湖北省武汉市蔡甸区实验高级中学2020学年高三5月摸底考试数学（理）试卷 6页

湖北省武汉市蔡甸区实验高级中学2020学年高三5月摸底考试数学(理)试卷 本试卷共 5 页，23 题（ 含选考题）．全卷满分 150 分．考试用时 120 分钟．‎ 注意事项：‎ 1. 答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置．‎ 2. 选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B 铅 笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑写在试卷草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效 3. 非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内．写在试卷、草 稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．‎ 4. 选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡指定的位置用 2B 铅笔涂黑．答案写在答题卡上对应的答题区域内，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．‎ 5. 考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交．‎ 一、选择题：本 题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分 在每小题给出的四个选项 中，只有一项是符合题目要求的． ‎ 1. 复数z = ＝‎ A . B. C. D.‎ 2. 已知全集 U = R , 集合 A ={x| x2£4}, 那么CU A=‎ A. (-¥,-2) B. (2, + ¥) C. (-2,2) D. (-¥,-2)∪(2, + ¥) ‎ ‎3.若等差数列{an}前9项的和等于前 4 项的和，a111= 1 , 则 a4=‎ ‎ A. - B. C. D.2‎ 4. 如图，某几何体的正视图，侧视图和俯视图分别是等边三角形、等腰三角形和菱形，则该几何体的体积为 A.‎ B. C.‎ D.2‎ 4. 已知某篮球队员在比赛中每次罚球的命中率相同，且在两次罚球中至多命中一次的概率 为，则该队员每次罚球的命中率 p 为 A．　　　　　　Ｂ．　　　　　　　Ｃ．　　　　　Ｄ．‎ 5. 已知F1，F2是双曲线 C : 的两个焦点，P是 C 上一点，满足 ‎｜PF1｜＋｜PF2｜＝6a，且ÐF1PF2=，则C的离心率为 ‎　　A. B. C.2 D. ‎ 6. 函数f(x)=的零点个数为 A.1 B. 2 C. 3 D.4‎ 7. 已知函数f (x)=为偶函数，且 y =f ‎ ‎( x ) 图象 的两相邻对称轴间的距离为 ，则f()的值为 A. -1 B. 1 C. . D.‎ 4. 已知三棱柱 ABC - A1B1C1，AB = 3 , AC = 4 , AB ^AC , AAI 1=12, 如果三棱柱 AB C- A1B1C1的 ‎6 个顶点都在球 O 的球面上．则球的半径为 A.· B. C. D. ‎ 5. 已知单位向量满足 ，则的值为 A. B. C. D.1‎ 6. 在数学中有这样形状的曲线： x2 + y2 = |x| + | y|. 关于这种曲线，有以下结论：‎ ‎①曲线C 恰 好 经 过 9 个整点（即横 、纵坐标均为整数的点）；‎ ‎②曲线 C 上任意两点之间的距离都不超过 2 ;‎ ‎③曲线 C 所围成的“花瓣”形状区域的面积大于 5.‎ 其中正确的结论有：‎ A. ①③ B.②③ C. ①② D.①②③‎ 7. 已知关于 x 不等式 对任意xÎR和正数 b 恒成立，则的最小值为 A. B. 1 C. D.2‎ 二、填空题：本题共 4 小题，每小题5 分，共 20 分 8. 已知实数 x , y 满足约束条件 则 z =x + 2y 的最小值为 ‎ 9. 若函数f (x)=ax + lnx 在点(1 , a ) 处的切线平行于 x 轴，则f ( x ) 的最大值为 ．‎ 4. 从3 名骨科、3 名脑外科和 3 名内科医生中选派 5 人组成一个医疗小组，则骨科、脑外科和内科医生都 至少有1 人的概率为 ．‎ 5. 设Sn为数列 {an} 的前 n 项和， , 则 a9 = .‎ 三、解答题：共 70 分 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 第 17 - 21 题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23 题为选考题，考生根据要求作答 ‎（ 一）必考题：共 60 分．‎ 6. ‎( 本小题满分 12 分）‎ 在△ABC 中，角 A , B , C 所对的边分别为a , b , c , 且满足csinA=acosC,c=4.‎ ‎(I ) 求角 C 的大小 ；‎ ‎( 2 ) 若,求△ABC的面积 ‎18. ( 本题满分 12 分） ,.‎ 如图，在四棱锥 P— ABCD 中 ，P D ^平面 ABCD , PD= 2, DC= BC =1 , AB=2 ,AB//DC,‎ ‎ ÐBCD =90°.‎ ‎(I ) 求证：AD ^ P B;‎ ‎( 2 ) 求平面 DAP 与平面 BPC 所成锐二面角的余弦值．‎ 19. ‎( 本题满分12 分）‎ 已知 F( 0 ,1) 为平面上一点，H 为直线 l:y =-1 上任意一点，过点 H 作直线 l 的垂线 m ,‎ 设线段 FH 的中垂线与直线 m 交于点 P , 记点 P 的轨迹为Г ‎(1 ) 求轨迹Г的方程；‎ ‎( 2 ) 过点 F 作互相垂直的直线AB 与 CD, 其中直线AB 与轨迹Г交千点A、B, 直线 CD 与轨迹 Г交于点 C、D, 设点 M, N 分别是 AB 和 CD 的中点，求△ FMN的面积的最小值．‎ 20. ‎( 本题满分12 分）‎ 根据某地区气象水文部门长期统计，可知该地区每年夏季有小洪水的概率为0. 25, 有大 2‎ 洪水的概率为0. 05.‎ ‎( 1 ) 从该地区抽取的n 年水文资料中发现，恰好3 年无洪水事件的概率与恰好 4 年有洪水事件的概率相等，求 n 的值；‎ ‎( 2 ) 今年夏季该地区某工地有许多大型设备，遇到大洪水时要损失 60000 元，遇到小洪 水时要损失20000 元。为保护设备 ，有以下 3 种方案：‎ 方案1 : 修建保护围墙，建设费为3000 元，但围墙只能防小洪水方案2 : 修建保护大坝，建设费为7000元，能够防大洪水 方案 3 :不采取措施 试比较哪一种方案好，请说明理由 21. ‎( 本题满分 12 分）‎ 已知函数 ‎(1 ) 讨论 f ( x) 的单调性 ；‎ ‎（2）求实数 a 的取值范围，使得在区间( l , + ¥ ) 内 恒成立.‎ ‎(e =2. 71828…为自然对数的底数 ）‎ ‎（二 ）选考题：共 10 分 请考生从第 22、23 题中任选一题做答 井用 2B 铅笔将答题卡上所选题目对应的题号右侧方框涂黑，按所涂题号进行评分；多涂、多答，按所涂的首题进行评分；不涂，按本选考题的首题进行评分 19. ‎[ 选修 4 - 4 : 坐标系与参数方程］（本小题满分10分）‎ 在直角坐标系 xOy 中，直线 C1:x=-2 以坐标原点为极点 ，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，C2极坐标方程为：‎ ‎(1)求C1的极坐标方程和C2 的普通方程；‎ ‎( 2 ) 若 直线 C3 的极坐标方程为,设 C2 与 C3 的交点为 M, N, 又 C1:x = -2‎ 与 x 轴交点为 H, 求△HMN的面积.‎ 20. ‎[选修 4 -5: 不等式选讲］（本小题满分10分） 已知函数.‎ ‎(1 ) 当 a =2 时，求证：;‎ ‎( 2 ) 若关于x的不等式在R 恒成立，求实数 a 的取值范围