2017-2018学年湖南省衡阳市第八中学高二上学期12月月考数学文试题 13页

‎2017-2018学年湖南省衡阳市第八中学高二上学期12月月考 数学(文科)‎ 命题人：彭源 审题人：吕建设 考生注意：本试卷分选择题、填空题和解答题三部分,共22个小题，考试时间120分钟，‎ 试卷满分100分.‎ 一. 选择题：本大题共12小题，每小题3分，共36分，在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的，把各题答案的代号填写涂在答题卷上.‎ ‎1. 准线方程为x=1的抛物线的标准方程是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎2. “x＞5”是“x2－4x－5＞0”是（ ）‎ A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎ ‎3. 设命题p：函数y＝sin2x的最小正周期为；命题q：函数y＝cosx的图象关于直线x＝对称．则下列判断正确的是(　　)‎ A．p为真 B．q为假 C．p∧q为假 D．p∨q为真 ‎4. 某班级有50名学生，其中有30名男生和20名女生，随机询问了该班五名男生和五名女生在某次数学测验中的成绩，五名男生的成绩分别为86，94，88，92，90，五名女生的成绩分别为88，93，93，88，93.下列说法一定正确的是(　　)‎ A．这种抽样方法是一种分层抽样 B．这种抽样方法是一种系统抽样 C．这五名男生成绩的方差大于这五名女生成绩的方差 D．该班男生成绩的平均数小于该班女生成绩的平均数 ‎5. 下列结论正确的是（ ）‎ A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 ‎6. 若双曲线的离心率为，则其渐近线方程为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎7. 曲线在处的切线方程为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎8. 若椭圆与双曲线有相同的焦点，点P是椭圆与双曲线的一 个交点，则的面积是（ ）‎ A．4 B．‎2 ‎ C．1 D．‎ ‎9. 等轴双曲线C的中心在原点，焦点在轴上，C与抛物线的准线交于A，B两点，，则双曲线C的实轴长为（ ）‎ A． B． C．4 D．8‎ ‎10. 若函数在上单调递增，则实数的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎11. 已知函数，若存在唯一的零点，且，则实数的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎12. 设A、B是椭圆C：长轴的两个端点，若C上存在点M满足∠AMB=120°，‎ 则m的取值范围是( )‎ A． B． ‎ C． D．‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题3分，共12分，把答案填写在答题卷相应的横线上.‎ ‎13. 在元旦晚会举办的挑战主持人大赛上，七位评委为某选手打出 的分数的茎叶统计图如图，去掉一个最高分和一个最低分后，‎ 所剩数据的方差为 . ‎ ‎14. 直线经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到的距离为其短轴长的，则该椭圆的离心率为 .‎ ‎15.做一个无盖的圆柱水桶，若要使水桶的体积为，且用料最省，则水桶的底面半径为 .‎ ‎16. 设函数在区间的导函数为，在区间的导函数为，若在区间上恒成立，则称函数在区间上为“凸函数”，已知，若函数在区间上为“凸函数”，则 实数的取值范围是 .‎ 三、解答题：本大题共6小题，共52分,解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.‎ ‎17.(本小题满分8分) ‎ 为了了解学生的体能情况，某校抽取部分学生进行一分钟跳绳次数测试，所得数据整理后，画出频率分布直方图(如图所示)，图中从左到右各小长方形面积之比2∶4∶17∶15∶9∶3，第二小组频数为12.‎ ‎（1）学生跳绳次数的中位数落在哪个小组内？‎ ‎（2）第二小组的频率是多少？样本容量是多少？‎ ‎（3）若次数在110以上(含110次)为良好，试估计该学校全体学生的良好率是多少？‎ ‎18．(本小题满分8分)‎ 已知函数在和处都取得极值.‎ ‎（1）求，的值；‎ ‎（2）求在区间上的最大值与最小值.‎ ‎19. (本小题满分8分)‎ 已知双曲线E：的两个焦点为.‎ ‎（1）若点M在双曲线E上，且，求点M到x轴的距离；‎ ‎（2）设椭圆C与双曲线E有相同焦点，且过点，求椭圆C的方程.‎ ‎20. (本小题满分9分) ‎ 设A，B为曲线C：上两点，A与B的横坐标之和为4．‎ ‎（1）求直线AB的斜率；‎ ‎（2）设M为曲线C上一点，C在M处的切线与直线AB平行，且，求直线AB的方程．‎ ‎21. (本小题满分9分) ‎ 已知椭圆的中心在坐标原点,焦点在轴上, 椭圆上、下顶点与焦点所组成的四边形为正方形, 四个顶点围成的图形面积为.‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）直线过点且与椭圆相交于、两点, 当面积取得最大值时, 求直线的方程.‎ ‎22. (本小题满分10分) ‎ 已知函数．‎ ‎（1）讨论的单调性；‎ ‎（2）当a﹤0时，证明．‎ ‎2017年衡阳市八中高二12月份月考试题参考答案 数学(文科)‎ 命题人：彭源 审题人：吕建设 考生注意：本试卷分选择题、填空题和解答题三部分,共22个小题，考试时间120分钟，‎ 试卷满分100分.‎ 一. 选择题：本大题共12小题，每小题3分，共36分，在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的，把各题答案的代号填涂在答题卷中相应的方格内.‎ ‎1. 准线方程为x=1的抛物线的标准方程是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎2. “x＞5”是“x2－4x－5＞0”是（ ）‎ A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎ ‎3. 设命题p：函数y＝sin2x的最小正周期为；命题q：函数y＝cosx的图象关于直线x＝对称．则下列判断正确的是(　　)‎ A．p为真 B．q为假 C．p∧q为假 D．p∨q为真 ‎4. 某班级有50名学生，其中有30名男生和20名女生，随机询问了该班五名男生和五名女生在某次数学测验中的成绩，五名男生的成绩分别为86，94，88，92，90，五名女生的成绩分别为88，93，93，88，93.下列说法一定正确的是(　　)‎ A．这种抽样方法是一种分层抽样 B．这种抽样方法是一种系统抽样 C．这五名男生成绩的方差大于这五名女生成绩的方差 D．该班男生成绩的平均数小于该班女生成绩的平均数 ‎5. 下列结论正确的是（ ）‎ A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 ‎6. 若双曲线的离心率为，则其渐近线方程为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎7. 曲线在处的切线方程为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎8. 若椭圆与双曲线有相同的焦点，点P是椭圆与双曲线的一 个交点，则的面积是（ ）‎ A．4 B．‎2 ‎ C．1 D．‎ ‎9. 等轴双曲线C的中心在原点，焦点在轴上，C与抛物线的准线交于A，B两点，，则双曲线C的实轴长为（ ）‎ A． B． C．4 D．8‎ ‎10. 若函数在上单调递增，则实数的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎11. 已知函数，若存在唯一的零点，且，则实数的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎12. 设A、B是椭圆C：长轴的两个端点，若C上存在点M满足∠AMB=120°，‎ 则m的取值范围是( )‎ A． B． ‎ C． D．‎ 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 答案 D A C C D B B C C D B A 二、填空题：本大题共4小题，每小题3分，共12分，把答案填写在答题卷相应的横线上.‎ ‎13. 在元旦晚会举办的挑战主持人大赛上，七位评委为某选手打出 的分数的茎叶统计图如图，去掉一个最高分和一个最低分后，‎ 所剩数据的方差为 . ‎ ‎14. 直线经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到的距离为其短轴长的，则该椭圆的离心率为 .‎ ‎15.做一个无盖的圆柱水桶，若要使水桶的体积为，且用料最省，则水桶的底面半径 为 3 .‎ ‎16. 设函数在区间的导函数为，在区间的导函数为，若在区间上恒成立，则称函数在区间上为“凸函数”，已知，若函数在区间上为“凸函数”，则实数的取值范围是 .‎ 三、解答题：本大题共6小题，共52分,解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.‎ ‎17.(本小题满分8分) ‎ 为了了解学生的体能情况，某校抽取部分学生进行一分钟跳绳次数测试，所得数据整理后，画出频率分布直方图(如图所示)，图中从左到右各小长方形面积之比2∶4∶17∶15∶9∶3，第二小组频数为12.‎ ‎（1）学生跳绳次数的中位数落在哪个小组内？‎ ‎（2）第二小组的频率是多少？样本容量是多少？‎ ‎（3）若次数在110以上(含110次)为良好，试估计该学校全体学生的良好率是多少？‎ 解　(1)∵前三组的频率和为＝<，‎ 前四组的频率之和为＝>，‎ ‎∴中位数落在第四小组内．‎ ‎(2)频率为：＝0.08，‎ 又∵频率＝，∴样本容量＝＝＝150.‎ ‎(3)由图可估计所求良好率约为：×100%＝88%.‎ ‎18．(本小题满分8分)‎ 已知函数在和处都取得极值.‎ ‎（1）求，的值；‎ ‎（2）求在区间上的最大值与最小值.‎ 解:（1）‎ ‎（2）‎ ‎19. (本小题满分8分)‎ 已知双曲线E：的两个焦点为.‎ ‎（1）若点M在双曲线E上，且，求点M到x轴的距离；‎ ‎（2）设椭圆C与双曲线E有相同焦点，且过点，求椭圆C的方程.‎ 解:（1）‎ ‎（2）‎ ‎20. (本小题满分9分) ‎ 设A，B为曲线C：上两点，A与B的横坐标之和为4．‎ ‎（1）求直线AB的斜率；‎ ‎（2）设M为曲线C上一点，C在M处的切线与直线AB平行，且，求直线AB的方程．‎ 解：（1）【解法1】设 ,AB 直线的斜率为k，又因为A,B都在曲线C上，所以  ‚ ‚-得由已知条件 所以，即直线AB的斜率k=1．‎ ‎【解法2】设 ,AB 直线的方程为y=kx+b,所以 整理得：且所以k=1‎ ‎ （2）：设 所以 又 所以 所以M（2,1），，，且，‎ 即‚，设AB 直线的方程为，‎ 化简得，所以 由‚得所以b=7或者b=-1(舍去) 所以AB 直线的方程为y=x+7‎ ‎21. (本小题满分9分) ‎ 已知椭圆的中心在坐标原点,焦点在轴上, 椭圆上、下顶点与焦点所组成的四边形为正方形, 四个顶点围成的图形面积为.‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）直线过点且与椭圆相交于、两点, 当面积取得最大值时, 求直线的方程.‎ 解：：（1）依题意有,且，结合，,‎ 解得,所以椭圆方程为；‎ ‎（2）直线的方程为，‎ 联立直线的方程和椭圆的方程，得，‎ 利用弦长公式计算，‎ 利用点到直线距离公式计算，‎ 所以，‎ 利用换元法可求得当时，面积取得最大值为，‎ 所求直线方程为.‎ ‎22. (本小题满分10分) ‎ 已知函数．‎ ‎（1）讨论的单调性；‎ ‎（2）当a﹤0时，证明．‎ 解：（1）f（x）的定义域为（0，+），.‎ 若a≥0，则当x∈（0，+）时，，故f（x）在（0，+）单调递增.‎ 若a＜0，则当x∈时，；当x∈时，.故f（x）在单调递增，在单调递减.‎ ‎（2）由（1）知，当a＜0时，f（x）在取得最大值，最大值为 ‎.‎ 所以等价于，即 设g（x）=lnx-x+1，则 当x∈（0,1）时，；当x∈（1，+）时，.所以g（x）在（0,1）单调递增，在（1，+）单调递减.故当x=1时，g（x）取得最大值，最大值为g（1）=0.所以当x＞0时，g（x）≤0,.从而当a＜0时，，即.‎ ‎2017年衡阳市八中高二12月份月考加试试题参考答案 数学（文科）‎ 命题人：彭源 审题人：吕建设 考生注意：本试卷共2个解答题, 每题10分,共20分.‎ ‎23. (本小题满分10分) ‎ ‎（1）古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数，如三角形数1，3，6，10，…，第n个三角形数为＝n2＋n，记第n个k边形数为N(n，k)(k≥3)，以下列出了部分k边形数中第n个数的表达式：‎ 三角形数　N(n，3)＝n2＋n，‎ 正方形数 N(n，4)＝n2，‎ 五边形数 N(n，5)＝n2－n，‎ 六边形数 N(n，6)＝2n2－n ‎……‎ 可以推测N(n，k)的表达式，由此计算N(10，24)＝____________.‎ 解：三角形数　N(n，3)＝n2＋n＝，‎ 正方形数　N(n，4)＝n2＝，‎ 五边形数　N(n，5)＝n2－n＝，‎ 六边形数　N(n，6)＝2n2－n＝，‎ k边形数　N(n，k)＝，‎ 所以N(10，24)＝＝＝1 000.‎ ‎（2）若P0(x0，y0)在椭圆＋＝1(a>b>0)外，过P0作椭圆的两条切线的切点为P1，P2，则切点弦P1P2所在的直线方程是＋＝1，那么对于双曲线则有如下命题：若P0(x0，y0)在双曲线－＝1(a>0，b>0)外，过P0作双曲线的两条切线，切点为P1，P2，则切点弦P1P2所在直线的方程是________.‎ 解：　设P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则P1，P2的切线方程分别是－＝1，－＝1.‎ 因为P0(x0，y0)在这两条切线上，故有－＝1，－＝1，‎ 这说明P1(x1，y1)，P2(x2，y2)在直线－＝1上，‎ 故切点弦P1P2所在的直线方程是－＝1.‎ ‎24. (本小题满分10分) ‎ 微信是现代生活进行信息交流的重要工具，据统计，某公司200名员工中90%的人使用微信，其中每天使用微信时间在一小时以内的有60人，其余的员工每天使用微信的时间在一小时以上，若将员工分成青年(年龄小于40岁)和中年(年龄不小于40岁)两个阶段，那么使用微信的人中75%是青年人.若规定：每天使用微信时间在一小时以上为经常使用微信，那么经常使用微信的员工中是青年人.‎ ‎(1)若要调查该公司使用微信的员工经常使用微信与年龄的关系，列出2×2列联表；‎ 青年人 中年人 总计 经常使用微信 不经常使用微信 总计 ‎(2)由列联表中所得数据判断，是否有99.9%的把握认为“经常使用微信与年龄有关”？‎ 附：K2＝ P(K2≥k0)‎ ‎0.010‎ ‎0.001‎ k0‎ ‎6.635‎ ‎10.828‎ 解：(1)由已知可得，该公司员工中使用微信的有200×90%＝180(人).‎ 经常使用微信的有180－60＝120(人)，‎ 其中青年人有120×＝80(人)，‎ 使用微信的人中青年人有180×75%＝135(人)，‎ 所以2×2列联表：‎ 青年人 中年人 总计 经常使用微信 ‎80‎ ‎40‎ ‎120‎ 不经常使用微信 ‎55‎ ‎5‎ ‎60‎ 总计 ‎135‎ ‎45‎ ‎180‎ ‎(2)将列联表中数据代入公式可得：‎ K2＝≈13.333，‎ 由于13.333>10.828，所以有99.9%的把握认为“经常使用微信与年龄有关”.‎