴m＝3 2 . [能力挑战] 11．[2020·甘肃酒泉五校联考]已知 a＝(3，－2m)，b＝(1，m－2)是同一平面内的两个 向量，且该平面内的任一向量 c 都可以唯一地表示成 c＝λa＋μb(λ，μ为实数)，则实数 m 的取值范围是( ) A.(6 5 ，＋∞) B．(－∞，6 5 )∪(6 5 ，＋∞) C．(－∞，2) D．(－∞，－2)∪(2，＋∞) - 5 - 解析：由平面内的任一向量 c 都可以唯一地表示成 c＝λa＋μb(λ，μ为实数)，可知 a，b 是一组基底向量，所以 a，b 不共线，则 3(m－2)≠－2m，解得 m≠6 5 ，所以实数 m 的取值 范围是(－∞，6 5 )∪(6 5 ，＋∞).故选 B 项． 答案：B 12．[2020·甘肃兰州一中月考]已知 a，b 为平面内两个互相垂直的单位向量，若向量 c 满足 c＋a＝λ(c＋b)(λ∈R)，则|c|的最小值为________． 解析：∵c＋a＝λ(c＋b)且λ≠1，∴c＝ －1 λ－1 (－a)＋ λ λ－1 (－b)．∵ －1 λ－1 ＋ λ λ－1 ＝ 1，∴c，－a，－b 三个向量共起点且其终点共线．如图，令OA → ＝－a，OB → ＝－b，OC → ＝c，易知 A，B，C 三点共线，∴|c|的最小值为点 O 到直线 AB 的距离．∵a，b 是平面内两个互相垂直 的单位向量，∴O 到直 线 AB 的距离为 2 2 ，即|c|的最小值为 2 2 . 答案： 2 2 13．[2020·河北百校联盟联考]已知在△ABC 中，点 D 满足 2BD → ＋CD → ＝0，过点 D 的直线 l 与直线 AB，AC 分别交于点 M，N，AM → ＝λAB → ，AN → ＝μAC → .若λ>0，μ>0，则λ＋μ的最小值 为________． 解析：连接 AD.因为 2BD → ＋CD → ＝0，所以BD → ＝1 3 BC → ，AD → ＝AB → ＋BD → ＝AB → ＋1 3 BC → ＝AB → ＋1 3 (AC → －AB → ) ＝2 3 AB → ＋1 3 AC → .因为 D、M、N 三点共线，所以存在 x∈R，使AD → ＝xAM → ＋(1－x)AN → ，则AD → ＝xλAB → ＋ (1－x)μAC → ，所以 xλAB → ＋(1－x)·μAC → ＝2 3 AB → ＋1 3 AC → ，根据平面向量基本定理，得 xλ＝2 3 ， (1－x)μ＝1 3 ，所以 x＝ 2 3λ ，1－x＝ 1 3μ ，所以 2 3λ ＋ 1 3μ ＝1，所以λ＋μ＝1 3 (λ＋μ) 2 λ ＋ 1 μ - 6 - ＝1 3 3＋2μ λ ＋λ μ ≥3＋2 2 3 ，当且仅当λ＝ 2μ时等号成立，∴λ＋μ的最小值为3＋2 2 3 . 答案：3＋2 2 3