辽宁省葫芦岛协作校2018-2019学年高二下学期考试数学（文）试题 16页

‎2018~2019学年高二下学期第二次考试 数学试题（文科）‎ 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.已知集合，，则( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据集合交集的概念，直接求得两个集合的交集.‎ ‎【详解】由集合，可得.故选A.‎ ‎【点睛】本小题主要考查交集的概念及运算，属于基础题.‎ ‎2.复数在复平面内对应的点位于( )‎ A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 化简复数为的形式，求得复数对应点的坐标，由此判断所在的象限.‎ ‎【详解】，该复数对应的点为，在第四象限.故选D.‎ ‎【点睛】本小题主要考查复数的运算，考查复数对应点的坐标所在象限.‎ ‎3.函数的值域为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用配方法求得二次函数的值域.‎ ‎【详解】.故选B.‎ ‎【点睛】本小题主要考查配方法求二次函数的值域，属于基础题.‎ ‎4.在极坐标系中，表示的曲线是( )‎ A. 双曲线 B. 抛物线 C. 椭圆 D. 圆 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 对题目所给表达式两边乘以，结合极坐标和直角坐标相互转换的公式，求出曲线对应的直角坐标方程，由此判断出曲线为何种曲线.‎ ‎【详解】因为，即，所以，因此原曲线为圆.故选D.‎ ‎【点睛】本小题主要考查极坐标转化为直角坐标，考查曲线对应图形的判断，属于基础题.‎ ‎5.已知函数恰有个零点，则的取值范围是( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 对分段函数的每一段进行研究，当时，根据对数函数性质求得对应的零点，当时，根据一次函数的性质列不等式，求得的取值范围.‎ ‎【详解】当时，的零点为，则必有一个零点，为一次函数，单调递增，故需，即.故选C.‎ ‎【点睛】本小题主要考查分段函数的零点问题，考查指数函数和一次函数的零点，属于基础题.‎ ‎6.两个线性相关变量满足如下关系：‎ 则与的线性回归直线一定过其样本点的中心，其坐标为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 分析】‎ 求出，得到，由此得出正确选项.‎ ‎【详解】线性回归直线的样本点中心为点，因为，‎ ‎，所以该线性回归直线的样本点中心为点.故选A.‎ ‎【点睛】本小题主要考查回归直线方程过样本中心点，属于基础题.‎ ‎7.已知，则( )‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 用对三个数进行分段，由此得出正确选项.‎ ‎【详解】因为，所以.故选B.‎ ‎【点睛】本小题主要考查对数式比较大小，主要的方法是分段法，即三个数处于不同的区间内，由此来判断三个数的大小关系，属于基础题.‎ ‎8.在直角坐标系中，直线的方程为，以坐标原点为极点，‎ 轴正半轴为极轴建立极坐标系，则的极坐标方程为( )‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用，将直线的直角坐标方程转化为极坐标方程，并利用辅助角公式进行化简，由此得出正确选项.‎ ‎【详解】因为，‎ 所以的极坐标方程为.故选C.‎ ‎【点睛】本小题主要考查直角坐标方程化为极坐标方程，考查三角函数辅助角公式，属于基础题.‎ ‎9.直线（为参数）与椭圆交于两点，则的中点坐标为( )‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 分析】‎ 将直线的参数方程代入椭圆方程，得到关于的一元二次方程，根据中点坐标公式和韦达定理求得中点对应的，代入直线的参数方程求得中点的坐标.‎ ‎【详解】将代入，得，对应参数为.‎ 设的中点对应的参数为，‎ 把代入可得的中点坐标为.故选B.‎ ‎【点睛】本小题主要考查直线参数方程的应用，考查中点坐标的求法，属于基础题.‎ ‎10.观察下列不等式：.据此你可以归纳猜想出的一般结论为( )‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 把各不等式化成统一的形式后可猜想一般结论.‎ ‎【详解】即为，‎ 即为，即为，‎ 即为，‎ 故可以归纳猜想出的一般结论是：，故选D.‎ ‎【点睛】本题考查归纳推理，要求从具体的不等式关系得到一个一般性结论，此类问题我们一般要去异求同方可找到一般性结论，同时还应该注意变量的范围.‎ ‎11.在极坐标系中，点是曲线上一动点，以极点为中心，将点绕 顺时针旋转得到点，设点的轨迹为曲线，则曲线的极坐标方程为( )‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设出点坐标，得出点坐标，将A点坐标代入曲线方程，化简后得到曲线的极坐标方程.‎ ‎【详解】设点，则点，代入，得.故选A.‎ ‎【点睛】本小题主要考查曲线的极坐标方程的求法，考查的是代入法求轨迹方程，属于基础题.‎ ‎12.定义在上的连续函数满足则( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据分段函数的解析式，判断出当时，函数的周期，结合分段函数的解析式，由此求得的值.‎ ‎【详解】因为当时，，又，‎ 两式相加得，故，所以当时，函数的周期是6，因此，而，函数是连续函数，故 ‎，两个等式相加，得， 故选C.‎ ‎【点睛】本题主要考查分段函数的周期性，考查分段函数求值，属于基础题.‎ 二、填空题:把答案填在答题卡中的横线上.‎ ‎13.已知复数是纯虚数，则实数_________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将化简为的形式，根据复数是纯虚数求得的值.‎ ‎【详解】因为为纯虚数，所以.‎ ‎【点睛】本小题主要考查复数乘法运算，考查纯虚数的概念，属于基础题.‎ ‎14.若直线的参数方程为 （为参数），则的斜率为_______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将参数消去后，求得直线的斜率.‎ ‎【详解】由（为参数），得，所以的斜率为.‎ ‎【点睛】本小题主要考查直线参数方程化为直角坐标方程，考查直线斜率的求法，属于基础题.‎ ‎15.已知幂函数的图象经过点，则_______.‎ ‎【答案】5‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据幂函数的定义求得，得到，再由函数的图象经过点，求得，即可求解.‎ ‎【详解】由题意，幂函数，所以，即，‎ 又由函数的图象经过点，即，所以，则.‎ ‎【点睛】本题主要考查了幂函数的定义，及幂函数解析式的应用，其中解答中熟记幂函数的概念，以及利用幂函数的解析式准确计算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.‎ ‎16.在极坐标系中，点，直线，则到直线的距离是______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求得点的直角坐标，求得直线的直角坐标方程，根据点到直线的距离公式求得点到直线的距离.‎ ‎【详解】点的直角坐标为，‎ 直线的直角坐标系方程为，即，‎ 所以到直线的距离是.‎ ‎【点睛】本小题主要考查极坐标与直角坐标互化，考查点到直线的距离公式，属于基础题.‎ 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎17.若集合和.‎ ‎（1）当时，求集合；‎ ‎（2）当时，求实数的取值集合.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）当时，先求得然后求它们的并集.（2）根据和两类，结合是的子集列不等式，解不等式求得的取值范围.‎ ‎【详解】解：（1）当时，，则.‎ ‎（2）根据题意，分2种情况讨论：‎ ‎①当时，则成立；‎ ‎②当时，则.‎ 由解得.‎ 综上，的取值集合为.‎ ‎【点睛】本小题主要考查集合并集的概念及运算，考查集合间的相互关系，考查分类讨论的数学思想方法，属于中档题.‎ ‎18.某高中尝试进行课堂改革.现高一有两个成绩相当的班级，其中班级参与改革，班级没有参与改革.经过一段时间，对学生学习效果进行检测，规定成绩提高超过分的为进步明显，得到如下列联表.‎ 进步明显 进步不明显 合计 班级 班级 合计 ‎（1）是否有的把握认为成绩进步是否明显与课堂是否改革有关?‎ ‎（2）按照分层抽样的方式从班中进步明显的学生中抽取人做进一步调查，然后从 人中抽人进行座谈，求这人来自不同班级的概率.‎ 附：，当时，有的把握说事件与有关.‎ ‎【答案】（1）没有的把握认为成绩进步是否明显与课堂是否改革有关.（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）计算出的值，由此判断出没有的把握认为成绩进步是否明显与课堂是否改革有关.（2）先根据分层抽样计算出班抽取的人数.然后利用列举法和古典概型概率计算公式求得所求的概率.‎ ‎【详解】解：（1），‎ 所以没有的把握认为成绩进步是否明显与课堂是否改革有关.‎ ‎（2）按照分层抽样，班有人，记为，班有人，记为，‎ 则从这人中抽人的方法有 ‎，共10种.‎ 其中人来自于不同班级的情况有种，所以所示概率是.‎ ‎【点睛】本小题主要考查独立性检验的知识，考查分层抽样，考查列举法求解古典概型问题.属于中档题.‎ ‎19.已知，函数.‎ ‎（1）求的定义域；‎ ‎（2）若在上的最小值为，求的值.‎ ‎【答案】（1） ； （2） .‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由题意，函数解析式有意义，列出不等式组，即可求解函数的定义域；‎ ‎（2）由题意，化简得，设，根据复合函数的性质，分类讨论得到函数的单调性，得出函数最值的表达式，即可求解。‎ ‎【详解】（1）由题意，函数，‎ 满足 ，解得，即函数的定义域为。‎ ‎（2）由，‎ 设，则表示开口向下，对称轴的方程为，‎ 所以在上为单调递增函数，在单调递减，‎ 根据复合函数的单调性，可得 因为，函数在为单调递增函数，在单调递减，‎ 所以，解得；‎ 故实数的值为．‎ ‎【点睛】本题主要考查了对数函数的图象与性质的应用，以及与对数函数复合函数的最值问题，其中解答中熟记对数函数的图象与性质，合理分类讨论求解是解答本题的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题。‎ ‎20.在直角坐标系中,过点的直线的参数方程为（‎ 为参数），以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线的极坐标方程为，记直线与曲线分别交于两点.‎ ‎(1)求曲线和直角坐标方程；‎ ‎(2)证明：成等比数列.‎ ‎【答案】(1), .（2）见解析.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）曲线C的极坐标方程左右两边同乘 ，再利用 可求其直角坐标方程；消参可求直线的普通方程；‎ ‎（2）把直线的参数方程和曲线C的直角坐标方程联立，利用韦达定理分别表示 ，利用等比中项法即可证明。‎ ‎【详解】（1）由，得 ，‎ 所以曲线的直角坐标方程为，‎ 由 ，消去参数，得直线的普通方程为.‎ ‎（2）证明：将直线的参数方程代入中，得.‎ 设两点对应的参数分别为，则有，，‎ 所以.‎ 因为，‎ 所以，，成等比数列.‎ ‎【点睛】本题考查极坐标方程、直角坐标方程、参数方程的互化，直线的参数方程的应用，考查运算能力，属于基础题。‎ ‎21.已知是其定义域上的奇函数.‎ ‎（1）求的解析式；‎ ‎（2）若，求的取值范围.‎ ‎【答案】（1）（2）或.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）先求得函数的定义域，根据列方程，解方程求得的值，进而求得函数解析式.（2）先判断树函数的单调性，然后根据单调性将不等式的函数符号去掉，再解不等式求得的取值范围.‎ ‎【详解】解：（1）因为是奇函数，其定义域为，‎ 所以，即，‎ 所以，经检验，符合题意.所以.‎ ‎（2）由（1）知，因为函数在上是增函数，‎ 所以在上单调递减，因为，‎ 所以，解得或.‎ ‎【点睛】本小题主要考查函数的奇偶性，考查利用函数的单调性解函数不等式，属于中档题.‎ ‎22.已知函数满足方程有两相等实根，求在上的最小值.‎ ‎【答案】见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先根据方程有两相等实根，利用判别式求得的一个关系式，将转化为只含有的表达式，根据的关系式，结合二次函数的对称轴进行分类讨论，由此求得在上的最小值.‎ ‎【详解】解：因为方程有等根，的，‎ 解得或.‎ 当时，，‎ 所以对称轴为，‎ 所以，在上单调递增，即.‎ 当时，，‎ 所以对称轴为.‎ 所以，当时，，则在上单调递增，‎ 故.‎ 当时，，即在上单调递减，‎ 在上单调递增，所以.‎ 综上，当和且时，；‎ 当且时，.‎ ‎【点睛】本小题主要考查一元二次方程零点问题，考查含有参数的二次函数在给定区间上的最值，考查分类讨论的思想方法，属于难题.‎ ‎ ‎